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2019年全国各地中考数学试题分类汇编:17三角形的边与角(解析版)

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2019年全国各地中考数学试题分类汇编:17三角形的边与角(解析版)

一.选择题

1.(2019,山东枣庄,3 分)将一副直角三角板按如图所示的位置放置,使含 30°角的三角板的一条直角边和含 45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上,则∠α 的度数是

( )

 

 

A.45° B.60° C.75° D.85°

 

【分析】先根据三角形的内角和得出CGFDGB=45°,再利用∠αD+∠DGB 可得答案.

【解答】解:如图,

 

 

∵∠ACD=90°、∠F=45°,

 

∴∠CGFDGB=45°,

 

∠αD+∠DGB=30°+45°=75°, 故选:C

【点评】本题主要考查三角形的外角的性质,解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质.

 

2.(2019,四川巴中,4 分)下列命题是真命题的是( )

 

A. 对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是矩形C.对角线互相垂直的矩形是正方形D.四边相等的平行四边形是正方形


 

【分析】根据矩形的判定方法对 A.B 矩形判断;根据正方形的判定方法对 C.D 矩形判断.

 

【解答】解:A.对角线相等的平行四边形是矩形,所以 A 选项错误;

 

B. 对角线相等的平行四边形是矩形,所以 B 选项错误; C.对角线互相垂直的矩形是正方形,所以 C 选项正确; D.四边相等的菱形是正方形,所以 D 选项错误.

故选:C

 

【点评】本题考查了命题与定理:命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.

 

3. (2019▪ 贵州毕节▪ 3 分)在下列长度的三条线段中,不能组成三角形的是( )

 

A.2cm,3cm,4cm B.3cm,6cm,76cm

 

C.2cm,2cm,6cm D.5cm,6cm,7cm

 

【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边,进行分析判断.

 

【解答】解:A.2+3>4,能组成三角形;

 

B.3+6>7,能组成三角形; C.2+2<6,不能组成三角形; D.5+6>7,能够组成三角形. 故选:C

【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件.注意:用两条较短的线段相加,如果大于最长那条就能够组成三角形.

4 (2019•江苏泰州•3 分)如图所示的网格由边长相同的小正方形组成,点 A.B.C.D.E.FG

 

在小正方形的顶点上,则△ABC 的重心是( )

 

A.点 D B.点 E C.点 F D.点 G


 

【分析】根据三角形三条中线相交于一点,这一点叫做它的重心,据此解答即可.

 

【解答】解:根据题意可知,直线 CD 经过ABC AB 边上的中线,直线 AD 经过ABC BC 边上的中线,

∴点 D ABC 重心.

 

故选:A

【点评】本题主要考查了三角形的重心的定义,属于基础题意,比较简单.

52019••3 如图AB O 直径MN (异于 A.BC 

 

上一动点,ACB 的角平分线交⊙O 于点 DBAC 的平分线交 CD 于点 E.当点 C M 运动到点 N 时,则 C.E 两点的运动路径长的比是

 

 

A. B.                              C.                               D.

【分析】如图,连接 EB.设 OAr.易知点 E 在以 D 为圆心 DA 为半径的圆上,运动轨  C 由题MON2∠GDFGDFα,则MON 2α,利用弧长公式计算即可解决问题.

【解答】解:如图,连接 EB.设 OAr

 

 

AB 是直径,

 

∴∠ACB=90°,

 

E ACB 的内心,


 

∴∠AEB=135°,

 

∵∠ACDBCD

 

∴  

ADDB= r

∴∠ADB=90°,

 

易知点 E 在以 D 为圆心 DA 为半径的圆上,运动轨迹是,点 C 的运动轨迹是,

∵∠MON=2∠GDF,设GDF=α,则MON=2α

 

 

∴ = = .

 

 

故选:A

 

【点评】本题考查弧长公式,圆周角定理,三角形的内心等知识,解题的关键是理解题意,正确寻找点的运动轨迹,属于中考选择题中的压轴题.

 

6 (2019•湖南衡阳•3 分)下列命题是假命题的是( )

 

A.n 边形(n≥3)的外角和是 360°

 

B. 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C.相等的角是对顶角

D.矩形的对角线互相平分且相等

 

【分析】根据多边形的外角和、线段垂直平分线的性质、对顶角和矩形的性质判断即可.

 

【解答】解:A.n 边形(n≥3)的外角和是 360°,是真命题;

 

B.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,是真命题; C.相等的角不一定是对顶角,是假命题;

D.矩形的对角线互相平分且相等,是真命题; 故选:C

【点评】本题考查了命题与定理:判断事物的语句叫命题;正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题;经过推理论证的真命题称为定理.

 

(2019 甘肃省天水市) 5 一把直尺和一块三角板 ABC 30°、60°角)如图所示摆放,直尺一边与三角板的两直角边分别交于点 D 和点 E,另一边与三角板的两直角边分别交于点 F 和点 A,且∠CED=50°,那么∠BFA 的大小为( )


 

 

 

A. B. C. D.

 

 

【答案】B

【解析】

解:∠FDE=∠C+∠CED=90°+50°=140 °,

∵DE∥AF,

∴∠BFA=∠FDE=140°.

:B.

 

先利用三角形外角性得到∠FDE=∠C+∠CED=140°,然后根据平行线的性得到∠BFA 的度数.

了平行线的性:两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互;两直线平行,内角相等.

8. (2019 甘肃省天水市)如图,等边△OAB 的边长为 2,则点 B 的坐标为( )

A.

 

B.

 

C.

 

D.

 

【答案】B

【解析】

解: B BH⊥AO H 点,∵△OAB 是等三角形,

 


 

∴OH=1,BH=  .

 B 的坐标为1  ).:B.

BH⊥AO  H 点,∵△OAB 是等三角形,所以可求出 OH  BH  主要考了等三角形的性,以坐背景,合考了勾股定理和坐

形的性

9.(2019•浙江绍兴•4 分)如图,墙上钉着三根木条 abC,量得∠1=70°,∠2=100°,那么木条 ab 所在直线所夹的锐角是( )

 

A.5° B.10° C.30° D.70°

【分析】根据对顶角相等求出∠3,根据三角形内角和定理计算,得到答案.

【解答】解:∠3=∠2=100°,

木条 ab 所在直线所夹的锐角=180°﹣100°﹣70°=10° 故选:B

 

【点评】本题考查的是三角形内角和定理、对顶角的性质,掌握三角形内角和等于 180°

是解题的关键.

10(2019•浙江衢州•3 分)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA,OB 组成, 两根棒在O 点相连并可绕O 转动,C 点固定,OC=CD=DE,点 D,E 可在槽中滑动,若∠ BDE=75°,则∠CDE 的度数是( )

A. 60° B. 65° C. 75° D. 8

【答案】 D

【考点】三角形内角和定理,三角形的外角性质,等腰三角形的性质

【解析】【解答】解:∵OC=CD=DE,

∴∠O=∠ODC∠DCE=∠DEC ∠O=∠ODC=x,

∴∠DCE=∠DEC=2x,


 

∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x,

∵∠BDE=75°,

∴∠ODC+∠CDE+∠BDE=180° x+180°-4x+75°=180° ,

解得:x=25°,

∠CDE=180°-4x=80°.

故答案为:D.

【分析】由等腰三角形性质得∠O=∠ODC∠DCE=∠DEC,设∠O=∠ODC=x,由三角形外角性质和三角形内角和定理得∠DCE=∠DEC=2x∠CDE=180°-4x,根据平角性质列出方程,解之即可的求得x 值,再由∠CDE=180°-4x=80°即可求得答案.

11.(2019•浙江宁波•4 分)已知直线 m∥n,将一块含 45°角的直角三角板ABC 按如图方式

放置,其中斜边 BC 与直线 n 交于点 D.若∠1=25°,则∠2 的度数为( )

 

A.60° B.65° C.70° D.75°

【分析】先求出∠AED=∠1+∠B=25°+45° =70°,再根据平行线的性质可知∠2=∠AED

=70°.

【解答】解:设 AB 与直线 n 交于点 E ∠AED=∠1+∠B=25°+45° =70° 又直线 m∥n,

∴∠2=∠AED=70°.

故选:C.

【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质,解题的关键是借助平行线和三角形内外角转化角.

 

12.(2019•浙江金华•3 分)若长度分别为 a,3,5 的三条线段能组成一个三角形,则a 的值可以是( )

A. 1 B. 2 C. 3 D.

8

【答案】 C

【考点】三角形三边关系

【解析】【解答】解:∵三角形三边长分别为:a,3,5,

∴a 的取值范围为:2<a<8,

∴a 的所有可能取值为:3,4,5,6,7. 故答案为:C.

【分析】三角形三边的关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,由此得出 a 的取值范围,从而可得答案.


 

13. (2019•山东省德州市 •4 分)下列命题是真命题的是( )

 

A.两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等B.平分弦的直径垂直于弦

C. 对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形

 

D. 两条直线被第三条直线所截,内错角相等

【考点】网版权所命题与定理

【分析】A.根据全等三角形的判定方法,判断即可.

 

B.根据垂径定理的推理对B 进行判断; C.根据平行四边形的判定进行判断; D.根据平行线的判定进行判断.

【解答】解:A.由两边及其中一边的对角分别相等无法证明两个三角形全等,故 A 错误, 是假命题;

B. 平分弦(非直径)的直径垂直于弦,故 B 错误,是假命题;

 

C. 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形,故C 正确,是真命题;

 

D. 两条平行线被第三条直线所截,内错角相等,故D 错误,是假命题; 故选:C.

【点评】本题考查了命题与定理:判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理.

 

14. (2019•湖南湘西州•4 分)下列命题是真命题的是( )

 

A. 同旁内角相等,两直线平行

 

B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形C.相等的两个角是对顶角

D.圆内接四边形对角相等

 

【分析】由平行线的判定方法得出 A 是假命题;由平行四边形的判定定理得出 B 是真命题;由对顶角的定义得出 C 是假命题;由圆内接四边形的性质得出 D 是假命题;即可得出答案.

【解答】解:A/同旁内角相等,两直线平行;假命题;

 

B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形;真命题;


 

C. 相等的两个角是对顶角;假命题; D.圆内接四边形对角相等;假命题; 故选:B

【点评】本题考查了命题与定理、平行线的判定、平行四边形的判定、对顶角的定义、圆内接四边形的性质;要熟练掌握.

 

 

二.填空题

1.(2019•浙江金华•4 分)如图,在量角器的圆心 O 处下挂一铅锤,制作了一个简易测倾仪。量角器的O 刻度线 AB 对准楼顶时,铅垂线对应的读数是 50°,则此时观察楼顶的仰角度数是 

14.【答案】 40°

【考点】三角形内角和定理

【解析】【解答】如图,

 

依题可得:∠AOC=50°,

∴∠OAC=40°,

即观察楼顶的仰角度数为 40°.

故答案为:40°.

【分析】根据题意可得∠AOC=50°,由三角形内角和定理得∠OAC=40°∠OAC 即为观察楼顶的仰角度数.

2. (2019•湖北十堰•3 分)如图,已知菱形 ABCD 的对角线 ACBD 交于点 OE  BC

 

的中点,若 OE=3,则菱形的周长为  24

 


 

【分析】根据菱形的对角线互相平分可得 BODO,然后求出 OE BCD 的中位线, 再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出 CD,然后根据菱形的周长公式计算即可得解.

【解答】解:∵四边形 ABCD 是菱形,

 

ABBCCDADBODO

 

∵点 E BC 的中点,

 

OE BCD 的中位线,

 

CD=2OE=2×3=6,

 

∴菱形 ABCD 的周长=4×6=24 故答案为:24.

【点评】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理;熟记菱形性质与三角形中位线定理是解题的关键.

 

3  (2019•江苏泰州•3 分)命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是  真命题 (填“真命题”或“假命题”).

【分析】根据三角形内角和定理判断即可.

【解答】解:三角形的三个内角中至少有两个锐角,是真命题; 故答案为:真命题

【点评】本题考查了命题与定理:判断事物的语句叫命题;正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题;经过推理论证的真命题称为定理.

 

 

 

 

 

三.解答题

1. (2019•湖北武汉•8 分)如图,点 A.B.C.D 在一条直线上,CE  BF 交于点 GA

 

1,CEDF,求证:EF

 

 

【分析】根据平行线的性质可得ACED,又A∠1,利用三角形内角和定理及等式的性质即可得出EF


 

【解答】解:CEDF

 

∴∠ACED

 

∵∠A∠1,

 

∴180°﹣∠ACEA=180°﹣∠D∠1,

 

∵∠E=180°﹣∠ACEAF=180°﹣∠D∠1,

 

∴∠EF

 

【点评】本题考查了平行线的性质:两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.也考查了三角形内角和定理.

2. (2019•湖南长沙•9 分)根据相似多边形的定义,我们把四个角分别相等,四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.

(1) 某同学在探究相似四边形的判定时,得到如下三个命题,请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”).

①四条边成比例的两个凸四边形相似;(     命题)

②三个角分别相等的两个凸四边形相似;(     命题)

③两个大小不同的正方形相似.(     命题)

(2) 如图 1,在四边形 ABCD 和四边形 A1B1C1D中,ABCA1B1C1BCD

B1C1D1, = = .求证:四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1 相似.

(3) 如图 2,四边形 ABCD 中,ABCDAC  BD 相交于点 O,过点 O  EFAB 别交 ADBC 于点 EF.记四边形 ABFE 的面积为 S1,四边形 EFCD 的面积为 S2,若四边形 ABFE 与四边形 EFCD 相似,求的值.

 

 

 

【分析】(1)根据相似多边形的定义即可判断.

 

(2) 根据相似多边形的定义证明四边成比例,四个角相等即可.

 

(3) 四边形 ABFE 与四边形 EFCD 相似,证明相似比是即可解决问题,即证明 DE


 

AE 即可.

 

【解答】(1)解:①四条边成比例的两个凸四边形相似,是假命题,角不一定相等.

②三个角分别相等的两个凸四边形相似,是假命题,边不一定成比例.

两个大小不同的正方形相似.是真命题. 故答案为假,假,真.

 

 

(2) 证明:如图中,连接 BDB1D1.

 

∵∠BCDB1C1D1,且 = ,

∴△BCD∽△B1C1D1,

∴∠CDBC1D1B1C1B1D1CBD

∵ = = ,

 

∴ = ,

 

∵∠ABCA1B1C1,

∴∠ABDA1B1D1,

∴△ABD∽△A1B1D1,

∴ = AA1ADBA1D1B1,

∴, = = = ADCA1D1C1AA1ABC

A1B1C1BCDB1C1D1,

∴四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1 相似.

 

 

(3) 如图 2 中,


 

 

 

 

∵四边形 ABCD 与四边形 EFCD 相似.

∴ = ,

EFOE+OF

∴ = ,

EFABCD

∴ = , = = ,

∴ + = + ,

∴ = ,

ADDE+AE

∴ = ,

∴2AEDE+AE

 

AEDE

 

∴ =1.

【点评】本题属于相似形综合题,考查了相似三角形的判定和性质,相似多边形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题,属于中考压轴题.

 

3. (2019•湖北孝感•10 分)如图,点 I ABC 的内心,BI 的延长线与ABC 的外接圆⊙O 交于点 D,与 AC 交于点 E,延长 CD.BA 相交于点 FADF 的平分线交 AF 于点 G

(1) 求证:DGCA

 

(2) 求证:ADID

 

(3)  DE=4,BE=5,求 BI 的长.


 

【分析】(1)根据三角形内心的性质得∠2∠7,再利用圆内接四边形的性质得ADF

 

ABC,则∠1∠2,从而得到∠1∠3,则可判断 DGAC

 

(2) 根据三角形内心的性质得∠5∠6,然后证明∠4DAI 得到 DADI

 

(3) 证明DAE∽△DBA,利用相似比得到 AD=6,则 DI=6,然后计算 BDDI 即可.

 

【解答】(1)证明:∵点 I ABC 的内心,

 

∴∠2∠7,

 

DG 平分ADF

∴∠1= ∠ADF

∵∠ADFABC

 

∴∠1∠2,

 

∵∠3∠2,

 

∴∠1∠3,

 

DGAC

 

(2)证明:∵点 I ABC 的内心,

 

∴∠5∠6,

 

∵∠4∠7+∠5∠3+∠6 ∠4DAI

DADI

 

(3)解:∵∠3∠7ADEBAD

 

∴△DAE∽△DBA

 

ADDBDEDA,即 AD:9=4:AD

 

AD=6,

 

DI=6,

 

BIBDDI=9﹣6=3.


 

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心:三角形的内心到三角形三边的距离相等; 三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.也考查了圆周角定理和三角形的外心.

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