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2020年中考数学一轮复习基础考点专题07不等式(组)(含解析)

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1专题 07 不等式(组)考点总结【思维导图】 【知识要点】知识点一 不等式的有关概念和性质不等式的定义:用符号“ ”或“ ”表示大小关系的式子,叫作不等式.像 a 3 这样用符号“ ”表示 ≠ ≠2不等关系的式子也是不等式。【注意】1.方程与不等式的区别:方程表示的是相等关系,不旁式表示的是不等关系。2.常用的不等号有“ ”五种.“ ”“ ”不仅表示左右两边的不等关系,还明确表示左右两边的大小;“ ”“ ”也表示不等关系,前者表示“不小于”(大于或等于),后者表示“不大于”(小于或等于);“ ”表示左右两边不相等。3.在不等式 ab或 ab,a叫做不等式的左边,b叫做不等式的右边。4.在列不等式时,一定要注意表示不等关系的关键词。不等式的解与解集:不等式的解:使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解。不等式的解集:一般地,一个含有未知数的不等 式的所有的解,组成这个不等式的解集。它可以在数轴上直观地表示出来,是数形结合的具体表现。一般来说,不等式的解集用数轴表示有以下四种情况:不等式表示数轴表示【注意】1. 不等式的解与不等式的解集的区别与联系:1)不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。2)不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。3)不等式的所有解组成了这个不等式的解集,不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。2. 用数轴表示不等式的解集:大于向右,小于向左,有等号画实心圆点,无等号画空心圆图。不等式的性质:基本性质 1:不等式两边同时加或减去同一个整式,不等号方向不变,即若 ab,则 a+cb+c,a-cb-c。基本性质 2:不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于 0的整式,不等号方向不变,即若 ab,c0,则 acbc(或ac bc)基本性质 3:不等式两边同时乘以(或除以)同一个小于 0的整式,不等号方向改变,即若 ab,c0,则 acbc(或ac bc)基本性质 4:若 ab,则 ba。基本性质 5:若 abc,则 ac。基本性质 6:如果 , ,那么 .【注意】a a a a, , , , ≤ ≥ ≠ ≥ ≤≠x a x a x a≥ x a≤a b c d a c b d+ +31、根据不等式的性质,可以将一个不等式变形,尤其要注意性质 2和性质 3的区别,当不等式两边乘(或除以)同一个负数时,不等号的方向要改变。2、不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。不等式性质与等式性质的相同和不同点:相同点:都可以在两边加上或减去同一个式子不同点:1、对于等式两边,乘(或除)以同一个正数(或负数),结果依然成立2、对于不等式两边,乘(或除)以同一个正数,不等号方向不变;乘(或除)以同一个负数,不等号方向发生改变;解不等式的概念:求不等式的解集的过程叫作解不等式。【典型例题】1.(2019·阜宁县容山中学初一期末)下列不等式中,是一元一次不等式的是( )A.x y B. C. D. 【答案】D【详解】A、是二元一次不等式,故错误;B、是二元二次不等式,故选项错误C、含有分式,不是一元一次不等式,故选项错误;D、是一元一次不等式,故选 D.2.(2019·重庆市南坪中学校初二期中)下列各式中,是一元一次不等式的有( )① ,② ,③ ,④ ,⑤ ,⑥A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】A【详解】① 是一元一次不等式;② 是一元二次不等式;③ 是分式;④ 是二元一次不等式;⑤ 是一元一次不等式;⑥ 是二元一次不等式,故正确的有两个故选 A.【考查题型】考查题型一 不等式性质的应用2 2 0a b+ 11x 34x − 4 035x ( 5) 5x x − 15x 2 5x y y+ + 2 5a − 3yx ≤5x ( 5) 5x x − 15x 2 5x y y+ +2 5a − 3yx ≤41.(2019·四川中考真题)若 ,下列不等式不一定成立的是( )A. B. C. D.【答案】D【详解】解:A、不等式的两边都加 3,不等号的方向不变,故 A错误;B、不等式的两边都乘以﹣3,不等号的方向改变,故 B错误;C、不等式的两边都除以 3,不等号的方向不变,故 C错误;D、如 ;故 D正确;故选:D.2.(2019·浙江中考真题)已知四个实数 a,b,c,d,若 ab,cd,则( )A.a+cb+d B.a-cb-d C.acbd D.【答案】A【详解】A. ∵ab,cd,∴ a+cb+d,正确; B.如 a=3,b=1,c=2,d=-5时, a-c=1,b-d =6,此时 a-cb-d,故不正确;C. 如 a=3,b=1,c=-2,d=-5时, ac=-6,bd =-5,此时 acbd,故不正确; D. 如 a=4,b=2,c=-1,d=-2时, , ,此时 ,故不正确; 故选 A.3.(2019·上海中考真题)如果 m﹥n,那么下列结论错误的是( )A.m+2﹥n+2 B.m-2﹥n-2 C.2m﹥2n D.-2m﹥-2n【答案】D【详解】A. 两边都加 2,不等号的方向不变,故 A正确;B. 两边都减 2,不等号的方向不变,故 B正确;C. 两边都乘以 2,不等号的方向不变,故 C正确;D. 两边都乘以-2,不等号的方向改变,故 D错误;故选 D.4.(2019·江苏中考真题)实数 a、b、c满足 a>b且 ac<bc,它们在数轴上的对应点的位置可以是( )m n>3 3m n+ +> 3 3m n﹣ <﹣3 3m n 2 2m n>2 22 3m n m n m n= , =﹣, > , <a bc d4ac= − 1bd= − a bc d5A. B.C. D.【答案】A【详解】解:因为 a>b且 ac<bc,所以 c<0.选项 A符合 a>b,c<0条件,故满足条件的对应点位置可以是 A.选项 B不满足 a>b,选项 C、D不满足 c<0,故满足条件的对应点位置不可以是 B、C、D.故选:A.知识点二 解一元一次不等式一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式,只含有一个未知数并且未知数的最高次数是 1,像这样的不等式叫一元一次不等式.一元一次不等式的一般形式为: 或 。例如, , 是一元一次不等式,而 , 不是一元一次不等式。一元一次不等式的解集的表示方法:表示的两种形式:①用不等式表示;②用数轴表示。下面我们讨论用数轴表示一元一次不等式解集的四种情况:【注意】1、用数轴表示不等式解集时要“两定”:定边界点,定方向。2、若符号为“或”时,边界点为空心,若符号为“≥或≤”,边界点为实心。3、定方向时要注意“小于向左,大于向右”。解一元一次不等式的一般步骤:① 去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤未知数的系数化为 1解一元一次方程和解一元一次不等式的区别:0ax b+ ( )0 0ax b a+ ≠1 3x + 402y− 0x y− 2 5 3xx+ ≥6一元一次方程 一元一次不等式解法的依据 方程得两边加(或减)同一个数(或式子),方程的解不变方程的两边乘(或除以)同一个不为零的数,方程的解不变不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变不等式的两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变不等式的两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变解法的步骤 ①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤未知数的系数化为 1①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤未知数的系数化为 1在步骤①和步骤⑤中,如果乘数(或除以)是负数,不等号要改变方向解得情况 一元一次方程只有一个解 一元一次不等式可以有无数多个解【典型例题】1.(2018·广东中考模拟)不等式 2x-5≥-1的解集在数轴上表示正确的是( ).A. B.C. D.【答案】B【解析】解:不等式 2x-5≥-1 的解集为 x≥2.故选 B.2.(2019·太原市第五十三中学初二期中)用不等式表示图中的解集,其中正确的是(  )A.x≥-2 B.x≤-2 C.x<-2 D.x>-2【答案】D【详解】解:∵表示不等式的解集的折线向右延伸,且表示-2的点是空心圆点∴x>-2 故选:D.3.(2019·河北初一期末)已知2a + 3x = 6,要使x是负数,则a的取值范围是( )A.a 3 B.a 3 C.a -3 D. -3 a 3【答案】A7【详解】∵2a + 3x = 6∴x=6 - 2a3∵x是负数,∴6 - 2a3<0解得a 3故选 A.【考查题型汇总】考查题型二 求一元一次不等式的特解的方法1.(2019·江苏中考真题)不等式 的非负整数解有(  )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D【详解】解: ,解得: ,则不等式 的非负整数解有:0,1,2,3共 4个.故选:D.2.(2019·内蒙古中考模拟)不等式 3(x﹣1)≤5﹣x的非负整数解有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】解不等式得:3x﹣3≤5﹣x,4x≤8,x≤2,所以不等式的非负整数解有 0、1、2这 3个,故答案选 C.3.(2017·广东中考模拟)如图,直线 与 的交点的横坐标为 ,则关于的不等式 的整数解为( ).1 2x − ≤1 2x − ≤3x ≤1 2x − ≤y x m= − + ( )4 0y nx n n= + ≠ 2− x4 0x m nx n− + + 8A. B.C. D.【答案】D【详解】当 时,对于 ,则 .故 的解集为 . 与的交点的横坐标为 ,观察图象可知 的解集为. 的解集为 . 为整数, .4.(2019·内蒙古中考模拟)不等式 的最小整数解是__.【答案】0【详解】解 的解集为 x>-1,∴最小整数解为 0考查题型三 确定不等式中字母的取值范围的方法1.(2019·黑龙江中考真题)已知 x=4是不等式 ax-3a-1<0的解,x=2不是不等式 ax-3a-1<0的解,则实数 a的取值范围是____.【答案】a≤-1.【详解】解:∵x=4是不等式 ax-3a-1<0的解,∴4a-3a-1<0,解得:a<1,∵x=2不是这个不等式的解,1− 5−4− 3−0y = ( )4 0y nx n n= + ≠ 4x = − 4 0nx n+ 4x − y x m= − +( )4 0y nx n n= + ≠ 2− 4x m nx n− + +2x − 4 0x m nx n∴− + + 4 2x− − x 3x∴ = −3 122x − −3x 122− −9∴2a-3a-1≥0,解得:a≤-1,∴a≤-1,故答案为:a≤-1.2.(2019·四川中考真题)关于 的不等式 只有 2个正整数解,则 的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】C【详解】解:解不等式 2x+a≤1 得: ,不等式有两个正整数解,一定是 1和 2,根据题意得:解得:-5<a≤-3.故选:C.3.(2012·江苏中考模拟)已知关于 x的不等式 x≥a-1 的解集如图所示,则 a的值为__. 【答案】0【解析】由图可得 , ,考查题型四 确定一元一次不等式中待定字母的值的方法1.(2019·河南中考模拟)若不等式组 的解集是﹣1<x≤1,则 a=_____,b=_____.【答案】-2 -3 【详解】解:由题意得:解不等式 ① 得: x1+a ,解不等式②得:x≤x 2 1x a+ ≤ a5 3a− − 5 3a− ≤ − 5 3a− ≤ − 5 3a− ≤ ≤ −12ax−„12 32a− „1x ≥ − ∴ 1 1a − = − 0a =13 0x abx−  + ≥13 0x abx−  + ≥①②3b−10不等式组的解集为: 1+a<x≤不等式组的解集是﹣1<x≤1,..1+a=-1, =1,解得:a=-2,b=-3故答案为: -2, -3.知识点三 解一元一次不等式组一元一次不等式组的解集概念:一般地,几个一元一次不等式解集的公共部分,叫做它们所组成的不等式组的解集。不等式组解集的确定方法:【注意】1、在求不等式组的解集的过程中,通常是利用数轴来确定不等式组的解集的。2、利用数轴表示不等式组解集时,要把几个不等式的解集都表示出来,不能仅画公共部分。解一元一次不等式组的一般步骤:1. 求出不等式组中各不等式的解集2. 将各不等式的解决在数轴上表示出来。3. 在数轴上找出各不等式解集的公共部分,这个公共部分就是不等式组的解集。【考查题型汇总】考查题型五 一元一次不等式组的解集的确定方法3b−∴ 3b−111.(2018·湖南中考真题)不等式组 的解集在数轴上表示正确的是(  )A. B.C. D.【答案】C【解析】解不等式 x+2>0,得:x>-2,解不等式 2x-4≤0,得:x≤2,则不等式组的解集为-2<x≤2,将解集表示在数轴上如下:故选 C.2.(2019·山东中考模拟)一元一次不等式组 的解集在数轴上表示出来,正确的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】详解:解不等式组 得-3<x≤2,在数轴上表示为:故选 D.3.(2019·江苏中考模拟)下列四个不等式组中,解集在数轴上表示如图所示的是(  )2 02 4 0xx+  − ≤2 011 03xx− ≤ + 2 011 03xx− ≤ +12A. B. C. D.【答案】D【详解】由解集在数轴上的表示可知,该不等式组为 ,故选 D.4.(2019·广东中考模拟)不等式组 的解集在数轴上表示正确的是( )A. B. C.D.【答案】A【详解】∵解不等式①得:x<1,解不等式②得:x≥-1,∴不等式组的解集为-1≤x<1,在数轴上表示为: ,故选 A.考查题型六 求一元一次不等式组的整数解的方法1.(2019·台湾中考真题)阿慧在店内购买两种蛋糕当伴手礼,如图为蛋糕的价目表.已知阿慧购买 盒蛋糕,花费的金额不超过 元.若他将蛋糕分给 位同事,每人至少能拿到一个蛋糕,则阿慧花多少元购买蛋糕?(  )23xx≥ −23xx≤ −23xx≥ −23xx≤ −23xx≤ − 2 1 33 1 2xx+ + ≥ −<2 1 33 1 2xx+ + ≥ −< ①②102500 7513A. B. C. D.【答案】D【详解】解:设阿慧购买 盒桂圆蛋糕,则购买 盒金爽蛋糕,依题意有,解得 ,是整数,,(元).答:阿慧花 元购买蛋糕.故选:D.2.(2019·四川中考真题)红星商店计划用不超过 4200元的资金,购进甲、乙两种单价分别为 60元、100元的商品共 50件,据市场行情,销售甲、乙商品各一件分别可获利 10元、20元,两种商品均售完.若所获利润大于 750元,则该店进货方案有( )A.3种 B.4种 C.5种 D.6种【答案】C【详解】解:设该店购进甲种商品 件,则购进乙种商品 件,根据题意,得: ,2150 2250 2300 2450x ( )10 x−( )( )350 200 10 250012 6 10 75x xx x + − ≤ + − ≥1 12 32 3x≤ ≤x3x∴ =( )350 3 200 10 3× + × −1050 1400= +2450=2450x ( )50 x−( )( )60 100 50 420010 20 50 750x xx x + − ≤ + − 14解得: ,∵ 为整数,∴ 、21、22、23、24,∴该店进货方案有 5种,故选:C.3.(2019·浙江中考模拟)如图,等腰三角形 ABC 的周长为 20cm,底边 BC 长为 y(cm),腰 AB 长为 x(cm).(1)求 y 与 x 之间的函数关系式;(2)求 x 的取值范围;(3)腰长 AB=3 时,底边的长.【答案】(1)y=20﹣2x;(2)5<x<10;(3)14.【详解】(1)∵等腰三角形的腰长为 x,底边长为 y,周长为 20,∴y=20﹣2x,(2){2x 20 - 2x20 - 2x 0,解得:5<x<10.所以 x的取值范围为 5<x<10.(3)将x = 3代入 y=20﹣2x得y = 14,所以底边的长为 14.考查题型七 求一元一次方程组中的待定字母的值1.(2017·内蒙古中考模拟)若不等式组{2x - a 1x - 2b 3的解集为﹣1<x<1,那么(a+1)(b﹣1)的值等于_____.【答案】4【解析】20 25x≤ x 20x =15先解不等式组,再对照已知解集 -1 x 1,即可求出 a、b的值.解不等式组,得x a + 12 ,且 x 3 + 2b对照已知解集 -1 x 1有{a + 12= 13 + 2b = -1解得{a = 1b = -2 ∴ (a + 1)(b - 1) = (1 + 1)( -1 - 2) = -62.(2012·四川中考真题)如果关于 x的不等式组:{3x - a ≥ 02x - b ≤ 0,的整数解仅有 1,2,那么适合这个不等式组的整数 a,b组成的有序数对(a,b)共有___________个.【答案】6【详解】{3x - a ≥ 0①2x - b ≤ 0②,由①得:x ≥a 3;由②得:x ≤b2 .∵不等式组有解,∴不等式组的解集为:a 3 ≤ x ≤b2 .∵不等式组整数解仅有 1,2,如图所示:,∴0<a 3≤1,2≤b2 <3,解得:0<a≤3,4≤b<6.∴a=1,2,3,b=4,5.∴整数 a,b组成的有序数对(a,b)共有 3×2=6个.3.(2018·四川中考真题)若不等式组{ x - a 2b - 2x 0的解集为 ,则(a + b)2009 = ________.【答案】-1【解析】由不等式得 x>a+2,x<12b,∵-1<x<1,∴a+2=-1,12b=1∴a=-3,b=2,∴(a+b)2009=(-1)2009=-1.故答案为-1.1 1x− 16考查题型八 求一元一次方程组中的待定字母的取值范围1.(2018·山东省寿光世纪学校中考模拟)若不等式组 的解集是 x>3,则 m的取值范围是( ).A.m>3 B.m≥3 C.m≤3 D.m<3【答案】C【解析】详解: ,解①得,x3;解②得,xm,∵不等式组 的解集是 x3,则 m⩽3.故选:C. 2.(2019·四川中考真题)若关于 的代等式组 恰有三个整数解,则 的取值范围是(  )A. B. C. D. 或【答案】B【详解】解不等式 ,得: ,解不等式 ,得: ,∵不等式组恰有三个整数解,∴这三个整数解为 0、1、2,∴ ,8 4 1x xx m+ − 8 4 1x xx m+ − ①②8 4 1x xx m+ − x102 33 5 4 4( 1) 3x xx a x a+ +  + + + +a312a „ 312a „ 312a 1a„32a 102 3x x ++ 25x −( )2 5 4 4 1 3x a x a+ + + + 2x a2 2 3a ≤17解得 ,故选:B.3.若关于 x的一元一次不等式组 有解,则 m的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【详解】解 ,∵不等式组有解,∴2m>2﹣m.∴ .故选 C.知识点四 列一元一次不等式(组)解应用题列一元一次不等式(组)解应用题的一般步骤:(1)审:认真审题,分清已知量、未知量及其关系,找出题中不等关系,要抓住题设中的关键“字眼”,如“大于”“小于”“不小于”“不大于”“至少”“最多”等.(2)设:设出适当的未知数,并用含未知数的代数式表示出题目中涉及的量.(3)列:根据题中的不等关系,列出不等式.(4)解:解出所列不等式的解集.(5)验:检验答案是否符合题意.(6)答:写出答案.在以上步骤中,审题是基础,根据题意找出不等关系是关键,而根据不等关系列出不等式又是解题难点.以上过程可简单表述为: .【考查题型汇总】考查题型九 利用一元一次不等式(组)解决实际问题的方法1.(2019·湖北中考真题)某县有 A、B两个大型蔬菜基地,共有蔬菜 700吨.若将 A基地的蔬菜全部运往甲市所需费用与 B基地的蔬菜全部运往甲市所需费用相同.从 A、B两基地运往甲、乙两市的运费单价如下表:312a ≤x 2m0x m2− +2m3− 2m3≤ 2m32m3≤ −x 2m0 x2mx m2 x2 m− ⇒ + − 2m3→ →分析 求解抽象 检验问题 不等式 解答18(1)求 A、B两个蔬菜基地各有蔬菜多少吨?(2)现甲市需要蔬菜 260吨,乙市需要蔬菜 440吨.设从 A基地运送 吨蔬菜到甲市,请问怎样调运可使总运费最少?【答案】(1)A、B两基地的蔬菜总量分别为 300吨和 400吨;(2)当 A基地运 300吨到乙市,B基地运 260吨到甲市,B基地运 140吨到乙市时,总运费最少为 14760元.【详解】(1)设 A、B两基地的蔬菜总量分别为 吨、 吨.根据题意得:解得: ,答:A、B两基地的蔬菜总量分别为 300吨和 400吨.(2)由题可知:∴∵ .∵40,∴ 随 的增大而增大,∴ =14760.答:当 A基地运 300吨到乙市,B基地运 260吨到甲市,B基地运 140吨到乙市时,总运费最少为 14760元.2.(2019·辽宁中考模拟)某图书馆计划选购甲、乙两种图书.已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍,用 800元单独购买甲图书比用 800元单独购买乙图书要少 24本.(1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元?mx y70020 15x yx y+ = =300400xy= =0260 0300 0400 (260 ) 0mmmm≥ − ≥ − ≥ − − ≥0 260m≤ ≤( )20 25(300 ) 15(260 ) 24 400 260w m m m m = + − + − + − − 4 14760m= +w mminw19(2)如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的 2倍多 8本,且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过 1060元,那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书?【答案】(1)乙图书每本价格为 20元,则甲图书每本价格是 50元;(2)该图书馆最多可以购买 28本乙图书.【详解】解:(1)设乙图书每本价格为 元,则甲图书每本价格是 元,根据题意可得: ,解得: ,经检验得: 是原方程的根,则 ,答:乙图书每本价格为 20元,则甲图书每本价格是 50元;(2)设购买甲图书本数为 ,则购买乙图书的本数为: ,故 ,解得: ,故 ,答:该图书馆最多可以购买 28本乙图书.考查题型十一 方程组与不等式组相结合解决实际问题1.(2018·山东中考模拟)今年 3月 12日植树节期间,学校预购进 A,B两种树苗.若购进 A种树苗 3棵,B种树苗 5棵,需 2100元;若购进 A种树苗 4棵,B种树苗 10棵,需 3800元.(1)求购进 A,B两种树苗的单价;(2)若该学校准备用不多于 8000元的钱购进这两种树苗共 30棵,求 A种树苗至少需购进多少棵.【答案】(1)A种树苗的单价为 200元,B种树苗的单价为 300元;(2)10棵【解析】(1)设 B种树苗的单价为 x元,则 A种树苗的单价为 y元,可得:{ 3y + 5x = 21004y + 10x = 3800 ,解得:{x = 300y = 200 ,答:A种树苗的单价为 200元,B种树苗的单价为 300元.x 2.5x800 800242.5x x− =20x =20x =2.5 50x =x 2 8x +( )50 20 2 8 1060x x+ + „10x„2 8 28x + „20(2)设购买 A种树苗 a棵,则 B种树苗为(30﹣a)棵,可得:200a+300(30﹣a)≤8000,解得:a≥10,答:A种树苗至少需购进 10棵.2.(2019·湖南中考模拟)东东玩具商店用 500 元购进一批悠悠球,很受中小学生欢迎,悠悠球很快售完,接着又用 900元购进第二批这种悠悠球,所购数量是第一批数量的 1.5倍,但每套进价多了 5元.(1)求第一批悠悠球每套的进价是多少元;(2)如果这两批悠悠球每套售价相同,且全部售完后总利润不低于 25%,那么每套悠悠球的售价至少是多少元?【答案】(1)第一批悠悠球每套的进价是 25元;(2)每套悠悠球的售价至少是 35元.【解析】(1)设第一批悠悠球每套的进价是 x元,则第二批悠悠球每套的进价是(x+5)元,根据题意得:,解得:x=25,经检验,x=25是原分式方程的解.答:第一批悠悠球每套的进价是 25元.(2)设每套悠悠球的售价为 y元,根据题意得:500÷25×(1+1.5)y-500-900≥(500+900)×25%,解得:y≥35.答:每套悠悠球的售价至少是 35元.考查题型十二 利用不等式计算获利问题1.(2014·四川中考真题)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共 20台,空调的采购单价 y1(元/台)与采购数量 x1(台)满足 y1=﹣20x1+1500(0<x1≤20,x1为整数);冰箱的采购单价 y2(元/台)与采购数量 x2(台)满足 y2=﹣10x2+1300(0<x2≤20,x2为整数).(1)经商家与厂家协商,采购空调的数量不少于冰箱数量的 ,且空调采购单价不低于 1200元,问该商家共有几种进货方案?(2)该商家分别以 1760 元/台和 1700 元/台的销售单价售出空调和冰箱,且全部售完.在(1)的条件下,900 5001.55x x= ×+21问采购空调多少台时总利润最大?并求最大利润.【答案】(1)5 (2)采购空调 15台时,获得总利润最大,最大利润值为 10650元.【解析】(1)设空调的采购数量为 x台,则冰箱的采购数量为(20﹣x)台,由题意得, ,解不等式①得,x≥11,解不等式②得,x≤15,所以,不等式组的解集是 11≤x≤15,∵x为正整数,∴x可取的值为 11、12、13、14、15,所以,该商家共有 5种进货方案;(2)设总利润为 W元,y2=﹣10x2+1300=﹣10(20﹣x)+1300=10x+1100,则 W=(1760﹣y1)x1+(1700﹣y2)x2,=1760x﹣(﹣20x+1500)x+(1700﹣10x﹣1100)(20﹣x),=1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000,=30x2﹣540x+12000,=30(x﹣9)2+9570,当 x>9时,W随 x的增大而增大,∵11≤x≤15,∴当 x=15时,W 最大值=30(15﹣9)2+9570=10650(元),答:采购空调 15台时,获得总利润最大,最大利润值为 10650元.2.(2018·四川中考模拟)宜兴某电器商场根据民众健康需要,代理销售某种家用空气净化器,其进价是 200元/台.经过市场销售后发现:在一个月内,当售价是 400 元/台时,可售出 200 台,且售价每降低 10 元,就可多售出 50台.若供货商规定这种空气净化器售价不能低于 300元/台,代理销售商每月要完成不低于 450台的销售任务.(1)试确定月销售量 y(台)与售价 x(元/台)之间的函数关系式;并求出自变量 x的取值范围;(2)当售价 x(元/台)定为多少时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w(元)最大?最大利润22是多少?【答案】(1)y=﹣5x+2200(300≤x≤350);(2)售价定为 320元/台时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w最大,最大利润是 72000元.【解析】 (1)、根据题中条件销售价每降低 10元,月销售量就可多售出 50台,则月销售量 y(台)与售价 x(元/台)之间的函数关系式:y=200+50×400 - x10,化简得:y=-5x+2200;(2)、根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于 300元/台,代理销售商每月要完成不低于 450台, 则 x≥300 且−5x+2200≥450解得:300≤x≤350.所以 y与 x之间的函数关系式为:y=-5x+2200(300≤x≤350);(3)、W=(x-200)(-5x+2200), 整理得:W=-5(x - 320)2+72000.∵x=320在 300≤x≤350 内, ∴当 x=320时,最大值为 72000,即售价定为 320元/台时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w最大,最大利润是 72000元.3.(2018·山东中考模拟)今年义乌市准备争创全国卫生城市,某小区积极响应,决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱,若购买 2个温馨提示牌和 3个垃圾箱共需 550元,且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的 3倍.(1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元?(2)该小区至少需要安放 48 个垃圾箱,如果购买温馨提示牌和垃圾箱共 100 个,且费用不超过 10000 元,请你列举出所有购买方案,并指出哪种方案所需资金最少?最少是多少元?【答案】(1)温馨提示牌和垃圾箱的单价各是 50元和 150元;(2)答案见解析【详解】(1)设温情提示牌的单价为 x元,则垃圾箱的单价为 3x元,根据题意得,2x+3×3x=550,∴x=50,经检验,符合题意,∴3x=150元,即:温馨提示牌和垃圾箱的单价各是 50元和 150元;(2)设购买温情提示牌 y个(y为正整数),则垃圾箱为(100﹣y)个,23根据题意得,意, ∴ ∵y为正整数,∴y为 50,51,52,共 3中方案;有三种方案:①温馨提示牌 50个,垃圾箱 50个,②温馨提示牌 51个,垃圾箱 49个,③温馨提示牌 52个,垃圾箱 48个,设总费用为 w元W=50y+150(100﹣y)=﹣100y+15000,∵k=-100 ,∴w随 y的增大而减小∴当 y=52时,所需资金最少,最少是 9800元.考查题型十三 运用一元一次不等式组进行方案设计1.(2018·河南中考模拟)某校计划购买篮球、排球共 20 个.购买 2 个篮球,3 个排球,共需花费 190 元;购买 3个篮球的费用与购买 5个排球的费用相同.(1)篮球和排球的单价各是多少元?(2)若购买篮球不少于 8个,所需费用总额不超过 800元.请你求出满足要求的所有购买方案,并直接写出其中最省钱的购买方案.【答案】(1)篮球每个 50元,排球每个 30元. (2)满足题意的方案有三种:①购买篮球 8个,排球 12个;②购买篮球 9,排球 11个;③购买篮球 10个,排球 10个;方案①最省钱【解析】解:(1)设篮球每个 x元,排球每个 y元,依题意,得:解得 .答:篮球每个 50元,排球每个 30元.(2)设购买篮球 m个,则购买排球(20-m)个,依题意,得:50m+30(20-m)≤800.( )100 4850 150 100 10000.yy y− ≥ + − ≤50 52y≤ ≤ ,02 3 1903 5x yx y+ = =5030xy= =:24解得:m≤10.又∵m≥8,∴8≤m≤10.∵篮球的个数必须为整数,∴ 只能取 8、9、10.∴满足题意的方案有三种:①购买篮球 8个,排球 12个,费用为 760元;②购买篮球 9,排球 11个,费用为 780元;③购买篮球 10个,排球 10个,费用为 800元.以上三个方案中,方案①最省钱.2.(2019·广西中考模拟)某文化商店计划同时购进 A、B两种仪器,若购进 A种仪器 2台和 B种仪器 3台,共需要资金 1700元;若购进 A种仪器 3台,B种仪器 1台,共需要资金 1500元.(1)求 A、B两种型号的仪器每台进价各是多少元?(2)已知 A种仪器的售价为 760元/台,B种仪器的售价为 540元/台.该经销商决定在成本不超过 30000元的前提下购进 A、B两种仪器,若 B种仪器是 A种仪器的 3倍还多 10台,那么要使总利润不少于 21600元,该经销商有哪几种进货方案?【答案】(1)A、B两种型号的仪器每台进价各是 400元、300元;(2)有三种具体方案:①购进 A种仪器18台,购进 B种仪器 64台;②购进 A种仪器 19台,购进 B种仪器 67台;③购进 A种仪器 20台,购进 B种仪器 70台.【详解】解:(1)设 A、B两种型号的仪器每台进价各是 x元和 y元.由题意得: ,解得: .答:A、B两种型号的仪器每台进价各是 400元、300元;(2)设购进 A种仪器 a台,则购进 A种仪器(3a+10)台.则有: ,解得 .由于 a为整数,∴a可取 18或 19或 20.所以有三种具体方案:m2 3 17003 1500x yx y+ = + =400300xy= =400 300(3 10) 30000(760 400) (540 300)(3 10) 21600a aa a+ + − + − +„…7 1017 209 13a≤ ≤25①购进 A种仪器 18台,购进 B种仪器 64台;②购进 A种仪器 19台,购进 B种仪器 67台;③购进 A种仪器 20台,购进 B种仪器 70台.3.(2019·贵州中考真题)某校计划组织 240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动.旅游公司有A,B两种客车可供租用,A型客车每辆载客量 45人,B型客车每辆载客量 30人.若租用 4辆 A型客车和 3辆 B型客车共需费用 10700元;若租用 3辆 A型客车和 4辆 B型客车共需费用 10300元.(1)求租用 A,B两型客车,每辆费用分别是多少元;(2)为使 240名师生有车坐,且租车总费用不超过 1万元,你有哪几种租车方案?哪种方案最省钱?【答案】(1)租用 A,B 两型客车,每辆费用分别是 1700 元、1300 元;(2)共有三种租车方案,方案一:租用 A型客车 2辆,B型客车 5辆,费用为 9900元,方案二:租用 A型客车 4辆,B型客车 2辆,费用为 9400元,方案三:租用 A型客车 5辆,B型客车 1辆,费用为 9800元,方案二:租用 A型客车 4辆,B型客车 2辆最省钱.【详解】(1)设租用 A,B两型客车,每辆费用分别是 x元、y元,,解得, ,答:租用 A,B两型客车,每辆费用分别是 1700元、1300元;(2)设租用 A型客车 a辆,租用 B型客车 b辆,,解得, , , ,∴共有三种租车方案,方案一:租用 A型客车 2辆,B型客车 5辆,费用为 9900元,方案二:租用 A型客车 4辆,B型客车 2辆,费用为 9400元,方案三:租用 A型客车 5辆,B型客车 1辆,费用为 9800元,由上可得,方案二:租用 A型客车 4辆,B型客车 2辆最省钱.4 3 107003 4 10300x yx y+ = + =17001300xy= =45 30 2401700 1300 10000a ba b+ ≥ + ≤25ab= =42ab= =51ab= =

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