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2020年中考数学热点专题冲刺7与圆相关问题(江苏版)

热点专题7  与圆相关问题
 
圆,是中考中相对来讲比较重要的一块内容,涉及到的内容也比较多,所占分值约二十分左右.当然各个城市的略有不同.一般选择或填空或解答题都会有与圆相关的题目,比较重要的内容主要有圆周角定理、弦、角、弧之间关系定理、切线的性质和判定定理等、扇形面积及弧长公式、圆锥的侧面积计算等.

 

中考
要求    掌握圆周角定理、弦、角、弧之间关系定理、切线的性质和判定定理等、扇形面积及弧长公式、圆锥的侧面积计算.
    会利用数形结合的思想解决有关的数学问题.
    会利用方程思想、函数思想处理相关问题.

 
考向1  圆的性质
1. (2019 江苏省镇江市)如图,四边形ABCD是半圆的内接四边形,AB是直径, = .若∠C=110°,则∠ABC的度数等于(  )
 
A.55°    B.60°    C.65°    D.70°
【解析】连接AC,
∵四边形ABCD是半圆的内接四边形,
∴∠DAB=180°﹣∠C=70°,
∵ = ,
∴∠CAB= ∠DAB=35°,
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ABC=90°﹣∠CAB=55°,
故选:A.
 
2. (2019 江苏省盐城市)如图,点A、B、C、D、E在⊙O上,且 为50°,则∠E+∠C=     °.
 
【解析】连接EA,
∵ 为50°,
∴∠BEA=25°,
∵四边形DCAE为⊙O的内接四边形,
∴∠DEA+∠C=180°,
∴∠DEB+∠C=180°﹣25°=155°,
故答案为:155.
 
3 (2019 江苏省扬州市)如图,AC是⊙O的内接正六边形的一边,点B在 上,且BC是⊙O的内接正十边形的一边,若AB是⊙O的内接正n边形的一边,则n=     .


 
【解析】连接BO,
∵AC是⊙O内接正六边形的一边,
∴∠AOC=360°÷6=60°,
∵BC是⊙O内接正十边形的一边,
∴∠BOC=360°÷10=36°,
∴∠AOB=∠AOC﹣∠BOC=60°﹣36°=24°,
∴n=360°÷24°=15;
故答案为:15.
 
考向2 切线的性质和判定
1. (2019 江苏省连云港市)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以点C为圆心作⊙C与直线BD相切,点P是⊙C上一个动点,连接AP交BD于点T,则 的最大值是     .
 
【解析】如图,
过点P作PE∥BD交AB的延长线于E,
∴∠AEP=∠ABD,△APE∽△ATB,
∴ ,
∵AB=4,
∴AE=AB+BE=4+BE,
∴ ,
∴BE最大时, 最大,
∵四边形ABCD是矩形,
∴BC=AD=3,CD=AB=4,
过点C作CH⊥BD于H,交PE于M,并延长交AB于G,
∵BD是⊙C的切线,
∴∠GME=90°,
在Rt△BCD中,BD= =5,
∵∠BHC=∠BCD=90°,∠CBH=∠DBC,
∴△BHC∽△BCD,
∴ ,
∴ ,
∴BH= ,CH= ,
∵∠BHG=∠BAD=90°,∠GBH=∠DBA,
∴△BHG∽△BAD,
∴ = ,
∴ ,
∴HG= ,BG= ,
在Rt△GME中,GM=EG•sin∠AEP=EG× = EG,
而BE=GE﹣BG=GE﹣ ,
∴GE最大时,BE最大,
∴GM最大时,BE最大,
∵GM=HG+HM= +HM,
即:HM最大时,BE最大,
延长MC交⊙C于P',此时,HM最大=HP'=2CH= ,
∴GP'=HP'+HG= ,
过点P'作P'F∥BD交AB的延长线于F,
∴BE最大时,点E落在点F处,
即:BE最大=BF,
在Rt△GP'F中,FG= = = = ,
∴BF=FG﹣BG=8,
∴ 最大值为1+ =3,
故答案为:3.
 
2. (2019 江苏省淮安市)如图,AB是⊙O的直径,AC与⊙O交于点F,弦AD平分∠BAC,DE⊥AC,垂足为E.
(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若⊙O的半径为2,∠BAC=60°,求线段EF的长.
 
【解析】(1)直线DE与⊙O相切,
连结OD.
∵AD平分∠BAC,
∴∠OAD=∠CAD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠ODA=∠CAD,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,即∠AED=90°,
∴∠ODE=90°,即DE⊥OD,
∴DE是⊙O的切线;
(2)过O作OG⊥AF于G,
∴AF=2AG,
∵∠BAC=60°,OA=2,
∴AG= OA=1,
∴AF=2,
∴AF=OD,
∴四边形AODF是菱形,
∴DF∥OA,DF=OA=2,
∴∠EFD=∠BAC=60°,
∴EF= DF=1.
 

3. (2019 江苏省苏州市)
如图,AE为⊙O的直径,D是弧BC的中点BC与AD,OD分别交于点E,F.
(1)求证: ;
(2)求证: ;
(3)若 ,求 的值.
 
【解析】(1)证明:∵D为弧BC的中点,OD为 的半径

  又∵AB为 的直径
   ∴  
   ∴  
(2)证明:∵D为弧BC的中点
      ∴  
∴  
∴  
      ∴  
      即  
(3)解:∵ ,
    ∴  
    设CD= ,则DE= ,  
又∵
∴  
∴  
所以

       ∴   
即  
4 (2019 江苏省泰州市)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC为⊙O的直径,D为 的中点,过点D作DE∥AC,交BC的延长线于点E.
(1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若⊙O的半径为5,AB=8,求CE的长.
 
【解析】(1)DE与⊙O相切,
理由:连接OD,
∵AC为⊙O的直径,
∴∠ADC=90°,
∵D为 的中点,
∴ = ,
∴AD=CD,
∴∠ACD=45°,
∵OA是AC的中点,
∴∠ODC=45°,
∵DE∥AC,
∴∠CDE=∠DCA=45°,
∴∠ODE=90°,
∴DE与⊙O相切;
(2)∵⊙O的半径为5,
∴AC=10,
∴AD=CD=5 ,
∵AC为⊙O的直径,
∴∠ABC=90°,
∵AB=8,
∴BC=6,
∵∠BAD=∠DCE,
∵∠ABD=∠CDE=45°,
∴△ABD∽△CDE,
∴ = ,
∴ = ,
∴CE= .
 
5. (2019 江苏省徐州市)如图, 为 的直径, 为 上一点, 为 的中点.过点 作直线 的垂线,垂足为 ,连接 .
(1)求证: ;
(2) 与 有怎样的位置关系?请说明理由.
 

【解析】(1)证明:连接 ,
 为 的中点,
  ,
 ,
 ,
 ;
(2)解: 与 相切,
理由: ,
 ,
 ,
 ,
 与 相切.
 
6. (2019 江苏省盐城市)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N,过点N作NE⊥AB,垂足为E.
(1)若⊙O的半径为 ,AC=6,求BN的长;
(2)求证:NE与⊙O相切.
 

【解析】(1)连接DN,ON
 
∵⊙O的半径为 ,
∴CD=5
∵∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,
∴BD=CD=AD=5,
∴AB=10,
∴BC= =8
∵CD为直径
∴∠CND=90°,且BD=CD
∴BN=NC=4
(2)∵∠ACB=90°,D为斜边的中点,
∴CD=DA=DB= AB,
∴∠BCD=∠B,
∵OC=ON,
∴∠BCD=∠ONC,
∴∠ONC=∠B,
∴ON∥AB,
∵NE⊥AB,
∴ON⊥NE,
∴NE为⊙O的切线.
7. (2019 江苏省镇江市)如图,在△ABC中,AB=AC,过AC延长线上的点O作OD⊥AO,交BC的延长线于点D,以O为圆心,OD长为半径的圆过点B.
(1)求证:直线AB与⊙O相切;
(2)若AB=5,⊙O的半径为12,则tan∠BDO=     .
 
【解析】(1)证明:连接AB,如图所示:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵∠ACB=∠OCD,
∴∠ABC=∠OCD,
∵OD⊥AO,
∴∠COD=90°,
∴∠D+∠OCD=90°,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠D,
∴∠OBD+∠ABC=90°,
即∠ABO=90°,
∴AB⊥OB,
∵点B在圆O上,
∴直线AB与⊙O相切;
(2)解:∵∠ABO=90°,
∴OA= = =13,
∵AC=AB=5,
∴OC=OA﹣AC=8,
∴tan∠BDO= = = ;
故答案为: .
 
考向3  扇形与圆锥
1. (2019 江苏省苏州市)如图,扇形 中, 。 为弧 上的一点,过点 作 ,垂足为 , 与 交于点 ,若 ,则该扇形的半径长为___________
 
【解析】由题意可知AC=CD=1,连接OP,设该扇形的半径为r,由勾股定理可列方程:32+(r-1)2=r2,解得r=5,因此本题答案为5.
2. (2019 江苏省泰州市)如图,分别以正三角形的3个顶点为圆心,边长为半径画弧,三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形边长为6cm,则该莱洛三角形的周长为     cm.
 
【解析】该莱洛三角形的周长=3× =6π(cm).
故答案为6π.
3. (2019 江苏省徐州市)如图,沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,得到一个扇形,若圆锥的底面圆的半径 ,扇形的圆心角 ,则该圆锥的母线长 为    .

 
【解析】 圆锥的底面周长 ,
设圆锥的母线长为 ,则: ,
解得 .
故答案为:6.
4. (2019 江苏省扬州市)如图,将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°至四边形AB′C′D′的位置,若AB=16cm,则图中阴影部分的面积为     cm2.
 
【解析】由旋转的性质得:∠BAB'=45°,四边形AB'C'D'≌四边形ABCD,
则图中阴影部分的面积=四边形ABCD的面积+扇形ABB'的面积﹣四边形AB'C'D'的面积=扇形ABB'的面积= =32π;
故答案为:32π.

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