九年级数学上册第24章圆单元测试卷(有解析新人教版)

时间:2018-10-12 作者:佚名 试题来源:网络

九年级数学上册第24章圆单元测试卷(有解析新人教版)

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第24章 圆
考试时间:120分钟;满分:150分
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
题号 一 二 三 总分
得分    
  评卷人   得  分
  
一.选择题(共10小题,满分40分,每小题4分)
1.(4分)已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为(  )
A.2 cm      B.4 cm C.2 cm或4 cm D.2 cm或4 cm
2.(4分)如图,⊙O中,弦BC与半径OA相交于点D,连接AB,OC.若∠A=60°,∠ADC=85°,则∠C的度数是(  )
 
A.25°         B.27.5°          C.30°       D.35°
3.(4分)已知⊙O的半径为5cm,直线1上有一点P,OP=5cm,则直线1与⊙O的位置关系为(  )
A.相交     B.相离        C.相切     D.相交或相切
4.(4分)如图所示,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,线段PO交⊙O于点C,连结BC,若∠P=36°,则∠B等于(  )
 
A.27°          B.32°          C.36°        D.54°
5.(4分)在△ABC中,若O为BC边的中点,则必有:AB2+AC2=2AO2+2BO2成立.依据以上结论,解决如下问题:如图,在矩形DEFG中,已知DE=4,EF=3,点P在以DE为直径的半圆上运动,则PF2+PG2的最小值为(  )
 
A.       B.        C.34      D.10
6.(4分)某同学以一个边长为1的正六边形的三个顶点为圆心,边长为半径,向外画了三段圆弧,设计了如图所示的图案.则图案外围轮廓的周长为(  )
 
A.2π       B.3π       C.4π      D.6π
7.(4分)若一个正多边形的中心角等于其内角,则这个正多边形的边数为(  )
A.3        B.4        C.5       D.6
8.(4分)如图,正六边形螺帽的边长是2cm,这个扳手的开口a的值应是(  )
 
A.2 cm        B. cm         C. cm     D.1cm
9.(4分)如图,已知圆O的半径为a,点A,B,C均在圆O上,且OB⊥AC,则图中阴影部分的面积是(  )
 
A.( +π)a2    B. πa2    C.( +1)a2     D. πa2
10.(4分)如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=4,将△ABC绕A逆时针方向旋转40°得到△ADE,点B经过的路径为弧BD,是图中阴影部分的面积为(  )
 
A. π﹣6          B. π         C. π﹣3     D. +π
 
 评卷人   得  分
  
二.填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)
11.(5分)已知⊙O的半径为10cm,AB,CD是⊙O的两条弦,AB∥CD,AB=16cm,CD=12cm,则弦AB和CD之间的距离是     cm.
12.(5分)如图,在圆O中,AB为直径,AD为弦,过点B的切线与AD的延长线交于点C,AD=DC,则∠C=     度.
 
13.(5分)如图,在正五边形ABCDE中,AC与BE相交于点F,则∠AFE的度数为     .
 
14.(5分)如图,在平行四边形ABCD中,AB<AD,∠D=30°,CD=4,以AB为直径的⊙O交BC于点E,则阴影部分的面积为     .
 
 
 评卷人   得  分
  
三.解答题(共9小题,满分90分)
15.(8分)如图,AB、AC是⊙O的两条弦,且AB=AC.求证:∠1=∠2.
 
16.(8分)如图,正三角形ABC内接于⊙O,若AB= cm,求⊙O的半径.
 
17.(8分)文艺复兴时期,意大利艺术大师达.芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题.已知正方形的边长是2,就能求出图中阴影部分的面积.
 
证明:S矩形ABCD=S1+S2+S3=2,S4=     ,S5=     ,S6=     +     ,S阴影=S1+S6=S1+S2+S3=     .
18.(8分)如图,AB是⊙O的直径,点D在⊙O上,∠DAB=45°,BC∥AD,CD∥AB.若⊙O的半径为1,求图中阴影部分的面积(结果保留π).
 
19.(10分)已知在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC于D,BC于E,连接ED.
(1)求证:ED=EC;
(2)若CD=3,EC=2 ,求AB的长.
 
20.(10分)如图,AB是⊙O的直径,AC为弦,∠BAC的平分线交⊙O于点D,过点D的切线交AC的延长线于点E.
求证:(1)DE⊥AE;
(2)AE+CE=AB.
 
21.(12分)如图,AD是⊙O的直径,AB为⊙O的弦,OP⊥AD,OP与AB的延长线交于点P,过B点的切线交OP于点C.
(1)求证:∠CBP=∠ADB.
(2)若OA=2,AB=1,求线段BP的长.
 
22.(12分)如图,在正六边形ABCDEF中,对角线AE与BF相交于点M,BD与CE相交于点N.
(1)求证:AE=FB;
(2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出所有与△ABM全等的三角形.
 
23.(14分)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为P,若AB=2,AC= .
(1)求∠A的度数.
(2)求弧CBD的长.
(3)求弓形CBD的面积.
 
 
 
2018年秋 九年级上学期 第24章 圆 单元测试
参考答案与试题解析
 
一.选择题(共10小题,满分40分,每小题4分)
1.
【分析】先根据题意画出图形,由于点C的位置不能确定,故应分两种情况进行讨论.
【解答】解:连接AC,AO,
∵⊙O的直径CD=10cm,AB⊥CD,AB=8cm,
∴AM= AB= ×8=4cm,OD=OC=5cm,
当C点位置如图1所示时,
∵OA=5cm,AM=4cm,CD⊥AB,
∴OM= = =3cm,
∴CM=OC+OM=5+3=8cm,
∴AC= = =4 cm;
当C点位置如图2所示时,同理可得OM=3cm,
∵OC=5cm,
∴MC=5﹣3=2cm,
在Rt△AMC中,AC= = =2 cm.
故选:C.
 
【点评】本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
 
2.
【分析】直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数,再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案.
【解答】解:∵∠A=60°,∠ADC=85°,
∴∠B=85°﹣60°=25°,∠CDO=95°,
∴∠AOC=2∠B=50°,
∴∠C=180°﹣95°﹣50°=35°
故选:D.
【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识,正确得出∠AOC度数是解题关键.
 
3.
【分析】根据直线与圆的位置关系来判定.判断直线和圆的位置关系:①直线l和⊙O相交⇔d<r;②直线l和⊙O相切⇔d=r;③直线l和⊙O相离⇔d>r.分OP垂直于直线l,OP不垂直直线l两种情况讨论.
【解答】解:当OP垂直于直线l时,即圆心O到直线l的距离d=5cm=r,⊙O与l相切;
当OP不垂直于直线l时,即圆心O到直线l的距离d<5cm=r,⊙O与直线l相交.
故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交.
故选:D.
【点评】本题考查直线与圆的位置关系.解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定.
 
4.
【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°,再利用三角形内角和定理得出∠AOP=54°,结合圆周角定理得出答案.
【解答】解:∵PA切⊙O于点A,
∴∠OAP=90°,
∵∠P=36°,
∴∠AOP=54°,
∴∠B=27°.
故选:A.
【点评】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理,正确得出∠AOP的度数是解题关键.
 
5.
【分析】设点M为DE的中点,点N为FG的中点,连接MN,则MN、PM的长度是定值,利用三角形的三边关系可得出NP的最小值,再利用PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出结论.
【解答】解:设点M为DE的中点,点N为FG的中点,连接MN交半圆于点P,此时PN取最小值.
∵DE=4,四边形DEFG为矩形,
∴GF=DE,MN=EF,
∴MP=FN= DE=2,
∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1,
∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10.
故选:D.
 
【点评】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三边关系,利用三角形三边关系找出PN的最小值是解题的关键.
 
6.
【分析】图案外围轮廓的周长=三条弧长之和,利用函数公式计算即可;
【解答】解:正六边形的内角= =120°,
∴扇形的圆心角=360°﹣120°=240°,
∴图案外围轮廓的周长=3× =4π,
故选:C.
【点评】本题考查正多边形与圆,弧长公式等知识,解题的关键是求出扇形的圆心角,记住弧长公式:l= .
 
7.
【分析】根据正n边形的中心角的度数为360°÷n进行计算即可得到答案.
【解答】解:360°÷n= .
故这个正多边形的边数为4.
故选:B.
【点评】本题考查的是正多边形内角、外角和中心角的知识,掌握中心角的计算公式是解题的关键.
 
8.
【分析】根据正六边形的内角度数可得出∠1=30°,再通过解直角三角形即可得出 a的值,进而可求出a的值,此题得解.
【解答】解:∵正六边形的任一内角为120°,
∴∠1=30°(如图),
∴ a=2cos∠1= ,
∴a=2 .
故选:A.
 
【点评】本题考查了正多边形以及解直角三角形,牢记正多边形的内角度数是解题的关键.
 
9.
【分析】根据阴影部分的面积=半圆面积+△ABC的面积,计算即可;
【解答】解:如图连接OB.
 
∵OA=OC,OB⊥AC,
∴S△ABC=a2,S半圆= πa2,
∴S阴=a2+ πa2=( +1)a2,
故选:C.
【点评】本题考查扇形的面积公式、三角形的面积公式等知识,解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积;
 
10.
【分析】根据AB=5,AC=3,BC=4和勾股定理的逆定理判断三角形的形状,根据旋转的性质得到△AED的面积=△ABC的面积,得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积,根据扇形面积公式计算即可.
【解答】解:∵AB=5,AC=3,BC=4,
∴△ABC为直角三角形,
由题意得,△AED的面积=△ABC的面积,
由图形可知,阴影部分的面积=△AED的面积+扇形ADB的面积﹣△ABC的面积,
∴阴影部分的面积=扇形ADB的面积= ,
故选:B.
 
【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理,根据图形得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积是解题的关键.
 
二.填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)
11.
【分析】分两种情况进行讨论:①弦AB和CD在圆心同侧;②弦AB和CD在圆心异侧;作出半径和弦心距,利用勾股定理和垂径定理求解即可,小心别漏解.
【解答】解:①当弦AB和CD在圆心同侧时,如图,
∵AB=16cm,CD=12cm,
∴AE=8cm,CF=6cm,
∵OA=OC=10cm,
∴EO=6cm,OF=8cm,
∴EF=OF﹣OE=2cm;
②当弦AB和CD在圆心异侧时,如图,
∵AB=16cm,CD=12cm,
∴AF=8cm,CE=6cm,
∵OA=OC=10cm,
∴OF=6cm,OE=8cm,
∴EF=OF+OE=14cm.
∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm.
故答案为:2或14.
 
 
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用.此题难度适中,解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用,小心别漏解.
 
12.
【分析】利用圆周角定理得到∠ADB=90°,再根据切线的性质得∠ABC=90°,然后根据等腰三角形的判定方法得到△ABC为等腰直角三角形,从而得到∠C的度数.
【解答】解:∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,
∵BC为切线,
∴AB⊥BC,
∴∠ABC=90°,
∵AD=CD,
∴△ABC为等腰直角三角形,
∴∠C=45°.
故答案为45.
【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了等腰直角三角形的判定与性质.
 
13.
【分析】根据五边形的内角和公式求出∠EAB,根据等腰三角形的性质,三角形外角的性质计算即可.
【解答】解:∵五边形ABCDE是正五边形,
∴∠EAB=∠ABC= =108°,
∵BA=BC,
∴∠BAC=∠BCA=36°,
同理∠ABE=36°,
∴∠AFE=∠ABF+∠BAF=36°+36°=72°,
故答案为:72°.
【点评】本题考查的是正多边形的内角与外角,掌握正多边形的内角的计算公式、等腰三角形的性质是解题的关键
 
14.
【分析】连接半径和弦AE,根据直径所对的圆周角是直角得:∠AEB=90°,可得AE和BE的长,所以图中弓形的面积为扇形OBE的面积与△OBE面积的差,因为OA=OB,所以△OBE的面积是△ABE面积的一半,可得结论.
【解答】解:连接OE、AE,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD=4,∠B=∠D=30°,
∴AE= AB=2,BE= =2 ,
∵OA=OB=OE,
∴∠B=∠OEB=30°,
∴∠BOE=120°,
∴S阴影=S扇形OBE﹣S△BOE,
= ﹣ × ,
= ﹣ ,
= ﹣ ,
故答案为: ﹣ .
 
【点评】本题考查了扇形的面积计算、平行四边形的性质,直角三角形中30度角等知识点,能求出扇形OBE的面积和△ABE的面积是解此题的关键.
 
三.解答题(共9小题,满分90分)
15.
【分析】已知AB=AC,又OC=OB,OA=OA,则△AOB≌△AOC,根据全等三角形的性质知,∠1=∠2.
【解答】证明:连接OB、OC.
∵AB=AC,OC=OB,OA=OA,
∴△AOB≌△AOC(SSS).
∴∠1=∠2.
 
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质,利用圆中半径相等的隐含条件,获得全等的条件,从而利用全等的性质解决问题.
 
16.
【分析】利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心,进而求出∠OBD=30°,BD=CD,再利用锐角函数关系得出BO即可.
【解答】解:过点O作OD⊥BC于点D,连接BO,
∵正三角形ABC内接于⊙O,
∴点O即是三角形内心也是外心,
∴∠OBD=30°,BD=CD= BC= AB= ,
∴cos30°= = = ,
解得:BO=2,
即⊙O的半径为2cm.
 
【点评】此题主要考查了正多边形和圆,利用正多边形内外心的特殊关系得出∠OBD=30°,BD=CD是解题关键.
 
17.
【分析】利用图形的拼割,正方形的性质,寻找等面积的图形,即可解决问题;
【解答】证明:由题意:S矩形ABCD=S1+S2+S3=2,
S4=S2,S5=S3,S6=S4+S5,S阴影面积=S1+S6=S1+S2+S3=2.
故答案为:S2,S3,S4,S5,2.
【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质、扇形的面积等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
 
18.
【分析】连接OD,求出四边形ABCD是平行四边形,关键平行四边形的性质求出DC长,再根据梯形面积公式和扇形面积公式求出即可.
【解答】解:连接OD,
∵OA=OD,∠A=45°,
∴∠A=∠ADO=45°,
∴∠DOB=90°,即OD⊥AB,
∵BC∥AD,CD∥AB,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB=2
∴S梯形OBCD= ,
∴图中阴影部分的面积S=S梯形OBCD﹣S扇形OBD= ﹣ = ﹣ .
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定,扇形的面积计算等知识点,能分别求出梯形OBCD的面积和扇形DOB的面积是解此题的关键.
 
19.
【分析】(1)由圆内接四边形的性质知∠B=∠EDC,根据AB=AC即∠B=∠C得∠EDC=∠C,即可得证;
(2)连接AE,得AE⊥BC,结合AB=AC知BC=2EC=4 ,证△ABC∽△EDC即可得.
【解答】解:(1)∵∠EDC+∠EDA=180°、∠B+∠EDA=180°,
∴∠B=∠EDC,
又∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠EDC=∠C,
∴ED=EC;

(2)连接AE,
 
∵AB是直径,
∴AE⊥BC,
又∵AB=AC,
∴BC=2EC=4 ,
∵∠B=∠EDC、∠C=∠C,
∴△ABC∽△EDC,
∴AB:EC=BC:CD,
又∵EC=2 、BC=4 、CD=3,
∴AB=8.
【点评】本题主要考查圆周角定理,解题的关键是掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质.
 
20.
【分析】(1)连接OD,根据等腰三角形的性质结合角平分线的性质可得出∠CAD=∠ODA,利用“内错角相等,两直线平行”可得出AE∥OD,结合切线的性质即可证出DE⊥AE;
(2)过点D作DM⊥AB于点M,连接CD、DB,根据角平分线的性质可得出DE=DM,结合AD=AD、∠AED=∠AMD=90°即可证出△DAE≌△DAM(SAS),根据全等三角形的性质可得出AE=AM,由∠EAD=∠MAD可得出 ,进而可得出CD=BD,结合DE=DM可证出Rt△DEC≌Rt△DMB(HL),根据全等三角形的性质可得出CE=BM,结合AB=AM+BM即可证出AE+CE=AB.
【解答】证明:(1)连接OD,如图1所示.
∵OA=OD,AD平分∠BAC,
∴∠OAD=∠ODA,∠CAD=∠OAD,
∴∠CAD=∠ODA,
∴AE∥OD.
∵DE是⊙O的切线,
∴∠ODE=90°,
∴OD⊥DE,
∴DE⊥AE.
(2)过点D作DM⊥AB于点M,连接CD、DB,如图2所示.
∵AD平分∠BAC,DE⊥AE,DM⊥AB,
∴DE=DM.
在△DAE和△DAM中, ,
∴△DAE≌△DAM(SAS),
∴AE=AM.
∵∠EAD=∠MAD,
∴ ,
∴CD=BD.
在Rt△DEC和Rt△DMB中, ,
∴Rt△DEC≌Rt△DMB(HL),
∴CE=BM,
∴AE+CE=AM+BM=AB.
 
 
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、切线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质以及圆周角定理,解题的关键是:(1)利用平行线的判定定理找出AE∥OD;(2)利用全等三角形的性质找出AE=AM、CE=BM.
 
21.
【分析】(1)连接OB,如图,根据圆周角定理得到∠ABD=90°,再根据切线的性质得到∠OBC=90°,然后利用等量代换进行证明;
(2)证明△AOP∽△ABD,然后利用相似比求BP的长.
【解答】(1)证明:连接OB,如图,
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ABD=90°,
∴∠A+∠ADB=90°,
∵BC为切线,
∴OB⊥BC,
∴∠OBC=90°,
∴∠OBA+∠CBP=90°,
而OA=OB,
∴∠A=∠OBA,
∴∠CBP=∠ADB;
(2)解:∵OP⊥AD,
∴∠POA=90°,
∴∠P+∠A=90°,
∴∠P=∠D,
∴△AOP∽△ABD,
∴ ,即 ,
∴BP=7.
 
【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质.
 
22.
【分析】(1)证明△AFE与△BAF全等,利用全等三角形的性质证明即可;
(2)先证明△ABM≌△DEN,同理得出△ABM≌△FEM≌△CBN,
【解答】证明:(1)∵正六边形ABCDEF,
∴AF=EF=AB,∠AFE=∠FAB,
在△AFE与△BAF中,
 ,
∴△AFE≌△BAF(SAS),
∴AE=FB;
(2)与△ABM全等的三角形有△DEN,△FEM,△CBN;
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴AB=DE,∠BAF=120°,
∴∠ABM=30°,
∴∠BAM=90°,
同理∠DEN=30°,∠EDN=90°,
∴∠ABM=∠DEN,∠BAM=∠EDN,
在△ABM和△DEN中,
 ,
∴△ABM≌△DEN(ASA).
同理利用ASA证明△FEM≌△ABM,△CBN≌△ABM.
【点评】本题考查了正多边形和圆以及全等三角形的判定,掌握正多边形的性质和全等三角形的判定是解题的关键.
 
23.
【分析】(1)根据题意可以求得BC的长和∠ACB的度数,从而可以求得∠A的度数;
(2)根据(1)中的结果可以求得∠COD的度数,从而可以求得弧CBD的长;
(3)根据图形可知,弓形CBD的面积等于扇形CBD与△COD的面积之差,从而可以解答本题.
【解答】解:(1)连接BC,BD,
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∵AB=2,
AC= ,
∴BC=1,
∴∠A=30°;
(2)连接OC,OD,
∵CD⊥AB、AB是直径,
∴∠BOC=2∠A=60°,
∴∠COD=120°,
∴弧CBD的长是: ;
(3)∵OC=OA=1,∠BOC=60°,
∴CP=OC•sin60°=1× = ,OP=OC•cos60°= ,
∴CD=2CP= ,
∴弓形CBD的面积是: .
 
【点评】本题考查扇形面积的计算、垂径定理、圆周角定理、弧长计算,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.
 

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