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2019湖北鄂州中考数学试题(答案)

一、选择题(每小题3分,共30分)

1.(3分)﹣2019的绝对值是()

A.2019 B.﹣2019 C.D.﹣

2.(3分)下列运算正确的是()

A.a3•a2 =a6B.a7÷a3 =a4

C.(﹣3a)2 =﹣6a2D.(a﹣1)2=a2 ﹣1

3.(3分)据统计,2019年全国高考人数再次突破千万,高达1031万人.数据1031万用科学记数法可表示为()

A.0.1031×106B.1.031×107C.1.031×108D.10.31×109

4.(3分)如图是由7个小正方体组合成的几何体,则其左视图为()

 

A.B.

C.D.

5.(3分)如图,一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上,若∠2=35°,则∠1的度数为()

 

A.45°B.55°C.65°D.75°

<!--[if !supportLists]-->6.<!--[endif]-->3分)已知一组数据为7,2,5,x,8,它们的平均数是5,则这组数据的方差为()

A.3 B.4.5 C.5.2 D.6

7.(3分)关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的两实数根分别为x1、x2,且x1+3x2=5,则m的值为()

A.B.C.D.0

8.(3分)在同一平面直角坐标系中,函数y=﹣x+k与y=(k为常数,且k≠0)的图象大致是()

9.(3分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴是直线x=1.下列结论:①abc<0;②3a+c >0;③(a+c)2﹣b2<0;④a+b≤m(am+b)(m为实数).其中结论正确的个数为()

 

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.(3分)如图,在平面直角坐标系中,点A1、A2、A3…A n在x轴上,B1、B2、B3…B n在直线y=x 上,若A1(1,0),且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形,从左到右的小三角形(阴影部分)的面积分别记为S1、S2、S3…S n.则S n可表示为()

 

A.22n B.22n﹣1C.22n﹣2D.22n﹣3

.填空题(每小题3分,共18分)

11.(3分)因式分解:4ax2﹣4ax+a=.

12.(3分)若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y≤0,则m的取值范围是.13.(3分)一个圆锥的底面半径r=5,高h=10,则这个圆锥的侧面积是.

14.(3分)在平面直角坐标系中,点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为:d=,则点P(3,﹣3)到直线y=﹣x+的距离为.

15.(3分)如图,已知线段AB=4,O是AB的中点,直线l经过点O,∠1=60°,P点是直线l上一点,当△APB为直角三角形时,则BP=.

 

16.(3分)如图,在平面直角坐标系中,已知C(3,4),以点C为圆心的圆与y轴相切.点A、B在x 轴上,且OA=OB.点P为⊙C上的动点,∠APB=90°,则AB长度的最大值为.

 

.解答题(17~21题每题8分,22、23题每题10分,24题12分,共72分)

17.(8分)先化简,再从﹣1、2、3、4中选一个合适的数作为x的值代入求值.

21.(8分)为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动,我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌,如下图.小明同学为测量宣传牌的高度AB,他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处,测得宣传牌的底部B的仰角为60°,同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°(A、B、D、E在同一直线上).然后,小明沿坡度i=1:1.5的斜坡从C走到F处,此时DF正好与地面CE平行.

1)求点F到直线CE的距离(结果保留根号);

2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°,求宣传牌的高度AB(结果精确到0.1米,≈1.41,≈1.73).

 

22.(10分)如图,PA是⊙O的切线,切点为A,AC是⊙O的直径,连接OP交⊙O于E.过A点作AB⊥PO于点D,交⊙O于B,连接BC,PB.

1)求证:PB是⊙O的切线;

2)求证:E为△PAB的内心;

3)若cos∠PAB=,BC=1,求PO的长.

 

23.(10分)“互联网+”时代,网上购物备受消费者青睐.某网店专售一款休闲裤,其成本为每条40元,当售价为每条80元时,每月可销售100条.为了吸引更多顾客,该网店采取降价措施.据市场调查反映:销售单价每降1元,则每月可多销售5条.设每条裤子的售价为x元(x为正整数),每月的销售量为y条.

1)直接写出y与x的函数关系式;

2)设该网店每月获得的利润为w元,当销售单价降低多少元时,每月获得的利润最大,最大利润是多少?

3)该网店店主热心公益事业,决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生.为了保证捐款后每月利

润不低于4220元,且让消费者得到最大的实惠,该如何确定休闲裤的销售单价?

24.(12分)如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点,AB=4,交y轴于点C,对称轴是直线x=1.

1)求抛物线的解析式及点C的坐标;

2)连接BC,E是线段OC上一点,E关于直线x=1的对称点F正好落在BC上,求点F的坐标;

3)动点M从点O出发,以每秒2个单位长度的速度向点B运动,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,交线段BC于点Q.设运动时间为t(t>0)秒.

①若△AOC与△BMN相似,请直接写出t的值;

②△BOQ能否为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.

 

参考答案与试题解析

一、选择题(每小题3分,共30分)

1.(3分)﹣2019的绝对值是()

A.2019 B.﹣2019 C.D.﹣

【分析】直接利用绝对值的定义进而得出答案.

【解答】解:﹣2019的绝对值是:2019.

故选:A.

【点评】此题主要考查了绝对值,正确把握绝对值的定义是解题关键.

2.(3分)下列运算正确的是()

A.a3•a2 =a6B.a7÷a3 =a4

C.(﹣3a)2 =﹣6a2D.(a﹣1)2=a2 ﹣1

【分析】各项计算得到结果,即可作出判断.

【解答】解:A、原式=a5,不符合题意;

B、原式=a4,符合题意;

C、原式=9a2,不符合题意;

D、原式=a2﹣2a+1,不符合题意,

故选:B.

【点评】此题考查了整式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

3.(3分)据统计,2019年全国高考人数再次突破千万,高达1031万人.数据1031万用科学记数法可表示为()

A.0.1031×106B.1.031×107C.1.031×108D.10.31×109

【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,据此判断即可.

【解答】解:将1031万用科学记数法可表示为1.031×107.

故选:B.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

4.(3分)如图是由7个小正方体组合成的几何体,则其左视图为()

 

A.B.

C.D.

【分析】找到从左面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在左主视图中.

【解答】解:从左面看易得其左视图为:

 

故选:A.

【点评】本题考查了三视图的知识,左视图是从物体的左面看得到的视图.

5.(3分)如图,一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上,若∠2=35°,则∠1的度数为()

 

A.45°B.55°C.65°D.75°

【分析】根据平行线的性质和直角的定义解答即可.

【解答】解:如图,

EF∥AB∥CD,

∴∠2=∠AEF=35°,∠1=∠FEC,

∵∠AEC=90°,

∴∠1=90°﹣35°=55°,

故选:B.

【点评】此题考查平行线的性质,关键是根据平行线的性质得出∠2=∠AEF=35°,∠1=∠FEC.6.(3分)已知一组数据为7,2,5,x,8,它们的平均数是5,则这组数据的方差为()A.3 B.4.5 C.5.2 D.6

【分析】先由平均数是5计算x的值,再根据方差的计算公式,直接计算可得.

【解答】解:∵一组数据7,2,5,x,8的平均数是5,

∴5=(7+2+5+x+8),

∴x=5×5﹣7﹣2﹣5﹣8=3,

∴s2=[(7﹣5)2+(2﹣5)2+(5﹣5)2+(3﹣5)2+(8﹣5)2]=5.2,

故选:C.

【点评】本题考查的是算术平均数和方差的计算,掌握方差的计算公式:一般地设n个数据,x1,x2,…

x n的平均数为,则方差S2=[(x

﹣)2+(x2﹣)2+…+(x n﹣)2],是解题的关键.

1

7.(3分)关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的两实数根分别为x1、x2,且x1+3x2=5,则m的值为()

A.B.C.D.0

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=4,代入代数式计算即可.

【解答】解:∵x1+x2=4,

∴x1+3x2=x1+x2+2x2=4+2x2=5,

∴x2=,

x2=代入x2﹣4x+m=0得:()2﹣4×+m=0,

解得:m=,

故选:A.

【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系,掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为:x1+x2=﹣,x1•x2=是解题的关键.

8.(3分)在同一平面直角坐标系中,函数y=﹣x+k与y=(k为常数,且k≠0)的图象大致是()A.B.

C.D.

【分析】根据题目中的函数解析式,利用分类讨论的方法可以判断哪个选项中图象是正确的,本题得以解决.

【解答】解:∵函数y=﹣x+k与y=(k为常数,且k≠0),

∴当k>0时,y=﹣x+k经过第一、二、四象限,y=经过第一、三象限,故选项A、B错误,当k<0时,y=﹣x+k经过第二、三、四象限,y=经过第二、四象限,故选项C正确,选项D错误,

故选:C.

【点评】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数和反比例函数的性质解答.

9.(3分)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴是直线x=1.下列结论:①abc<0;②3a+c >0;③(a+c)2﹣b2<0;④a+b≤m(am+b)(m为实数).其中结论正确的个数为()

 

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】①由抛物线开口方向得到a>0,对称轴在y轴右侧,得到a与b异号,又抛物线与y轴正半轴相交,得到c>0,可得出abc<0,选项①正确;

②把b=﹣2a代入a﹣b+c>0中得3a+c>0,所以②正确;

③由x=1时对应的函数值<0,可得出a+b+c<0,得到a+c<﹣b,由a>0,c>0,﹣b>0,得到()a+c)2﹣b2<0,选项③正确;

④由对称轴为直线x=1,即x=1时,y有最小值,可得结论,即可得到④正确.

【解答】解:①∵抛物线开口向上,∴a>0,

∵抛物线的对称轴在y轴右侧,∴b<0

∵抛物线与y轴交于负半轴,

∴c>0,

∴abc<0,①正确;

②当x=﹣1时,y>0,∴a﹣b+c>0,

∵,∴b=﹣2a,

b=﹣2a代入a﹣b+c>0中得3a+c>0,所以②正确;

③当x=1时,y<0,∴a+b+c<0,

∴a+c<﹣b,

∵a>0,c>0,﹣b>0,

∴(a+c)2<(﹣b)2,即(a+c)2﹣b2<0,所以③正确;

④∵抛物线的对称轴为直线x=1,

∴x=1时,函数的最小值为a+b+c,

∴a+b+c≤am2+mb+c,

a+b≤m(am+b),所以④正确.

故选:D.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当a >0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时,对称轴在y轴左;当a与b异号时,对称轴在y轴右.常数项c决定抛物线与y轴交点:抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由判别式确定:△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.

10.(3分)如图,在平面直角坐标系中,点A1、A2、A3…A n在x轴上,B1、B2、B3…B n在直线y=x 上,若A1(1,0),且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形,从左到右的小三角形(阴影部分)的面积分别记为S1、S2、S3…S n.则S n可表示为()

 

A.22n B.22n﹣1C.22n﹣2D.22n﹣3

【分析】直线y=x与x轴的成角∠B1OA1=30°,可得∠OB2A2=30°,…,∠OB n A n=30°,∠OB1A2=90°,…,∠OB n A n+1=90°;根据等腰三角形的性质可知A1B1=1,B2A2=OA2=2,

B 3A

3

4,…,B n A n=2n﹣1;根据勾股定理可得B1B2=,B2B3=2,…,B n B n+1=2n,再

由面积公式即可求解;

【解答】解:∵△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形,

∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n B n,B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥B n A n+1,△A1B1A2、△A2B2A3…△

A n

B n A n

+1

都是等边三角形,

∵直线y=x与x轴的成角∠B1OA1=30°,∠OA1B1=120°,

∴∠OB1A1=30°,

∴OA1=A1B1,

∵A1(1,0),

∴A1B1=1,

同理∠OB2A2=30°,…,∠OB n A n=30°,

∴B2A2=OA2=2,B3A3=4,…,B n A n=2n﹣1,

易得∠OB1A2=90°,…,∠OB n A n+1=90°,

∴B1B2=,B2B3=2,…,B n B n+1=2n,

∴S1=×1×=,S2=×2×2=2,…,S n=×2n﹣1×2n=;

故选:D.

【点评】本题考查一次函数的图象及性质,等边三角形和直角三角形的性质;能够判断阴影三角形是直角三角形,并求出每边长是解题的关键.

.填空题(每小题3分,共18分)

11.(3分)因式分解:4ax2﹣4ax+a=a(2x﹣1)2.

【分析】原式提取a,再利用完全平方公式分解即可.

【解答】解:原式=a(4x2﹣4x+1)=a(2x﹣1)2,

故答案为:a(2x﹣1)2

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.12.(3分)若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y≤0,则m的取值范围是m≤﹣

2 .

【分析】首先解关于x和y的方程组,利用m表示出x+y,代入x+y≤0即可得到关于m的不等式,求得m的范围.

【解答】解:,

①+②得2x+2y=4m+8,

x+y=2m+4,

根据题意得2m+4≤0,

解得m≤﹣2.

故答案是:m≤﹣2.

【点评】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式,解答此题的关键是把m当作已知数表

示出x+y的值,再得到关于m的不等式.

 

13.(3分)一个圆锥的底面半径r=5,高h=10,则这个圆锥的侧面积是.【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长,进而利用圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长,把相应数值代入即可求解.

【解答】解:∵圆锥的底面半径r=5,高h=10,

∴圆锥的母线长为=5,

∴圆锥的侧面积为π×5×5=,

故答案为:.

【点评】本题考查圆锥侧面积公式的运用,注意运用圆锥的高,母线长,底面半径组成直角三角形这个知识点.

14.(3分)在平面直角坐标系中,点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为:d=,

 

则点P(3,﹣3)到直线y=﹣x+的距离为.

【分析】根据题目中的距离公式即可求解.

【解答】解:∵y=﹣x+

∴2x+3y﹣5=0

∴点P(3,﹣3)到直线y=﹣x+的距离为:=,

故答案为:.

【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质解答.

15.(3分)如图,已知线段AB=4,O是AB的中点,直线l经过点O,∠1=60°,P点是直线l上一

 

点,当△APB为直角三角形时,则BP=.

 

【分析】分∠APB=90°、∠PAB=90°、∠PBA=90°三种情况,根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可.

【解答】解:∵AO=OB=2,

∴当BP=2时,∠APB=90°,

∠PAB=90°时,∵∠AOP=60°,

∴AP=OA•tan∠AOP=2,

∴BP==2,

∠PBA=90°时,∵∠AOP=60°,

∴BP=OB•tan∠1=2,

故答案为:2或2或2.

 

【点评】本题考查的是勾股定理,如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.

16.(3分)如图,在平面直角坐标系中,已知C(3,4),以点C为圆心的圆与y轴相切.点A、B在x 轴上,且OA=OB.点P为⊙C上的动点,∠APB=90°,则AB长度的最大值为16 .

 

【分析】连接OC并延长,交⊙C上一点P,以O为圆心,以OP为半径作⊙O,交x轴于A、B,此时AB的长度最大,根据勾股定理和题意求得OP=8,则AB的最大长度为16.

【解答】解:连接OC并延长,交⊙C上一点P,以O为圆心,以OP为半径作⊙O,交x轴于A、B,此时AB的长度最大,

∵C(3,4),

∴OC==5,

∵以点C为圆心的圆与y轴相切.

∴⊙C的半径为3,

∴OP=OA=OB=8,

∵AB是直径,

∴∠APB=90°,

∴AB长度的最大值为16,

故答案为16.

【点评】本题考查了切线的性质,坐标和图形的性质,圆周角定理,找到OP的最大值是解题的关键.三.解答题(17~21题每题8分,22、23题每题10分,24题12分,共72分)

17.(8分)先化简,再从﹣1、2、3、4中选一个合适的数作为x的值代入求值.(﹣)÷

【分析】先化简分式,然后将x的值代入计算即可.

【解答】解:原式=[﹣]÷

[﹣])÷

x+2

∵x﹣2≠0,x﹣4≠0,

∴x≠2且x≠4,

∴当x=﹣1时,

原式=﹣1+2=1.

【点评】本题考查了分式的化简求值,熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键.

18.(8分)如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点O是对角线BD的中点,过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F.

1)求证:四边形DEBF是平行四边形;

2)当DE=DF时,求EF的长.

 

【分析】(1)根据矩形的性质得到AB∥CD,由平行线的性质得到∠DFO=∠BEO,根据全等三角形的性质得到DF=BE,于是得到四边形BEDF是平行四边形;

2)推出四边形BEDF是菱形,得到DE=BE,EF⊥BD,OE=OF,设AE=x,则DE=BE=8﹣x根据勾股定理即可得到结论.

【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,

∴AB∥CD,

∴∠DFO=∠BEO,

又因为∠DOF=∠BOE,OD=OB,

∴△DOF≌△BOE(ASA),

∴DF=BE,

又因为DF∥BE,

∴四边形BEDF是平行四边形;

2)解:∵DE=DF,四边形BEDF是平行四边形

∴四边形BEDF是菱形,

∴DE=BE,EF⊥BD,OE=OF,

AE=x,则DE=BE=8﹣x

Rt△ADE中,根据勾股定理,有AE2+AD2=DE2

∴x2+62=(8﹣x)2,

解之得:x=,

∴DE=8﹣=,

Rt△ABD中,根据勾股定理,有AB2+AD2=BD2

∴BD=,

∴OD=BD=5,

Rt△DOE中,根据勾股定理,有DE2 ﹣OD2=OE2,

∴OE=,

∴EF=2OE=.

【点评】本题考查了矩形的性质,平行四边形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,熟练掌握矩形的性质是解题的关键.

19.(8分)某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况,随机选取该校部分学生进行调查,要求每名学生从中选出一类最喜爱的电视节目,以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分.

 

请你根据以上信息,回答下列问题:

1)统计表中m的值为25 ,统计图中n的值为25 ,A类对应扇形的圆心角为39.6 度;

2)该校共有1500名学生,根据调查结果,估计该校最喜爱体育节目的学生人数;

3)样本数据中最喜爱戏曲节目的有4人,其中仅有1名男生.从这4人中任选2名同学去观赏戏曲表演,请用树状图或列表求所选2名同学中有男生的概率.

 

【分析】(1)先根据B类别人数及其百分比求出总人数,再由各类别人数之和等于总人数求出m,继而由百分比概念得出n的值,用360°乘以A类别人数所占比例即可得;

2)利用样本估计总体思想求解可得.

【解答】解:(1)∵样本容量为20÷20%=100,

∴m=100﹣(11+20+40+4)=25,n%=×100%=25%,A类对应扇形的圆心角为360°×

 

39.6°,

故答案为:25、25、39.6.

2)1500×=300(人)

答:该校最喜爱体育节目的人数约有300人;

3)画树状图如下:

 

共有12种情况,所选2名同学中有男生的有6种结果,

所以所选2名同学中有男生的概率为.

【点评】本题考查了扇形统计图,条形统计图,树状图等知识点,能正确画出树状图是解此题的关键.20.(8分)已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1=0有实数根.

1)求k的取值范围;

2)设方程的两根分别是x1、x2,且+=x1•x2,试求k的值.

【分析】(1)根据一元二次方程x2﹣2x+2k﹣1=0有两个不相等的实数根得到△=(﹣2)2﹣4(2k ﹣1)≥0,求出k的取值范围即可;

2)根据根与系数的关系得出方程解答即可.

【解答】(1)解:∵原方程有实数根,

∴b2﹣4ac≥0∴(﹣2)2﹣4(2k﹣1)≥0

∴k≤1

2)∵x1,x2是方程的两根,根据一元二次方程根与系数的关系,得:

x

+x2 =2,x1 •x2 =2k﹣1

1

 

∵+=x1•x2,

∴(x1+x2)2﹣2x1 x2 =(x1 •x2)2

∴22﹣2(2k﹣1)=(2k﹣1)2

解之,得:.经检验,都符合原分式方程的根

∵k≤1

∴.

【点评】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识,解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k的取值范围,此题难度不大.

21.(8分)为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动,我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌,如下图.小明同学为测量宣传牌的高度AB,他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处,测得宣传牌的底部B的仰角为60°,同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°(A、B、D、E在同一直线上).然后,小明沿坡度i=1:1.5的斜坡从C走到F处,此时DF正好与地面CE平行.

1)求点F到直线CE的距离(结果保留根号);

2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°,求宣传牌的高度AB(结果精确到0.1米,≈1.41,≈1.73).

 

【分析】(1)过点F作FG⊥EC于G,依题意知FG∥DE,DF∥GE,∠FGE=90°;得到四边形DEFG是矩形;根据矩形的性质得到FG=DE;解直角三角形即可得到结论;

2)解直角三角形即可得到结论.

【解答】解:(1)过点F作FG⊥EC于G,

依题意知FG∥DE,DF∥GE,∠FGE=90°;

∴四边形DEFG是矩形;

∴FG=DE;

Rt△CDE中,

DE=CE•tan∠DCE;

6×tan30o=2(米);

∴点F到地面的距离为2米;

2)∵斜坡CF i=1:1.5.

∴Rt△CFG中,CG=1.5FG=2×1.5=3,

∴FD=EG=3+6.

Rt△BCE中,

BE =CE•tan∠BCE=6×tan60o=6.

∴AB=AD+DE﹣BE.

3+6+2﹣6=6﹣≈4.3 (米).

答:宣传牌的高度约为4.3米.

 

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,正确标注仰角和俯角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.

22.(10分)如图,PA是⊙O的切线,切点为A,AC是⊙O的直径,连接OP交⊙O于E.过A点作AB⊥PO于点D,交⊙O于B,连接BC,PB.

1)求证:PB是⊙O的切线;

2)求证:E为△PAB的内心;

3)若cos∠PAB=,BC=1,求PO的长.

 

【分析】(1)连结OB,根据圆周角定理得到∠ABC=90°,证明△AOP≌△BOP,得到∠OBP=∠OAP,根据切线的判定定理证明;

2)连结AE,根据切线的性质定理得到∠PAE+∠OAE=90°,证明EA平分∠PAD,根据三角形的内心的概念证明即可;

3)根据余弦的定义求出OA,证明△PAO∽△ABC,根据相似三角形的性质列出比例式,计算即可.【解答】(1)证明:连结OB,

∵AC为⊙O的直径,

∴∠ABC=90°,

∵AB⊥PO,

∴PO∥BC

∴∠AOP=∠C,∠POB=∠OBC,

OB=OC,

∴∠OBC=∠C,

∴∠AOP=∠POB,

△AOP和△BOP中,

 

∴△AOP≌△BOP(SAS),

∴∠OBP=∠OAP,

∵PA为⊙O的切线,

∴∠OAP=90°,

∴∠OBP=90°,

∴PB是⊙O的切线;

2)证明:连结AE,

∵PA为⊙O的切线,

∴∠PAE+∠OAE=90°,

∵AD⊥ED,

∴∠EAD+∠AED=90°,

∵OE=OA,

∴∠OAE=∠AED,

∴∠PAE=∠DAE,即EA平分∠PAD,

∵PA、PD为⊙O的切线,

∴PD平分∠APB

∴E为△PAB的内心;

3)解:∵∠PAB+∠BAC=90°,∠C+∠BAC=90°,∴∠PAB=∠C,

∴cos∠C=cos∠PAB=,

Rt△ABC中,cos∠C===,

∴AC=,AO=,

∵△PAO∽△ABC,

∴,

∴PO===5.

 

【点评】本题考查的是三角形的内切圆和内心、相似三角形的判定和性质、切线的判定,掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

23.(10分)“互联网+”时代,网上购物备受消费者青睐.某网店专售一款休闲裤,其成本为每条40元,当售价为每条80元时,每月可销售100条.为了吸引更多顾客,该网店采取降价措施.据市场调查反映:销售单价每降1元,则每月可多销售5条.设每条裤子的售价为x元(x为正整数),每月的销售量为y条.

1)直接写出y与x的函数关系式;

2)设该网店每月获得的利润为w元,当销售单价降低多少元时,每月获得的利润最大,最大利润是多少?

3)该网店店主热心公益事业,决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生.为了保证捐款后每月利润不低于4220元,且让消费者得到最大的实惠,该如何确定休闲裤的销售单价?

【分析】(1)直接利用销售单价每降1元,则每月可多销售5条得出y与x的函数关系式;

2)利用销量×每件利润=总利润进而得出函数关系式求出最值;

3)利用总利润=4220+200,求出x的值,进而得出答案.

【解答】解:(1)由题意可得:y=100+5(80﹣x)整理得y=﹣5x+500;

2)由题意,得:

w=(x﹣40)(﹣5x+500)

=﹣5x2+700x﹣20000

=﹣5(x﹣70)2+4500

∵a=﹣5<0∴w有最大值

即当x=70时,w最大值=4500

∴应降价80﹣70=10(元)

答:当降价10元时,每月获得最大利润为4500元;

3)由题意,得:

5(x﹣70)2+4500=4220+200

解之,得:x1=66,x2 =74,

∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=70,

∴当66≤x≤74时,符合该网店要求

而为了让顾客得到最大实惠,故x=66

∴当销售单价定为66元时,即符合网店要求,又能让顾客得到最大实惠.

【点评】此题主要考查了二次函数的应用,我们首先要吃透题意,确定变量,建立函数模型,然后结合实际选择最优方案,正确得出w与x之间的函数关系式是解题关键.

24.(12分)如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点,AB=4,交y轴于点C,对称轴是直线x=1.

1)求抛物线的解析式及点C的坐标;

2)连接BC,E是线段OC上一点,E关于直线x=1的对称点F正好落在BC上,求点F的坐标;

3)动点M从点O出发,以每秒2个单位长度的速度向点B运动,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,交线段BC于点Q.设运动时间为t(t>0)秒.

①若△AOC与△BMN相似,请直接写出t的值;

②△BOQ能否为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.

 

【分析】(1)将A、B关坐标代入y=﹣x2+bx+c中,即可求解;

2)确定直线BC的解析式为y=﹣x+3,根据点E、F关于直线x=1对称,即可求解;

3)①△AOC与△BMN相似,则,即可求解;②分OQ=BQ、BO=BQ、OQ=OB 三种情况,分别求解即可.

【解答】解:(1))∵点A、B关于直线x=1对称,AB=4,

∴A(﹣1,0),B(3,0),

代入y=﹣x2+bx+c中,得:,解得,

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3,

∴C点坐标为(0,3);

2)设直线BC的解析式为y=mx+n,

则有:,解得,

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3,

∵点E、F关于直线x=1对称,

E到对称轴的距离为1,

∴EF=2,

∴F点的横坐标为2,将x=2代入y=﹣x+3中,

得:y=﹣2+3=1,

∴F(2,1);

3)①如下图,

MN=﹣4t2+4t+3,MB=3﹣2t,

△AOC与△BMN相似,则,

即:,

解得:t=或﹣或3或1(舍去、﹣、3),

故:t=1;

 

②∵M(2t,0),MN⊥x轴,∴Q(2t,3﹣2t),

∵△BOQ为等腰三角形,∴分三种情况讨论,

第一种,当OQ=BQ时,

∵QM⊥OB

∴OM=MB

∴2t=3﹣2t

∴t=;

第二种,当BO=BQ时,在Rt△BMQ中

∵∠OBQ=45°,

∴BQ=,

∴BO=,

3=,

∴t=;

第三种,当OQ=OB时,

则点Q、C重合,此时t=0

t>0,故不符合题意

综上述,当t=或秒时,△BOQ为等腰三角形.

【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系.

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