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九年级数学下第29章《投影与视图》单元集训有答案(人教版3份)

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 第29章疑难集训
疑难点1灯光下的影长问题
1.[2018山东菏泽郓城期末]如图,一根直立于水平地面的木杆AB在灯光下形成影子AC(AC>AB),当木杆绕点A按逆时针方向旋转,直至到达地面时,影子的长度发生变化.已知AE=5m,在旋转过程中,影长的最大值为5m,最小值为3m,且影长最长时,木杆与光线垂直,求路灯EF的高度.

2.求证:一个人在两个高度相同的路灯之间行走,他前后的两个影子的长度之和是一个定值.


3.[2018山东成海文登区期末]如图是用8个大小相同的小正方体搭成的几何体,仅在该几何体中取走一个小正方体,使得到的新几何体同时满足两个要求:(1)主视图和原几何体的主视图相同;(2)左视图和原几何体的左视图相同.在不改变其他小正方体位置的前提下,可取走的小正方体的序号是____.

4.如图,在一次数学活动课上,张明用17个棱长为1的小正方体搭成了一个几何体,然后他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体,使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体(不改变张明所搭几何体的形状),那么王亮至少还需要____个小正方体,王亮所搭几何体的表面积为____.

5.如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图,求搭成几何体的小正方体个数的最大值与最小值.


参考答案
1.【分析】本题的难点是知道当木杆旋转到达地面时,影长最短,即最短影长等于木杆AB的长,在木杆绕点.4按逆时针方向旋转的过程中,木杆AB的长度不变为3m,影长在不断变化.
【解析】当木杆AB旋转到达地面时,其影子的长度最短,此时影子的长度等于木杆AB的长度,∴AB=3m.
∵影长最长时,木杆与光线垂直(如图),∴AC’=5m.

在Rt△AB’C’中,根据勾股定理,得B’C’===4(m).
易知△C’AB∽△C’FE,∴=,∵AE=5m,∴EC’=AE+AC’=10m,
∴=,解得EF=7.5m,即路灯EF的高度为7.5m.
名师点睛:求解本题的关键是弄清楚哪些量发生变化,哪些量不发生变化.在解题过程中,利用相似三角形的性质进行求解.
2.【解析】如图,已知CD,EF为路灯的高度,CD=EF,AB为该人的高度,BM,BN为该人前后的两个影子的长度.求证:BM+BN为定值.

证明:设AB=a,CD=b,∵AB∥CD∥EF,∴△ABM∽△CDM,∴==,∴=,∴BM=BD,同理可得BN=BF.
∴BM+BN=BD+BF=(BD+BF)=DF,为定值.
技巧点拨:题中给出中心投影,但没有给出图形时,一定要根据题意准确画图;其次要明确题意,把文字语言改写成符号语言,然后利用相似三角形及中心投影的知识进行解题.
3.3或5【解析】若要使主视图和原几何体的主视图相同,则可取走的小正方体的序号是3或5或7;若要使左视图和原几何体的左视图相同,则可取走的小正方体的序号是1或3或5.故可取走的小正方体的序号是3或5.
4.19   48【解析】因为王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体,所以搭该长方体至少需要小正方体4×32=36(个),因为张明用了17个小正方体,所以王亮至少还需要36-17=19(个)小正方体,王亮所搭几何体的表面积为2×(9+7+8)=48.
5.【解析】由主视图可知该几何体共有三列,由左视图可知共有三排,所以当组成几何体的小正方体个数最多时,每个位置都有对应的小正方体,如图1,所以最大值为12;当组成几何体的小正方体个数最少时,只需在必要的位置有对应的小正方体,保证几何体的主视图和左视图满足题目要求即可,如图2,所以最小值为7.

名师点睛:本题的难点是不清楚组成几何体的小正方体的个数如何确定.方法是由主视图确定几何体有几列,由左视图确定几何体有几排,再依据主视图和左视图来确定小正方体个数的最大值和最小值.
 

第29章易错集训
易错点1混淆平行投影与中心投影
1.下列两幅图中竹竿的影子是在太阳光下形成的,还是在灯光下形成的?请你画出两图中小树的影子.
 

2.[2018四川达州开江期末改编]如图,在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD,它们都与地面垂直.为了测得电线杆的高度,一个小组的同学进行了如下测量:某一时刻,在太阳光照射下,旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米,落在地面上的影子BF的长度为10米,而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米,落在地面上的影子DH的长度为5米.依据这些数据,该小组的同学计算出了电线杆的高度.
(1)该小组的同学在这里利用的是____投影的有关知识进行计算的;
(2)试计算出电线杆的高度,并写出计算过程.

易错点2忽视分类讨论
3.将一元硬币放在太阳光下,它在平整的地面上的投影不可能是(    )
A.线段      B.圆       C.椭圆      D.正方形
4.如图是由一些完全相同的小正方体组成的几何体的左视图和俯视图,则组成这个几何体的小正方体的个数是____.

易错点3混淆三视图中的虛线与实线
5.[2017山东烟台中考]如图所示的工件,其俯视图是(    )

6.[2017福建漳州平和期末]如图是将正方体切去一个角后形成的几何体,则该几何体的左视图为(    )

7.画出如图所示几何体的三视图.


参考答案
1.【解析】图1中竹竿的影子是在灯光下形成的,图2中竹竿的影子是在太阳光下形成的.
两图中小树的影子如图所示.

名师点睛:本题的易错之处是混淆平行投影和中心投影,求解时应明确平行投影和中心投影的区别,平行投影和中心投影的判定方法:两个物体与影长的对应顶点的连线交于一点,此时为灯光形成的光线,此点为光源所在,这种投影为中心投影;两个物体与影长的对应顶点的连线平行,此时为太阳光形成的光线,这种投影为平行投影.
2.【解析】(1)平行
(2)如图,连接AE,CG,过点E作EM⊥AB于点M,过点G作GN⊥CD于点N,则MB=EF=2米,ND=GH=3米,ME=BF=10米,NG=DH=5米,所以AM=10-2=8(米).
由平行投影可知,=,即=,解得CD=7米,即电线杆的高度为7米.

名师点睛:在解决此类问题时,首先要注意作辅助线构造直角三角形进行计算,其次要注意太阳光线是平行光线.
3.D【解析】当硬币面与光线平行时,投影是线段;当硬币面与光线垂直时,投影是圆;其余都是椭圆.故选D.
易错分析:本题的易错之处是认为硬币面与光线垂直,因而误选A.事实上,根据硬币面与光线的不同位置可得到不同的投影,在解决这类问题时,一定要注意分类讨论.
4.6或7或8【解析】由左视图,可得这个几何体共有3层,由俯视图,可得这个几何体最底层有4个小正方体,分情况讨论.(1)第2层有1个小正方体,第3层有1个小正方体,此时组成这个几何体的小正方体的个数是1+1+4=6;(2)第2层有2个小正方体,第3层有1个小正方体,此时组成这个几何体的小正方体的个数是1+2+4=7;(3)第2层有2个小正方体,第3层有2个小正方体,此时组成这个几何体的小正方体的个数是2+2+4=8.综上,组成这个几何体的小正方体的个数是6或7或8.
易错分析:本题的易错之处是忽视分类讨论,求解过程中只考虑第一种情况,从而得到由6个小正方体组成这个几何体的错误答案.
5.B【解析】从上面看是一个同心圆,外圆是实线,内圆是虚线.故选B.
易错分析:本题的易错之处是混淆实线与虚线的区别,认为轮廓线都应画实线,从而错选A.实际上,看得见的轮廓线要画成实线,而看不见的轮廓线要画成虚线.
6.C【解析】由题图,可知该几何体的左视图是正方形,并且正方形内有一条实线,结合实线的位置,可知选C.
7.【解析】三视图如图所示. 
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