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2019年浙江省宁波市中考数学最后一卷模拟试题解析版

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2019年浙江省宁波市中考数学最后一卷模拟试题

一、选择题(每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)

1.下列实数中,最大的数是(  )

A.﹣|4| B0 C1 D.﹣(﹣3

22018年国庆小长假,杭州市旅游再次交出漂亮“成绩单”,全市纳入重点监测的旅游景区、旅游大项目、乡村旅游点实现旅游收入近132000000元,将132000000用科学记数法表示为(  )

A1.32×109 B1.32×108 C1.32×107 D1.32×106

3.下列设计的图案中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是(  )

A B C D

4.下列运算正确的是(  )

Aa3a4a12 Ba5÷a3a2

C.(3a426a8 D.(﹣a5a=﹣a6

5.有一组数据:2572336,下列结论错误的是(  )

A.平均数为4 B.中位数为3 C.众数为2 D.极差是5

6.如图是空心圆柱,则空心圆柱在正面的视图,正确的是(  )


A B C D

7.在RtABC中,C90°,若斜边AB是直角边BC3倍,则tanB的值是(  )

A2 B3 C D

8.已知正n边形的一个内角为135°,则边数n的值是(  )

A10 B8 C7 D6

9.如图,点BCD在⊙O上,若BCD140°,则∠BOD的度数是(  )


A40° B50° C80° D90°

10.已知关于x的一元二次方程x22kx+60有两个相等的实数根,则k的值为(  )

A.±2 B.± C23 D

11.在平面直角坐标系xOy中,将一块含有45°角的直角三角板如图放置,直角顶点C的坐标为(10),顶点A的坐标(02),顶点B恰好落在第一象限的双曲线上,现将直角三角板沿x轴正方向平移,当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动,则此时点C的对应点C′的坐标为(  )


A.(0 B.(20 C.(0 D.(30

12.如图,在菱形ABCD中,A60°,AD4,点FAB的中点,过点FFEAD,垂足为E,将AEF沿点A到点B的方向平移,得到A'E'F',设点PP'分别是EFE'F'的中点,当点A'与点B重合时,四边形PP'CD的面积为(  )


A7 B6 C8 D84

.填空题(每小题4分,共24分)

13.把多项式m24m+4分解因式的结果是

14.为迎接文明城市的验收工作,某居委会组织两个检查组,分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查.各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查,则两个组恰好抽到同一个小区的概率是

15.不等式组的解集是

16.如图,在矩形ABCD中,对角线ACBD交于点O,过点AEACADB的延长线于点E,若AB3BC4,则的值为


17.如图,坐标平面上,二次函数y=﹣x2+4xk的图形与x轴交于AB两点,与y轴交于C点,其顶点为D,且k0.若△ABCABD的面积比为13,则k值为


18.如图,ABC中,ACB90°,AB5AC3BC为半圆O的直径,将ABC沿射线CB方向平移得到A1B1C1.当A1B1与半圆O相切于点D时,平移的距离的长为



三、解答题(本大题有8小题,共78分)

19.(6分)先化简,再求值:÷(﹣),其中a=+2

20.(8分)如图,ABC三个顶点坐标分别为A(﹣13),B(﹣11),C(﹣32).

1)将△ABC向右平移4个单位,请画出平移后的△A1B1C1

2)以原点O为位似中心,将A1B1C1放大为原来的2倍,得到△A2B2C2,请在网格内画出A2B2C2

3)请在x轴上找出点P,使得点PB与点A1距离之和最小,请直接写出P点的坐标


21.(8分)随着信息技术的迅猛发展,人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷,要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式.现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给的信息解答下列问题:

1)这次活动共调查了 人;在扇形统计图中,表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为

2)将条形统计图补充完整.观察此图,支付方式的“众数”是“ ”;

3)在一次购物中,小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付,请用画树状图或列表格的方法,求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.


22.(10分)如图,四边形ABCD中,ACBDBD于点E,点FM分别是ABBC的中点,BN平分ABEAM于点NABACBD.连接MFNF

1)判断△BMN的形状,并证明你的结论;

2)判断△MFNBDC之间的关系,并说明理由.


23.(10分)如图,一次函数ykx+b与反比例函数y=的图象交于A23),B(﹣3n)两点.

1)求一次函数与反比例函数的解析式;

2)过点BBCx轴,垂足为C,连接AC,求ABC的面积.


24.(10分)某校为了改善办公条件,计划从厂家购买AB两种型号电脑.已知每台A种型号电脑价格比每台B种型号电脑价格多0.1万元,且用10万元购买A种型号电脑的数量与用8万购买B种型号电脑的数量相同.

1)求AB两种型号电脑每台价格各为多少万元?

2)学校预计用不多于9.2万元的资金购进这两种电脑共20台,其中A种型号电脑至少要购进10台,请问有哪几种购买方案?

25.(12分)如图,在ABC中,ABAC10,以AB为直径的OOBC相交于点D,与AC相交于点EDFAC,垂足为F,连接DE,过点AAGDE,垂足为GAG与⊙O交于点H

1)求证:DF是⊙O的切线;

2)若∠CAG25°,求弧AH的长;

3)若tanCDF=,求AE的长;


26.(14分)如图,直线AB和抛物线的交点是A0,﹣3),B59),已知抛物线的顶点D的横坐标是2

1)求抛物线的解析式及顶点坐标;

2)在x轴上是否存在一点C,与AB组成等腰三角形?若存在,求出点C的坐标,若不在,请说明理由;

3)在直线AB的下方抛物线上找一点P,连接PAPB使得PAB的面积最大,并求出这个最大值.
















2019年浙江省宁波市中考数学最后一卷模拟试题

一、选择题(每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)

1.下列实数中,最大的数是(  )

A.﹣|4| B0 C1 D.﹣(﹣3

【分析】根据任意两个实数都可以比较大小.正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小可得答案.

【解答】解:﹣|4|=﹣4,﹣(﹣3)=3

310>﹣4

故选:D

【点评】此题主要考查了实数的比较大小,关键是掌握比较大小的法则.

22018年国庆小长假,杭州市旅游再次交出漂亮“成绩单”,全市纳入重点监测的旅游景区、旅游大项目、乡村旅游点实现旅游收入近132000000元,将132000000用科学记数法表示为(  )

A1.32×109 B1.32×108 C1.32×107 D1.32×106

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1|a|10n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.

【解答】解:132 000 0001.32×108

故选:B

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1|a|10n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

3.下列设计的图案中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是(  )

A B C D

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解:A、是轴对称图形,也是中心对称图形,不符合题意;

B、是轴对称图形,也是中心对称图形,不符合题意;

C、不是轴对称图形,是中心对称图形,符合题意;

D、是轴对称图形,也是中心对称图形,不符合题意.

故选:C

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.

4.下列运算正确的是(  )

Aa3a4a12 Ba5÷a3a2

C.(3a426a8 D.(﹣a5a=﹣a6

【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方进行计算即可.

【解答】解:Aa3a4a7,故A错误;

Ba5÷a3a8,故B错误;

C、(3a429a8,故C错误;

D、(﹣a5a=﹣a6,故D正确;

故选:D

【点评】本题考查了同底数幂的乘法,同底数幂的除法,积的乘方和幂的乘方,掌握运算法则是解题的关键.

5.有一组数据:2572336,下列结论错误的是(  )

A.平均数为4 B.中位数为3 C.众数为2 D.极差是5

【分析】根据极差、众数及中位数的定义,结合选项进行判断即可.

【解答】解:将数据从小到大排列为:2233567

A、平均数=2+2+3+3+5+6+7)=4,结论正确,故本选项错误;

B、中位数为3,结论正确,故本选项错误;

C、众数为23,结论错误,故本选项正确;

D、极差为725,结论正确,故本选项错误;

故选:C

【点评】本题考查了中位数、众数、平均数及极差的知识,掌握各部分的定义是关键,在判断中位数的时候一样要将数据从新排列.

6.如图是空心圆柱,则空心圆柱在正面的视图,正确的是(  )


A B C D

【分析】找出从几何体的正面看所得到的视图即可.

【解答】解:从几何体的正面看可得:

故选:C

【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图,关键是掌握三视图所看的位置.

7.在RtABC中,C90°,若斜边AB是直角边BC3倍,则tanB的值是(  )

A2 B3 C D

【分析】根据勾股定理求出AC,根据正切的概念计算即可.

【解答】解:设BCx,则AB3x

由勾股定理得,AC2x

tanB2,

故选:A

【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义以及勾股定理的应用,在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.

8.已知正n边形的一个内角为135°,则边数n的值是(  )

A10 B8 C7 D6

【分析】根据多边形的相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数,再根据多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数进行计算即可得解.

【解答】解:∵正n边形的一个内角为135°,

∴正n边形的一个外角为180°﹣135°=45°,

n360°÷45°=8

故选:B

【点评】本题考查了多边形的外角,利用多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数是常用的方法,求出多边形的每一个外角的度数是解题的关键.

9.如图,点BCD在⊙O上,若BCD140°,则∠BOD的度数是(  )


A40° B50° C80° D90°

【分析】首先圆上取一点A,连接ABAD,根据圆的内接四边形的性质,即可得BAD+BCD180°,即可求得∠BAD的度数,再根据圆周角的性质,即可求得答案.

【解答】解:圆上取一点A,连接ABAD


∵点ABCD在⊙O上,BCD140°,

∴∠BAD40°,

∴∠BOD80°,

故选:C

【点评】此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质.此题比较简单,解题的关键是注意数形结合思想的应用,注意辅助线的作法.

10.已知关于x的一元二次方程x22kx+60有两个相等的实数根,则k的值为(  )

A.±2 B.± C23 D

【分析】利用判别式的意义得到△=(﹣2k24×60,然后解关于k的方程即可.

【解答】解:根据题意得△=(﹣2k24×60

解得k±.

故选:B

【点评】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c0a0)的根与△=b24ac有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程无实数根.

11.在平面直角坐标系xOy中,将一块含有45°角的直角三角板如图放置,直角顶点C的坐标为(10),顶点A的坐标(02),顶点B恰好落在第一象限的双曲线上,现将直角三角板沿x轴正方向平移,当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动,则此时点C的对应点C′的坐标为(  )


A.(0 B.(20 C.(0 D.(30

【分析】过点BBDx轴于点D,易证ACO≌△BCDAAS),从而可求出B的坐标,进而可求出反比例函数的解析式,根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度,从而求出C的对应点.

【解答】解:过点BBDx轴于点D

∵∠ACO+BCD90°,

OAC+ACO90°,

∴∠OACBCD

ACOBCD中,


∴△ACO≌△BCDAAS

OCBDOACD

A02),C10

OD3BD1

B31),

∴设反比例函数的解析式为y=,

B31)代入y=,

k3

y=,

∴把y2代入

x=,

当顶点A恰好落在该双曲线上时,

此时点A移动了个单位长度,

C也移动了个单位长度,

此时点C的对应点C′的坐标为(0

故选:A


【点评】本题考查反比例函数的综合问题,涉及全等三角形的性质与判定,反比例函数的解析式,平移的性质等知识,综合程度较高,属于中等题型.

12.如图,在菱形ABCD中,A60°,AD4,点FAB的中点,过点FFEAD,垂足为E,将AEF沿点A到点B的方向平移,得到A'E'F',设点PP'分别是EFE'F'的中点,当点A'与点B重合时,四边形PP'CD的面积为(  )


A7 B6 C8 D84

【分析】如图,连接BDDFDFPP′于H.首先证明四边形PPCD是平行四边形,再证明DFPP′,求出FH即可解决问题.

【解答】解:如图,连接BDDFDFPP′于H


由题意PP′=AA′=ABCDPP′∥AA′∥CD

∴四边形PPCD是平行四边形,

∵四边形ABCD是菱形,A60°,

∴△ABD是等边三角形,

AFFB

DFABDFPP′,

RtAEF中,∵∠AEF90°,∠A60°,AF2

DF2

AE1EF=,

PEPF=,

RtPHF中,∵∠FPH30°,PF=,

HFPF=,

DHDFFH=﹣=

∴平行四边形PP'CD的面积=×47

故选:A

【点评】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考选择题中的压轴题.

.填空题(每小题4分,共24分)

13.把多项式m24m+4分解因式的结果是

【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案.

【解答】解:m24m+4=(m22

故答案为:(m22

【点评】此题主要考查了公式法分解因式,正确应用完全平方公式是解题关键.

14.为迎接文明城市的验收工作,某居委会组织两个检查组,分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查.各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查,则两个组恰好抽到同一个小区的概率是

【分析】将三个小区分别记为ABC,列举出所有情况即可,看所求的情况占总情况的多少即可.

【解答】解:将三个小区分别记为ABC

列表如下:

A

B

C

A

AA

BA

CA

B

AB

BB

CB

C

AC

BC

CC

由表可知,共有9种等可能结果,其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种,

所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为=.

故答案为:.

【点评】此题主要考查了列表法求概率,列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适用于两步或两步以上完成的事件;解题时还要注意是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.

15.不等式组的解集是

【分析】先求出两个不等式的解集,再求其公共解.

【解答】解:,

由①得,x3

由②得,x1

所以不等式组的解集为1x3

故答案为:1x3

【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法,其简便求法就是用口诀求解.求不等式组解集的口诀:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到(无解).

16.如图,在矩形ABCD中,对角线ACBD交于点O,过点AEACADB的延长线于点E,若AB3BC4,则的值为


【分析】作BHOAH,如图,利用矩形的性质得OAOCOBABC90°,则根据勾股定理可计算出AC5AOOB=,接着利用面积法计算出BH=,于是利用勾股定理可计算出OH,然后证明OBH∽△OEA,最后利用相似比可求出的值.

【解答】解:作BHOAH,如图,

∵四边形ABCD为矩形,

OAOCOBABC90°,

RtABC中,AC5

AOOB=,

BHACABBC

BH==,

RtOBH中,OH===,

EACA

BHAE

∴△OBH∽△OEA

∴=,

∴===.

故答案为.


【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形;在利用三角形相似的性质时主要利用相似比计算线段的长.也考查了矩形的性质.

17.如图,坐标平面上,二次函数y=﹣x2+4xk的图形与x轴交于AB两点,与y轴交于C点,其顶点为D,且k0.若△ABCABD的面积比为13,则k值为


【分析】求出二次函数的顶点坐标和点C,根据已知面积的关系得到即可求k

【解答】解:二次函数y=﹣x2+4xk顶点坐标为(24k),C0,﹣k),

∵△ABCABD的面积比为13

∴,

k0

∴,

k1

【点评】本题考查二次函数图象及性质,三角形的面积与坐标的关系;熟练掌握二次函数顶点和与坐标轴上点的求法,将三角形面积转化为点坐标的关系是解题的关键.

18.如图,ABC中,ACB90°,AB5AC3BC为半圆O的直径,将ABC沿射线CB方向平移得到A1B1C1.当A1B1与半圆O相切于点D时,平移的距离的长为



【分析】连结OG,如图,根据勾股定理得到BC4,根据平移的性质得到CC1BB1A1C1AC3A1B1AB5,∠A1C1B1ACB90°,根据切线的性质得到ODA1B1,根据相似三角形的性质即可得到结论.

【解答】解:连结OG,如图,

∵∠BAC90°,AB5AC3

BC4

RtABC沿射线CB方向平移,当A1B1与半圆O相切于点D,得A1B1C1

CC1BB1A1C1AC3A1B1AB5,∠A1C1B1ACB90°,

A1B1与半圆O相切于点D

ODA1B1

BC4,线段BC为半圆O的直径,

OBOC2

∵∠GEODEF

RtB1ODRtB1A1C1

∴=,即=,解得OB1=,

BB1OB1OB2

故答案为:.


【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了平移的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质.

三、解答题(本大题有8小题,共78分)

19.(6分)先化简,再求值:÷(﹣),其中a=+2

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,将a的值代入计算即可求出值.

【解答】解:÷(﹣),

=÷,

=÷,

=•,

=.

a=+2时,原式=1+2.

【点评】此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

20.(8分)如图,ABC三个顶点坐标分别为A(﹣13),B(﹣11),C(﹣32).

1)将△ABC向右平移4个单位,请画出平移后的△A1B1C1

2)以原点O为位似中心,将A1B1C1放大为原来的2倍,得到△A2B2C2,请在网格内画出A2B2C2

3)请在x轴上找出点P,使得点PB与点A1距离之和最小,请直接写出P点的坐标


【分析】1)直接利用平移的性质得出各点坐标,进而得出答案;

2)连接A1O并延长至A2,使A2O2A1O,连接B1O并延长至B2,使B2O2B1O,连接C1O并延长至C2,使C2O2C1O,然后顺次连接即可;

3)利用最短路径问题解决,首先作A1点关于x轴的对称点A3,再连接A2A3x轴的交点即为所求.

【解答】解:(1)如图所示△A1B1C1所求.

2)如图所示△A2B2C2为所求.

3)如图所示点P为所求,P00).

故答案是:(00).


【点评】本题考查了利用位似变换作图,利用轴对称变换作图,熟练掌握网格结构,准确找出对应点的位置是解题的关键.

21.(8分)随着信息技术的迅猛发展,人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷,要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式.现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给的信息解答下列问题:

1)这次活动共调查了 人;在扇形统计图中,表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为

2)将条形统计图补充完整.观察此图,支付方式的“众数”是“ ”;

3)在一次购物中,小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付,请用画树状图或列表格的方法,求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.


【分析】1)用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数,再用360°乘以“支付宝”人数所占比例即可得;

2)用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数,从而补全图形,再根据众数的定义求解可得;

3)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况,再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解:(1)本次活动调查的总人数为(45+50+15)÷(115%30%)=200人,

则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°×81°,

故答案为:20081°;


2)微信人数为200×30%60人,银行卡人数为200×15%30人,

补全图形如下:


由条形图知,支付方式的“众数”是“微信”,

故答案为:微信;


3)将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C

画树状图如下:

画树状图得:


∵共有9种等可能的结果,其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种,

∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为=.

【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.

22.(10分)如图,四边形ABCD中,ACBDBD于点E,点FM分别是ABBC的中点,BN平分ABEAM于点NABACBD.连接MFNF

1)判断△BMN的形状,并证明你的结论;

2)判断△MFNBDC之间的关系,并说明理由.


【分析】1)根据等腰三角形的性质,可得AM是高线、顶角的角平分线,根据直角三角形的性质,可得EAB+EBA90°,根据三角形外角的性质,可得答案;

2)根据三角形中位线的性质,可得MFAC的关系,根据等量代换,可得MFBD的关系,根据等腰直角三角形,可得BMNM的关系,根据等量代换,可得NMBC的关系,根据同角的余角相等,可得CBDNMF的关系,根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,可得答案.

【解答】1)答:△BMN是等腰直角三角形.

证明:ABAC,点MBC的中点,

AMBCAM平分BAC

BN平分ABE

EBNABN

ACBD

∴∠AEB90°,

∴∠EAB+EBA90°,

∴∠MNBNAB+ABNBAE+ABE)=45°.

∴△BMN是等腰直角三角形;


2)答:△MFN∽△BDC

证明:∵点FM分别是ABBC的中点,

FMACFMAC

ACBD

FMBD,即.

∵△BMN是等腰直角三角形,

NMBMBC,即,

∴.

AMBC

∴∠NMF+FMB90°.

FMAC

∴∠ACBFMB

∵∠CEB90°,

∴∠ACB+CBD90°.

∴∠CBD+FMB90°,

∴∠NMFCBD

∴△MFN∽△BDC

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,利用了锐角是45°的直角三角形是等腰直角三角形,两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.

23.(10分)如图,一次函数ykx+b与反比例函数y=的图象交于A23),B(﹣3n)两点.

1)求一次函数与反比例函数的解析式;

2)过点BBCx轴,垂足为C,连接AC,求ABC的面积.


【分析】1)把A的坐标代入反比例函数的解析式,求出其解析式,把B的坐标代入反比例函数的解析式,求出B的坐标,把AB的坐标代入一次函数的解析式,得出方程组,求出方程组的解即可;

2)求出BC|2|2BC边上的高是|3|+2,代入三角形的面积公式求出即可.

【解答】解:(1)∵点A23)在y=的图象上,

m6

∴反比例函数的解析式为y=,

n=﹣2

∵点A23),B(﹣3,﹣2)在ykx+b的图象上,

∴一次函数的解析式为yx+1


2)以BC为底,则BC边上的高为3+25

SABC=×2×55

答:ABC的面积是5

【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式,三角形的面积的应用,主要培养学生分析问题和解决问题的能力,题型较好,难度适中.

24.(10分)某校为了改善办公条件,计划从厂家购买AB两种型号电脑.已知每台A种型号电脑价格比每台B种型号电脑价格多0.1万元,且用10万元购买A种型号电脑的数量与用8万购买B种型号电脑的数量相同.

1)求AB两种型号电脑每台价格各为多少万元?

2)学校预计用不多于9.2万元的资金购进这两种电脑共20台,其中A种型号电脑至少要购进10台,请问有哪几种购买方案?

【分析】1)设求A种型号电脑每台价格为x万元,则B种型号电脑每台价格(x0.1)万元.根据“用10万元购买A种型号电脑的数量与用8万购买B种型号电脑的数量相同”列出方程并解答.

2)设购买A种型号电脑y台,则购买B种型号电脑(20y)台.根据A种型号电脑至少要购进10台”、“用不多于9.2万元的资金购进这两种电脑”解答.

【解答】解:(1)设求A种型号电脑每台价格为x万元,则B种型号电脑每台价格(x0.1)万元.

根据题意得:,

解得:X0.5

经检验:x0.5是原方程的解,x0.10.4

答:AB两种型号电脑每台价格分别是0.5万元和0.4万元.

2)设购买A种型号电脑y台,则购买B种型号电脑(20y)台.

根据题意得:0.5y+0.420y9.2

解得:y12

A种型号电脑至少要购进10台,∴10y12 y的整数解为101112

∴有3种方案.

即:购买A种型号电脑10台、购买B种型号电脑10台;

购买A种型号电脑11台、购买B种型号电脑9台;

购买A种型号电脑12台、购买B种型号电脑8台.

【点评】考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用.分析题意,找到合适的数量关系是解决问题的关键.

25.(12分)如图,在ABC中,ABAC10,以AB为直径的OOBC相交于点D,与AC相交于点EDFAC,垂足为F,连接DE,过点AAGDE,垂足为GAG与⊙O交于点H

1)求证:DF是⊙O的切线;

2)若∠CAG25°,求弧AH的长;

3)若tanCDF=,求AE的长;


【分析】1)连接ODAD,根据圆周角定理得到ADB90°,求得ODAC,根据平行线的性质得到ODDF,根据切线的判定定理即可得到结论;

2)连接OH,根据三角形的内角和得到AEG65°,求得∠BAEG65°,求得∠AOH30°,根据弧长公式即可得到结论;

3)根据余角的性质得到∠CADCDF,求出tanCADtanCDF=,根据勾股定理得到CD2,根据相似三角形的性质得到CF2,于是得到结论.

【解答】1)证明:连接ODAD

AB是⊙O的半径,

∴∠ADB90°,

ABAC

∵点DBC的中点,OAB的中点,

ODAC

DFAC

ODDF

OD是⊙O的半径,

DF是⊙O的切线;

2)解:连接OH

AGDG∴∠G90°,

∵∠CAG25°,

∴∠AEG65°,

∴∠BAEG65°,

∴∠BAC180°﹣65°﹣65°=50°,

∴∠OAH75°,

∴∠AOH30°,

lAH==;

3)解:∵∠CAD+C90°,∠CDF+C90°,

∴∠CADCDF

tanCADtanCDF=,

AD2CD

DC2+2CD2102

CD2,

∵△CDF∽△CAD

DC2CFAC

CF2

CDDE

OFAC

EFCF2

AE10226


【点评】本题考查了切线的判定和性质,相似三角形的判定和性质,弧长的计算,勾股定理,正确的识别图形是解题的关键.

26.(14分)如图,直线AB和抛物线的交点是A0,﹣3),B59),已知抛物线的顶点D的横坐标是2

1)求抛物线的解析式及顶点坐标;

2)在x轴上是否存在一点C,与AB组成等腰三角形?若存在,求出点C的坐标,若不在,请说明理由;

3)在直线AB的下方抛物线上找一点P,连接PAPB使得PAB的面积最大,并求出这个最大值.


【分析】1)抛物线的顶点D的横坐标是2,则x=﹣2,抛物线过是A0,﹣3),则:函数的表达式为:yax2+bx3,把B点坐标代入函数表达式,即可求解;

2)分ABACABBCACBC,三种情况求解即可;

3)由SPAB=•PHxB,即可求解.

【解答】解:(1)抛物线的顶点D的横坐标是2,则x=﹣2①,

抛物线过是A0,﹣3),则:函数的表达式为:yax2+bx3

B点坐标代入上式得:925a+5b3②,

联立①、②解得:a=,b=﹣,c=﹣3

∴抛物线的解析式为:yx2x3

x2时,y=﹣,即顶点D的坐标为(2,﹣);

2A0,﹣3),B59),则AB13

①当ABAC时,设点C坐标(m0),

则:(m2+(﹣32132,解得:m±4

即点C坐标为:(40)或(﹣40);

②当ABBC时,设点C坐标(m0),

则:(5m2+92132,解得:m5,

即:点C坐标为(50)或(520),

③当ACBC时,设点C坐标(m0),

则:点CAB的垂直平分线于x轴的交点,

则点C坐标为(0),

故:存在,

C的坐标为:(40)或(﹣40)或(50)或(520)或(0);

3)过点Py轴的平行线交AB于点H


设:AB所在的直线过点A0,﹣3),则设直线AB的表达式为ykx3

把点B坐标代入上式,95k3,则k=,

故函数的表达式为:yx3

设:点P坐标为(m m2m3),则点H坐标为(m m3),

SPAB=•PHxB=(﹣m2+12m),

m2.5时,SPAB取得最大值为:,

答:PAB的面积最大值为.

【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系.



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