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2019年四川省南充市中考数学试卷(解析版)

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2019年四川省南充市中考数学试卷

一、选择题(本大题共10个小题,每小3分,共30分)每小题都有代号为ABCD四个答案选项,其中只有一个是正确的,请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置,填涂正确记3分,不涂、填涂或多涂记0分.

1.(3分)如果6a1,那么a的值为(  )

A6 B C.﹣6 D.﹣

2.(3分)下列各式计算正确的是(  )

Ax+x2x3 B.(x23x5 Cx6÷x2x3 Dxx2x3

3.(3分)如图是一个几何体的表面展开图,这个几何体是(  )

 

A B C D

4.(3分)在2019年南充市初中毕业升学体育与健康考试中,某校九年级(1)班体育委员对本班50名同学参加球类自选项目做了统计,制作出扇形统计图(如图),则该班选考乒乓球人数比羽毛球人数多(  )

 

A5 B10 C15 D20

5.(3分)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,若BC6AC5,则△ACE的周长为(  )

 

A8 B11 C16 D17

6.(3分)关于x的一元一次方程2xa2+m4的解为x1,则a+m的值为(  )

A9 B8 C5 D4

7.(3分)如图,在半径为6O中,点ABC都在⊙O上,四边形OABC是平行四边形,则图中阴影部分的面积为(  )

 

A6π B3π C2π D2π

8.(3分)关于x的不等式2x+a1只有2个正整数解,则a的取值范围为(  )

A.﹣5a<﹣3 B.﹣5a<﹣3 C.﹣5a≤﹣3 D.﹣5a≤﹣3

9.(3分)如图,正方形MNCB在宽为2的矩形纸片一端,对折正方形MNCB得到折痕AE,再翻折纸片,使ABAD重合,以下结论错误的是(  )

 

AAB210+2 B

CBC2CDEH DsinAHD

10.(3分)抛物线yax2+bx+cabc是常数),a0,顶点坐标为(m),给出下列结论:①若点(ny1)与(2ny2)在该抛物线上,当n<时,则y1y2;②关于x的一元二次方程ax2bx+cm+10无实数解,那么(  )

A①正确,②正确 B①正确,②错误

C①错误,②正确 D①错误,②错误

二、填空题(本大题6个小题,每小是3分,共18分)请将答案填在答题十对应的横线上

11.(3分)原价为a元的书包,现按8折出售,则售价为   元.

12.(3分)如图,以正方形ABCDAB边向外作正六边形ABEFGH,连接DH,则ADH   度.

 

13.(3分)计算:+=   

14.(3分)下表是某养殖户的500只鸡出售时质量的统计数据.

质量/kg

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

频数/

56

162

112

120

40

10

500只鸡质量的中位数为   

15.(3分)在平面直角坐标系xOy中,点A3m2n)在直线y=﹣x+1上,点Bmn)在双曲线y=上,则k的取值范围为   

16.(3分)如图,矩形硬纸片ABCD的顶点Ay轴的正半轴及原点上滑动,顶点Bx轴的正半轴及原点上滑动,点EAB的中点,AB24BC5.给出下列结论:①点A从点O出发,到点B运动至点O为止,点E经过的路径长为12π;②△OAB的面积最大值为144③当OD最大时,点D的坐标为(,).其中正确的结论是   .(填写序号)

 

三、解答题(本大题共9个小题,共72分)解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤

17.(6分)计算:(1π)0+|﹣|+1

18.(6分)如图,点O是线段AB的中点,ODBCODBC

1)求证:△AOD≌△OBC

2)若∠ADO35°,求∠DOC的度数.

 

19.(6分)现有四张完全相同的不透明卡片,其正面分别写有数字﹣2,﹣102,把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上.

1)随机的取一张卡片,求抽取的卡片上的数字为负数的概率.

2)先随机抽取一张卡片,其上的数字作为点A的横坐标;然后放回并洗匀,再随机抽取一张卡片,其上的数字作为点A的纵坐标,试用画树状图或列表的方法求出点A在直线y2x上的概率.

20.(8分)已知关于x的一元二次方程x2+2m1x+m230有实数根.

1)求实数m的取值范围;

2)当m2时,方程的根为x1x2,求代数式(x12+2x1)(x22+4x2+2)的值.

21.(8分)双曲线y=(k为常数,且k0)与直线y=﹣2x+b,交于A(﹣mm2),B1n)两点.

1)求kb的值;

2)如图,直线ABx轴于点C,交y轴于点D,若点ECD的中点,求BOE的面积.

 

22.(8分)如图,在△ABC中,以AC为直径的⊙OAB于点D,连接CDBCDA

1)求证:BC是⊙O的切线;

2)若BC5BD3,求点OCD的距离.

 

23.(10分)在“我为祖国点赞“征文活动中,学校计划对获得一,二等奖的学生分别奖励一支钢笔,一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元,购买4支钢笔和5个笔记本共70元.

1)钢笔、笔记本的单价分别为多少元?

2)经与商家协商,购买钢笔超过30支时,每增加1支,单价降低0.1元;超过50支,均按购买50支的单价售,笔记本一律按原价销售.学校计划奖励一、二等奖学生共计100人,其中一等奖的人数不少于30人,且不超过60人,这次奖励一等奖学生多少人时,购买奖品总金额最少,最少为多少元?

24.(10分)如图,在正方形ABCD中,点EAB边上一点,以DE为边作正方形DEFGDFBC交于点M,延长EMGF于点HEFCB交于点N,连接CG

1)求证:CDCG

2)若tanMEN=,求的值;

3)已知正方形ABCD的边长为1,点E在运动过程中,EM的长能否为?请说明理由.

 

25.(10分)如图,抛物线yax2+bx+cx轴交于点A(﹣10),点B(﹣30),且OBOC

1)求抛物线的解析式;

2)点P在抛物线上,且POBACB,求点P的坐标;

3)抛物线上两点MN,点M的横坐标为m,点N的横坐标为m+4.点D是抛物线上MN之间的动点,过点Dy轴的平行线交MN于点E

①求DE的最大值;

②点D关于点E的对称点为F,当m为何值时,四边形MDNF为矩形.

 


2019年四川省南充市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共10个小题,每小3分,共30分)每小题都有代号为ABCD四个答案选项,其中只有一个是正确的,请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置,填涂正确记3分,不涂、填涂或多涂记0分.

1.(3分)如果6a1,那么a的值为(  )

A6 B C.﹣6 D.﹣

【分析】直接利用倒数的定义得出答案.

【解答】解:6a1

a=.

故选:B

【点评】此题主要考查了倒数,正确把握倒数的定义是解题关键.

2.(3分)下列各式计算正确的是(  )

Ax+x2x3 B.(x23x5 Cx6÷x2x3 Dxx2x3

【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案.

【解答】解:Ax+x2,无法计算,故此选项错误;

B、(x23x6,故此选项错误;

Cx6÷x2x4,故此选项错误;

Dxx2x3,故此选项正确;

故选:D

【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算,正确掌握相关运算法则是解题关键.

3.(3分)如图是一个几何体的表面展开图,这个几何体是(  )

 

A B C D

【分析】由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征作答.

【解答】解:由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征可知,这个几何体是三棱柱.

故选:C

【点评】考查了几何体的展开图,解题时勿忘记三棱柱的特征.

4.(3分)在2019年南充市初中毕业升学体育与健康考试中,某校九年级(1)班体育委员对本班50名同学参加球类自选项目做了统计,制作出扇形统计图(如图),则该班选考乒乓球人数比羽毛球人数多(  )

 

A5 B10 C15 D20

【分析】先根据扇形统计图中的数据,求出选考乒乓球人数和羽毛球人数,即可得出结论.

【解答】解:∵选考乒乓球人数为50×40%20人,

选考羽毛球人数为50×10人,

∴选考乒乓球人数比羽毛球人数多201010人,

故选:B

【点评】此题主要考查了扇形统计图的应用,求出选考乒乓球人数和羽毛球人数是解本题的关键.

5.(3分)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,若BC6AC5,则△ACE的周长为(  )

 

A8 B11 C16 D17

【分析】根据线段垂直平分线的性质得AEBE,然后利用等线段代换即可得到ACE的周长=AC+BC,再把BC6AC5代入计算即可.

【解答】解:DE垂直平分AB

AEBE

∴△ACE的周长=AC+CE+AE

AC+CE+BE

AC+BC

5+6

11

故选:B

【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质:垂直平分线垂直且平分其所在线段;垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.

6.(3分)关于x的一元一次方程2xa2+m4的解为x1,则a+m的值为(  )

A9 B8 C5 D4

【分析】根据一元一次方程的概念和其解的概念解答即可.

【解答】解:因为关于x的一元一次方程2xa2+m4的解为x1

可得:a212+m4

解得:a3m2

所以a+m3+25

故选:C

【点评】此题考查一元一次方程的定义,关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答.

7.(3分)如图,在半径为6O中,点ABC都在⊙O上,四边形OABC是平行四边形,则图中阴影部分的面积为(  )

 

A6π B3π C2π D2π

【分析】连接OB,根据平行四边形的性质得到ABOC,推出AOB是等边三角形,得到AOB60°,根据扇形的面积公式即可得到结论.

【解答】解:连接OB

∵四边形OABC是平行四边形,

ABOC

ABOAOB

∴△AOB是等边三角形,

∴∠AOB60°,

OCAB

SAOBSABC

∴图中阴影部分的面积=S扇形AOB6π,

故选:A

 

【点评】本题考查的是扇形面积的计算,平行四边形的性质,掌握扇形的面积公式是解题的关键.

8.(3分)关于x的不等式2x+a1只有2个正整数解,则a的取值范围为(  )

A.﹣5a<﹣3 B.﹣5a<﹣3 C.﹣5a≤﹣3 D.﹣5a≤﹣3

【分析】首先解不等式求得不等式的解集,然后根据不等式只有两个正整数解即可得到一个关于a的不等式,求得a的值.

【解答】解:解不等式2x+a1得:x≤,

不等式有两个正整数解,一定是12

根据题意得:23

解得:﹣5a≤﹣3

故选:C

【点评】本题考查了不等式的整数解,正确解不等式,求出解集是解答本题的关键.解不等式应根据不等式的基本性质.

9.(3分)如图,正方形MNCB在宽为2的矩形纸片一端,对折正方形MNCB得到折痕AE,再翻折纸片,使ABAD重合,以下结论错误的是(  )

 

AAB210+2 B

CBC2CDEH DsinAHD

【分析】首先证明四边形ABHD是菱形,利用勾股定理求出ABADCDEHAH,一一判断即可解决问题.

【解答】解:在RtAEB中,AB===,

ABDHBHAD

∴四边形ABHD是平行四边形,

ABAD

∴四边形ABHD是菱形,

ADAB=,

CDADAD1

∴=,故选项B正确,

BC24CDEH=(1)(+1)=4

BC2CDEH,故选项C正确,

∵四边形ABHD是菱形,

∴∠AHDAHB

sinAHDsinAHB===,故选项D正确,

故选:A

【点评】本题考查翻折变换,矩形的性质,解直角三角形,菱形的判定和性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.

10.(3分)抛物线yax2+bx+cabc是常数),a0,顶点坐标为(m),给出下列结论:①若点(ny1)与(2ny2)在该抛物线上,当n<时,则y1y2;②关于x的一元二次方程ax2bx+cm+10无实数解,那么(  )

A①正确,②正确 B①正确,②错误

C①错误,②正确 D①错误,②错误

【分析】①根据二次函数的增减性进行判断便可;

②先把顶点坐标代入抛物线的解析式,求得m,再把m代入一元二次方程ax2bx+cm+10的根的判别式中计算,判断其正负便可判断正误.

【解答】解:①∵顶点坐标为(,m),n<,

∴点(ny1)关于抛物线的对称轴x的对称点为(1ny1),

∴点(1ny1)与(2ny2)在该抛物线上,

∵(1n)﹣(2n)=n0

1n2n

a0

∴当x>时,yx的增大而增大,

y1y2,故此小题结论正确;

②把(,m)代入yax2+bx+c中,得ma+b+c

∴一元二次方程ax2bx+cm+10中,△=b24ac+4am4ab24ac+4aa+b+c)﹣4a=(a+b24a0

∴一元二次方程ax2bx+cm+10无实数解,故此小题正确;

故选:A

【点评】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系,第①小题,关键是通过抛物线的对称性把两点坐标变换到对称轴的一边来,再通过二次函数的增减性进行比较,第②小题关键是判断一元二次方程根的判别式的正负.

二、填空题(本大题6个小题,每小是3分,共18分)请将答案填在答题十对应的横线上

11.(3分)原价为a元的书包,现按8折出售,则售价为a元.

【分析】列代数式注意:①仔细辨别词义. 列代数式时,要先认真审题,抓住关键词语,仔细辩析词义.如“除”与“除以”,“平方的差(或平方差)”与“差的平方”的词义区分.  ②分清数量关系.要正确列代数式,只有分清数量之间的关系.

【解答】解:依题意可得,

售价为=a

故答案为a

【点评】本题考查了列代数式,能根据题意列出代数式是解题的关键.

12.(3分)如图,以正方形ABCDAB边向外作正六边形ABEFGH,连接DH,则ADH15度.

 

【分析】根据正方形的性质得到ABADBAD90°,在正六边形ABEFGH中,求得ABAHBAH120°,于是得到AHADHAD360°﹣90°﹣120°=150°,根据等腰三角形的性质即可得到结论.

【解答】解:∵四边形ABCD 是正方形,

ABADBAD90°,

在正六边形ABEFGH中,ABAHBAH120°,

AHADHAD360°﹣90°﹣120°=150°,

∴∠ADHAHD180°﹣150°)=15°,

故答案为:15

【点评】本题考查了正多边形和圆,多边形的内角与外角,等腰三角形的判定和性质,正确的识别图形是解题的关键.

13.(3分)计算:+=x+1

【分析】原式变形后,利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果.

【解答】解:原式=﹣==x+1

故答案为:x+1

【点评】此题考查了分式的加减法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

14.(3分)下表是某养殖户的500只鸡出售时质量的统计数据.

质量/kg

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

频数/

56

162

112

120

40

10

500只鸡质量的中位数为1.4kg

【分析】根据中位数的概念求解可得.

【解答】解:500个数据的中位数是第250251个数据的平均数,

∵第250251个数据分别为1.41.4

∴这组数据的中位数为1.4kg),

故答案为:1.4kg

【点评】本题主要考查中位数,将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.

15.(3分)在平面直角坐标系xOy中,点A3m2n)在直线y=﹣x+1上,点Bmn)在双曲线y=上,则k的取值范围为kk0

【分析】根据一次函数图象上点的特征求得n=,即可得到Bm,),根据反比例函数图象上点的特征得到k关于m的函数,根据二次函数的性质即可求得k的取值范围.

【解答】解:∵点A3m2n)在直线y=﹣x+1上,

2n=﹣3m+1,即n=,

Bm,),

∵点B在双曲线y=上,

km•=﹣(m﹣)2+,

∵﹣0

k有最大值为,

k的取值范围为k≤,

k0

故答案为k≤且k0

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,反比例函数图象上点的坐标特征,二次函数的性质,图象上点的坐标适合解析式是解题的关键.

16.(3分)如图,矩形硬纸片ABCD的顶点Ay轴的正半轴及原点上滑动,顶点Bx轴的正半轴及原点上滑动,点EAB的中点,AB24BC5.给出下列结论:①点A从点O出发,到点B运动至点O为止,点E经过的路径长为12π;②△OAB的面积最大值为144③当OD最大时,点D的坐标为(,).其中正确的结论是②③.(填写序号)

 

【分析】①由条件可知AB24,则AB的中点E的运动轨迹是圆弧,最后根据弧长公式即可计算出点E所经过的路径长;②OAB的面积最大时,因为AB24,所以△OAB为等腰直角三角形,即OAOB,可求出最大面积为144③当OED三点共线时,OD最大,过点DDFy轴于点F,可求出OD25,证明△DFA∽△AOBDFO∽△BOA,可求出DF长,则D点坐标可求出.

【解答】解:∵点EAB的中点,AB24

OE=,

AB的中点E的运动轨迹是以点O为圆心,12为半径的一段圆弧,

∵∠AOB90°,

∴点E经过的路径长为,故①错误;

OAB的面积最大时,因为AB24,所以△OAB为等腰直角三角形,即OAOB

EAB的中点,

OEABOE=,

144,故②正确;

如图,当OED三点共线时,OD最大,过点DDFy轴于点F

ADBC5AE=,

13

ODDE+OE13+1225

DFx

∴,

∵四边形ABCD是矩形,

∴∠DAB90°,

∴∠DFAAOB

∴∠DAFABO

∴△DFA∽△AOB

∴,

∴,

∴,

EAB的中点,AOB90°,

AEOE

∴∠AOEOAE

∴△DFO∽△BOA

∴,

∴,

解得x=,x=﹣舍去,

∴,

∴.故③正确.

故答案为:②③.

【点评】本题考查四边形综合题、直角形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识.解题的关键是学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题,属于中考压轴题.

三、解答题(本大题共9个小题,共72分)解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤

17.(6分)计算:(1π)0+|﹣|+1

【分析】根据实数的混合计算解答即可.

【解答】解:原式=1+.

【点评】此题考查二次根式的混合计算,关键是根据实数的混合计算解答.

18.(6分)如图,点O是线段AB的中点,ODBCODBC

1)求证:△AOD≌△OBC

2)若∠ADO35°,求∠DOC的度数.

 

【分析】1)根据线段中点的定义得到AOBO,根据平行线的性质得到AODOBC,根据全等三角形的判定定理即可得到结论;

2)根据全等三角形的性质和平行线的性质即可得到结论.

【解答】1)证明:∵点O是线段AB的中点,

AOBO

ODBC

∴∠AODOBC

AODOBC中,,

∴△AOD≌△OBCSAS);

2)解:∵△AOD≌△OBC

∴∠ADOOCB35°,

ODBC

∴∠DOCOCB35°.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,平行线的性质,熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.

19.(6分)现有四张完全相同的不透明卡片,其正面分别写有数字﹣2,﹣102,把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上.

1)随机的取一张卡片,求抽取的卡片上的数字为负数的概率.

2)先随机抽取一张卡片,其上的数字作为点A的横坐标;然后放回并洗匀,再随机抽取一张卡片,其上的数字作为点A的纵坐标,试用画树状图或列表的方法求出点A在直线y2x上的概率.

【分析】1)由概率公式即可得出结果;

2)直接利用树状图法列举出所有可能进而得出答案.

【解答】解:(1)随机的取一张卡片,抽取的卡片上的数字为负数的概率为=;

2)画树状图如图所示:

共有16个可能的结果,点A在直线y2x上的结果有2个,

∴点A在直线y2x上的概率为=.

 

【点评】此题主要考查了树状图法求概率、概率公式、一次函数图象上点的坐标特征,正确列举出所有可能是解题关键.

20.(8分)已知关于x的一元二次方程x2+2m1x+m230有实数根.

1)求实数m的取值范围;

2)当m2时,方程的根为x1x2,求代数式(x12+2x1)(x22+4x2+2)的值.

【分析】1)根据△≥0,解不等式即可;

2)将m2代入原方程可得:x2+3x+10,计算两根和与两根积,化简所求式子,可得结论.

【解答】解:(1)由题意△≥0

∴(2m124m23)≥0

m≤.

 

2)当m2时,方程为x2+3x+10

x1+x2=﹣3x1x21

∵方程的根为x1x2

x12+3x1+10x22+3x2+10

∴(x12+2x1)(x22+4x2+2

=(x12+2x1+x1x1)(x22+3x2+x2+2

=(﹣1x1)(﹣1+x2+2

=(﹣1x1)(x2+1

=﹣x2x1x21x1

=﹣x2x12

32

1

【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解,根的判别式等知识,牢记“两根之和等于﹣,两根之积等于”是解题的关键.

21.(8分)双曲线y=(k为常数,且k0)与直线y=﹣2x+b,交于A(﹣mm2),B1n)两点.

1)求kb的值;

2)如图,直线ABx轴于点C,交y轴于点D,若点ECD的中点,求BOE的面积.

 

【分析】1)将AB两点的坐标代入一次函数解析式可得bn的值,则求出点B1,﹣2),代入反比例函数解析式可求出k的值.

2)先求出点CD两点的坐标,再求出E点坐标,则SBOESODE+SODB,可求出BOE的面积.

【解答】解:(1)∵点A(﹣mm2),B1n)在直线y=﹣2x+b上,

∴,

解得:,

B1,﹣2),

代入反比例函数解析式,

∴,

k=﹣2

2)∵直线AB的解析式为y=﹣2x2

x0,解得y=﹣2,令y0,解得x=﹣1

C(﹣10),D0,﹣2),

∵点ECD的中点,

E(),

SBOESODE+SODB==

=.

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,三角形的面积,熟练掌握待定系数法是解题的关键.

22.(8分)如图,在△ABC中,以AC为直径的⊙OAB于点D,连接CDBCDA

1)求证:BC是⊙O的切线;

2)若BC5BD3,求点OCD的距离.

 

【分析】1)根据圆周角定理得到∠ADC90°,得到∠A+ACD90°,求得∠ACB90°,于是得到结论;

2)过OOHCDH,根据相似三角形的性质得到AB=,根据垂径定理得到CHDH,根据三角形的中位线的性质即可得到结论.

【解答】1)证明:∵AC是⊙O的直径,

∴∠ADC90°,

∴∠A+ACD90°,

∵∠BCDA

∴∠ACD+BCD90°,

∴∠ACB90°,

BC是⊙O的切线;

2)解:过OOHCDH

∵∠BDCACB90°,∠BB

∴△ACB∽△CDB

∴=,

∴=,

AB=,

AD=,

OHCD

CHDH

AOOC

OHAD=,

∴点OCD的距离是.

 

【点评】本题考查了切线的判定和性质,圆周角定理,相似三角形的判定和性质,垂径定理,三角形的中位线的性质,正确的识别图形是解题的关键.

23.(10分)在“我为祖国点赞“征文活动中,学校计划对获得一,二等奖的学生分别奖励一支钢笔,一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元,购买4支钢笔和5个笔记本共70元.

1)钢笔、笔记本的单价分别为多少元?

2)经与商家协商,购买钢笔超过30支时,每增加1支,单价降低0.1元;超过50支,均按购买50支的单价售,笔记本一律按原价销售.学校计划奖励一、二等奖学生共计100人,其中一等奖的人数不少于30人,且不超过60人,这次奖励一等奖学生多少人时,购买奖品总金额最少,最少为多少元?

【分析】1)钢笔、笔记本的单价分别为xy元,根据题意列方程组即可得到结论;

2)设钢笔的单价为a元,购买数量为b元,支付钢笔和笔记本的总金额w元,①30b50时,求得w=﹣0.1b352+722.5,于是得到700w722.550b60时,求得w8b+6100b)=2b+600700w720,于是得到当30b60时,w的最小值为700元,于是得到结论.

【解答】解:(1)钢笔、笔记本的单价分别为xy元,

根据题意得,,

解得:,

答:钢笔、笔记本的单价分别为10元,6元;

2)设钢笔的单价为a元,购买数量为b元,支付钢笔和笔记本的总金额w元,

30b50时,a100.1b30)=﹣0.1b+13wb(﹣0.1b+13+6100b)=﹣0.1b2+7b+600=﹣0.1b352+722.5

∵当b30时,w720,当b50时,w700

∴当30b50时,700w722.5

50b60时,a8w8b+6100b)=2b+600

700w720

∴当30b60时,w的最小值为700元,

∴这次奖励一等奖学生50人时,购买奖品总金额最少,最少为700元.

【点评】本题考查了二次函数的应用,二元一次方程组的应用,正确的理解题意求出二次函数的解析式是解题的关键.

24.(10分)如图,在正方形ABCD中,点EAB边上一点,以DE为边作正方形DEFGDFBC交于点M,延长EMGF于点HEFCB交于点N,连接CG

1)求证:CDCG

2)若tanMEN=,求的值;

3)已知正方形ABCD的边长为1,点E在运动过程中,EM的长能否为?请说明理由.

 

【分析】1)由正方形的性质得出∠AADCEDG90°,ADCDDEDG,即ADECDG,由SAS证明ADE≌△CDG得出ADCG90°,即可得出结论;

2)先证明△EFM≌△GFM得出EMGMMEFMGF,在证明EFH≌△GFN得出HFNF,由三角函数得出GFEF3HF3NF,得出GH2HF,作NPGFEMP,则PMN∽△HMGPEN∽△HEF,得出=,==,PNHF,即可得出结果;

3)假设EM=,先判断出点GBC的延长线上,同(2)的方法得,EMGM=,得出GM=,再判断出BM<,得出CM>,进而得出CMGM,即可得出结论.

【解答】1)证明:∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形,

∴∠AADCEDG90°,ADCDDEDG

∴∠ADECDG

ADECDG中,,

∴△ADE≌△CDGSAS),

∴∠ADCG90°,

CDCG

 

2)解:∵四边形DEFG是正方形,

EFGFEFMGFM45°,

EFMGFM中,

∴△EFM≌△GFMSAS),

EMGMMEFMGF

EFHGFN中,,

∴△EFH≌△GFNASA),

HFNF

tanMEN==,

GFEF3HF3NF

GH2HF

NPGFEMP,则PMN∽△HMGPEN∽△HEF

∴=,==,

PNHF

∴====;

 

3EM的长不可能为,

理由:假设EM的长为,

∵点EAB边上一点,且EDGADC90°,

∴点GBC的延长线上,

同(2)的方法得,EMGM=,

GM=,

RtBEM中,EM是斜边,

BM<,

∵正方形ABCD的边长为1

BC1

CM>,

CMGM

∴点G在正方形ABCD的边BC上,与“点GBC的延长线上”相矛盾,

∴假设错误,

即:EM的长不可能为.

 

【点评】此题是相似形综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,构造出相似三角形是解本题的关键,用反证法说明EM不可能为是解本题的难度.

25.(10分)如图,抛物线yax2+bx+cx轴交于点A(﹣10),点B(﹣30),且OBOC

1)求抛物线的解析式;

2)点P在抛物线上,且POBACB,求点P的坐标;

3)抛物线上两点MN,点M的横坐标为m,点N的横坐标为m+4.点D是抛物线上MN之间的动点,过点Dy轴的平行线交MN于点E

①求DE的最大值;

②点D关于点E的对称点为F,当m为何值时,四边形MDNF为矩形.

 

【分析】1)已知抛物线与x轴两交点坐标,可设交点式yax+1)(x+3);由OCOB3C0,﹣3),代入交点式即求得a=﹣1

2)由∠POBACB联想到构造相似三角形,因为求点P坐标一般会作x轴垂线PHRtPOH,故可过点ABC边上作垂线AG,构造ACG∽△POH.利用点ABC坐标求得AGCG的长,由相似三角形对应边成比例推出.设点P横坐标为p,则OHPH都能用p表示,但需按P横纵坐标的正负性进行分类讨论.得到用p表示OHPH并代入OH2PH计算即求得p的值,进而求点P坐标.

3①用m表示MN横纵坐标,把m当常数求直线MN的解析式.设D横坐标为d,把xd代入直线MN解析式得点E纵坐标,DE纵坐标相减即得到用md表示的DE的长,把m当常数,对未知数d进行配方,即得到当dm+2时,DE取得最大值.

②由矩形MDNFMNDFMNDF互相平分,所以EMN中点,得到点DE横坐标为m+2.由①得dm+2时,DE4,所以MN8.用两点间距离公式用m表示MN的长,即列得方程求m的值.

【解答】解:(1)∵抛物线与x轴交于点A(﹣10),点B(﹣30

∴设交点式yax+1)(x+3

OCOB3,点Cy轴负半轴

C0,﹣3

把点C代入抛物线解析式得:3a=﹣3

a=﹣1

∴抛物线解析式为y=﹣(x+1)(x+3)=﹣x24x3

 

2)如图1,过点AAGBC于点G,过点PPHx轴于点H

∴∠AGBAGCPHO90°

∵∠ACBPOB

∴△ACG∽△POH

OBOC3,∠BOC90°

∴∠ABC45°,BC3

∴△ABG是等腰直角三角形

AGBGAB

CGBCBG3﹣2

OH2PH

Pp,﹣p24p3

①当p<﹣3或﹣1p0时,点P在点B左侧或在AC之间,横纵坐标均为负数

OH=﹣pPH=﹣(﹣p24p3)=p2+4p+3

∴﹣p2p2+4p+3

解得:p1=,p2

P(,)或(,)

当﹣3p<﹣1p0时,点PAB之间或在点C右侧,横纵坐标异号

p2p2+4p+3

解得:p1=﹣2p2=﹣

P(﹣21)或(﹣,)

综上所述,点P的坐标为(,)、(,)、(﹣21)或(﹣,).

 

3如图2,∵xm+4时,y=﹣(m+424m+4)﹣3=﹣m212m35

Mm,﹣m24m3),Nm+4,﹣m212m35

设直线MN解析式为ykx+n

∴   解得:

∴直线MNy=(﹣2m8x+m2+4m3

Dd,﹣d24d3)(mdm+4

DEy

xExDdEd,(﹣2m8d+m2+4m3

DE=﹣d24d3[(﹣2m8d+m2+4m3]=﹣d2+2m+4dm24m=﹣[d﹣(m+2]2+4

∴当dm+2时,DE的最大值为4

 

如图3,∵DF关于点E对称

DEEF

∵四边形MDNF是矩形

MNDF,且MNDF互相平分

DEMNEMN中点

xDxE==m+2

由①得当dm+2时,DE4

MN2DE8

∴(m+4m2+[m212m35﹣(﹣m24m3]282

解得:m1=﹣4m2=﹣4+

m的值为﹣4或﹣4+时,四边形MDNF为矩形.

 

 

 

【点评】本题考查了求二次函数解析式,求二次函数最大值,等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质,一元二次方程的解法,二元一次方程组的解法,矩形的性质.第(3)题没有图要先根据题意画草图帮助思考,设计较多字母运算时抓住其中的常量和变量来分析和计算.

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