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人教版八年级下学期第十八章平行四边形期末培优训练(附答案)

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八年级下学期期末复习 :《平行四边形》 培优训练

一.选择题

1.在▱ABCD中,已知AB6,AD为▱ABCD的周长的,则AD=(  )

A.4 B.6 C.8 D.10

2.在平行四边形ABCD中,AEDE交于点E,若AE平分BADAEDE,则(  )

 

A.∠ADE30° B.∠ADE45° C.∠ADC2∠ADE D.∠ADC3∠ADE

3.下列说法中能判定四边形是矩形的是(  )

A.有两个角为直角的四边形

B.对角线互相平分的四边形

C.对角线相等的四边形

D.四个角都相等的四边形

4.如图,菱形ABCD的面积为96,正方形AECF的面积为72,则菱形的边长为(  )

 

A.10 B.12 C.8 D.16

5.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,若A26°,则∠BDC的度数是(  )

 

A.26° B.38° C.42° D.52°

6.如图,在正方形ABCD中,GCD的中点,连结AG并延长,交BC边的延长线于点E,对角线BDAG于点F,已知AE12,则线段FG的长是(  )

 

A.2 B.4 C.5 D.6

7.如图,矩形ABCD的对角线AC8cmAOD120°,则AB的长为(  )

 

A.2cm B.4cm C. cm D.2cm

8.将正方形ABCD与正方形BEFG如图摆放,点G恰好落在线段AE上.已知AB=,AG1,连接CE,则CE长为(  )

 

A. B. C. D.3.5

9.如图,在平行四边形ABCD中,ACBD交于点M,点FAD上,AF6cmBF12cmFBMCBM,点EBC的中点,若点P1cm/秒的速度从点A出发,沿AD向点F运动:点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发,沿CB向点B运动,点P运动到F点时停止运动,点Q也时停止运动,当点P运动(  )秒时,以点PQEF为顶点的四边形是平行四边形.

 

A.2 B.3 C.3或5 D.4或5

10.如图,正方形ABCD的对角线ACBD相交于点OEAC上的一点,且ABAE,过点AAFBE,垂足为F,交BD于点G.点HAD上,且EHAF.若正方形ABCD的边长为2,下列结论:①OEOG;②EHBE;③AH22;④AGAF2.其中正确的有(  )

 

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

二.填空题

11.在Rt△ABC中,C90°,AC3,BC4,点DEF是三边的中点,则DEF的周长是   

 

12.如图,CEBF分别是ABC的高线,连接EFEF6,BC10,DG分别是EFBC的中点,则DG的长为   

 

13.如图,矩形ABCD中,DEAC于点F,交BC边于点E,已知AB6,AD8,则CE的长为   

 

14.如图,在▱ABCD中,AD2AB,点FBC的中点,作AECD于点E,点E在线段CD上,连接EFAF,下列结论:①2∠BAFC;②EFAF;③SABFSAEF;④∠BFE3∠CEF.其中一定正确的是   

 

15.如图,在平行四边形ABCD中,ABC45°,AB4,BC9,直线MN平分平行四边形ABCD的面积,分别交边ADBC于点MN,若BMN是以MN为腰的等腰三角形,则BN   

 

16.如图,在正方形ABCD中,E是对角线BD上一点,DE4BE,连接CE,过点EEFCEAB的延长线于点F,若AF8,则正方形ABCD的边长为   

 

17.如图,在平行四边形ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点BF为圆心,大于BF的相同长度为半径画弧,两弧交于点P;连接AP并延长交BC于点E,连接EF.若四边形ABEF的周长为16,∠C60°,则四边形ABEF的面积是   

 

18.如图,将边长为13的菱形ABCD沿AD方向平移至DCEF的位置,作EGAB,垂足为点GGD的延长线交EF于点H,已知BD24,则GH   

 

19.如图,在平行四边形ABCD中,连接BD,且BDCD,过点AAMBD与于点M,过点DDNAB于点N,在DB的延长线上取一点PPMDN,若BDC70°,则∠PAB的度数为   

 

20.如图,正方形ABCD中,点EF分别在ABCD上,DGEF于点H,交BC于点G,点P在线段BG上.若PEF45°,AECG5,PG5,则EP   

 

 

三.解答题

21.如图,已知△ABC是等边三角形,点DF分别在线段BCAB上,DCBF,以BF为边在ABC外作等边三角形BEF

1)求证:四边形EFCD是平行四边形.

2)△ABC的边长是6,当点DBC三等分点时,直接写出平行四边形CDEF的面积.

 

 

 

22.如图,正方形ABCD边长为4,点O在对角线DB上运动(不与点BD重合),连接OA,作OPOA,交直线BC于点P

1)判断线段OAOP的数量关系,并说明理由.

2)当OD=时,求CP的长.

3)设线段DOOPPCCD围成的图形面积为S1AOD的面积为S2,求S1S2的最值.

 

 

 

23.已知菱形的一个角与三角形的一个角重合,然后它的对角顶点在这个重合角的对边上,这个菱形称为这个三角形的亲密菱形,如图,在△CFE中,CE12,∠FCE60°,∠AFE90°,以点C为圆心,以任意长为半径作AD,再分别以点A和点D为圆心,大于AD长为半径做弧,交EF于点BABCD

1)求证:四边形ACDBCFE的亲密菱形;

2)求四边形ACDB的面积.

 

 

 

24.问题探究:如图①,在正方形ABCD中,点E在边AD上,点F在边CD上,且AEDF.线段BEAF相交于点GGHBFG的中线.

 

1)求证:△ABE≌△DAF

2)判断线段BFGH之间的数量关系,并说明理由.

问题拓展:如图②,在矩形ABCD中,AB4,AD6.点E在边AD上,点F在边CD上,且AE2,DF3,线段BEAF相交于点G.若GHBFG的中线,则线段GH的长为   

 

 

 

 

 

 

25.老师布置了一个作业,如下:

已知:如图1▱ABCD的对角线AC的垂直平分线EFAD于点F,交BC于点E,交AC于点O

求证:四边形AECF是菱形.

 

某同学写出了如图2所示的证明过程,老师说该同学的作业是错误的,请你解答下列问题:

1)能找出该同学错误的原因吗?请你指出来;

2)请你给出本题的正确证明过程.

 

 

 

 

26.如图,在△ABC中,ABACDBC上任一点,ADAEBACDAE

1)若ED平分AEC,求证:CEAD

2)若∠BAC90°,且DBC中点时,试判断四边形ADCE的形状,并说明你的理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

27.正方形ABCD,点E在边BC上,点F在对角线AC上,连AE

1)如图1,连EF,若EFAC4AF3ACAB4,求△AEF的周长;

2)如图2,若AFAB,过点FFGACCDG,点H在线段FG上(不与端点重合),连AH.若EAH45°,求证:ECHG+FC

 

 

 

 

 

28.如图,在平行四边形ABCD中,点HDC上一点,BDAH交于点OABO为等边三角形,点E在线段AO上,ODOE,连接BE,点FBE的中点,连接AF并延长交BC于点G,且GAD60°.

1)若CH2,AB4,求BC的长;

2)求证:BDAB+AE

 


参考答案

一.选择题

1.解:∵四边形ABCD是平行四边形,

CDAB6,ADBC

AD=(AB+BC+CD+AD),

AD2AD+12),

解得:AD8,

BC8;

故选:C

2.解:∵平行四边形ABCD

ABCD

∴∠BAD+∠CDA180°,

AEDE

∴∠DAE+∠ADE90°,

∴∠BAE+∠EDC90°,

AE平分BAD

∴∠BAEEAD

∴∠ADEEDC

ADC2∠ADE

故选:C

3.解:A、有3个角为直角的四边形是矩形,故错误;

B、对角线互相平分的平行四边形是矩形,故错误;

C、对角线相等的平行四边形,故错误;

D、四个角都相等的四边形是矩形,故正确;

故选:D

4.解:连接EFBEDF

∵四边形AECF是正方形,

∴∠AEC90°,∠AEF45°.

ABE≌△CBESSS),

∴∠AEBCEB=(360°﹣90°)÷2=135°.

∴∠AEB+∠AEF180°,

BEF三点共线.

同理可证DFE三点共线,

BD过点EF

AC272,

AC12.

ACBD96,

BD16.

则菱形的边长为10.

 

故选:A

5.解:∵∠ACB90°,CD是斜边AB上的中线,

BDCDAD

∴∠ADCA26°,

∴∠BDCA+∠DCA26°+26°=52°.

故选:D

6.解:∵四边形ABCD为正方形,

ABCDABCD

∴∠ABFGDFBAFDGF

∴△ABF∽△GDF

∴=,

FGAF

CGABAB2CG

CGEAB的中位线,

AGAE6,

FGAG2.

故选:A

 

7.解:∵∠AOD120°,

∴∠AOB60°,

∵四边形ABCD是矩形,

ACBDAOOC=×8=4cmBOOD

AOBO4cm

∴△ABO是等边三角形,

ABAO4cm

故选:B

8.解:如图1所示,

 

分别过点ACEB的垂线,交EB的延长线于点KM,过点BBH垂直AE,交AE于点H

BHGHa

则有a2+(1+a2=()2

解得a1,

BG=,AE3,

AKEK=,BK=,

∵∠AKBM90°,∠MBCBAKBCAB

∴△ABK≌△BCMAAS),

CM=,EM=,

CE

故选:A

9.解:∵四边形ABCD是平行四边形

ADBCADBC

∴∠ADBMBC,且FBMMBC

ADBFBM

BFDF12cm

ADAF+DF18cmBC

∵点EBC的中点

ECBC9cm

∵以点PQEF为顶点的四边形是平行四边形

PFEQ

∴6﹣t9﹣2t,或6﹣t2t9

t3或5

故选:C

10.解:①∵四边形ABCD是正方形,

ACBDOAOB

∴∠AOGBOE90°,

AFBE

∴∠FGB90°,

∴∠OBE+∠BGF90°,∠FAO+∠AGO90°,

∵∠AGOBGF

∴∠FAOEBO

AFOBEO中,,

∴△AGO≌△BEOASA),

OEOG

故①正确;

②∵EHAFAFBE

EHBE

∴∠BEH90°,

如图1,过EMNCDADM,交BCN,则MNADMNBC

 

∵四边形ABCD是正方形,

∴∠ACBEAM45°,

∴△ENC是等腰直角三角形,

ENCNDM

ADBC

AMEMBN

∵∠NBE+∠BENBEN+∠HEM90°,

∴∠NBEHEM

∴△BNE≌△EMHASA),

EHBE

故②正确;

如图2,Rt△ABC中,ABBC2,

 

AC2,

ABAE

ECACAE22,

ACABAE

∴∠AEBABE

∴∠EBCAEH

由②知:EHBE

∴△BCE≌△EAHSAS),

AHCE22;

故③正确;

④Rt△AME中,AE2,∠EAM45°,

AMBN=,

∵∠NBEBAFAFBENB90°,

∴△ABF∽△BEN

∴,

AFBEAFAGABBN2,

故④正确;

本题正确的有:①②③④4个,

故选:D

二.填空题(共10小题)

11.解:∵Rt△ABC中,C90°,AC3,BC4,

AB5,

∵点DEF是三边的中点,

DEACDFABEFBC

∴△DEF的周长=DE+EF+DFAC+AB+BC=(AC+AB+BC)=3+4+5)=6,

故答案为:6.

12.解:连接EGFG

CEBF分别是ABC的高线,

∴∠BEC90°,∠BFC90°,

GBC的中点,

EGFGBC5,

DEF的中点,

EDEF3,GDEF

由勾股定理得,DG4,

故答案为:4.

 

13.解:∵四边形ABCD是矩形,

CDAB6,BCAD8,∠BADCDCE90°,

AC10,

DEAC

∴∠CFE90°,

∵∠DCFACD

∴△CDF∽△CAD

∴=,

CF==3.6,

∵∠ECFACB

∴△CEF∽△CAB

∴=,

CE4.5;

故答案为:4.5.

14.解:①∵FBC的中点,

BFFC

∵在▱ABCD中,AD2AB

BC2AB2CDBFFCAB

∴∠AFBBAF

ADBC

∴∠AFBDAF

∴∠BAFDAF

∴2∠BAFBAD

∵∠BADC

∴∠BAF2∠C故①正确;

②延长EF,交AB延长线于M

∵四边形ABCD是平行四边形,

ABCD

∴∠MBFC

FBC中点,

BFCF

MBFECF中,,

∴△MBF≌△ECFASA),

FEMFCEFM

CEAE

∴∠AEC90°,

∴∠AECBAE90°,

FMEF

EFAF,故②正确;

③∵EFFM

SAEFSAFM

SABFSAEF,故③错误;

FEAx,则FAEx

∴∠BAFAFB90°﹣x

∴∠EFA180°﹣2x

∴∠EFB90°﹣x+180°﹣2x270°﹣3x

∵∠CEF90°﹣x

∴∠BFE3∠CEF,故④正确,

故答案为:①②④.

 

15.解:如图,过点CCEADE,过点NNFADF,过点BBGAD,与DA的延长线交于点G

 

∵直线MN平分平行四边形ABCD的面积,

AMCN

AMCNx,则EFxBN9﹣x

∵∠ABC45°,AB4,

GBGA4,DE4,

MF5﹣2x

Rt△BGM中,BM242+(4+x2

Rt△NFM中,MN242+(5﹣2x2

∵△BMN是以MN为腰的等腰三角形,

∴①当MNMB时,易证Rt△MFN≌Rt△MGBHL),

MFMG

5﹣2xx+4,

解得x=,即CN=,

BNBCCN9﹣=

②当MNBN时,MN2BN2

∴42+(5﹣2x2=(9﹣x2

解得x14,x2=﹣(不符合题意,舍去),

MN242+(5﹣2x216+(5﹣2×4)225,

MN5,

BN5

故答案为5.

16.解:如图所示:

 

过点EEMBCENAB,分别交BCABMN两点,

EFBC相交于点H

EFCEABC90°,∠ABC+∠HBF180°,

∴∠CEHFBH90°,

∵∠EHCBHF

∴△ECH∽△BFHAA),

∴∠ECHBFH

EMBCENAB,四边形ABCD是正方形,

∴四边形ENBM是正方形,

EMENEMCENF90°,

EMCENF

 

∴△EMC≌△ENFAAS

CMFN

EMDC∴△BEM∽△BDC

∴.

DE4BE

∴=,

同理可得:,

BNa,则AB5aCMANNF4a

AF8,AFAN+FN

∴8a8

解得:a1,

AB5.

故答案为:5.

17.解:由作法得AE平分BADABAF

∠1=∠2,

∵四边形ABCD为平行四边形,

BEAFBAFC60°,

∴∠2=∠BEA

∴∠1=∠BEA30°,

BABE

AFBE

∴四边形AFEB为平行四边形,ABF是等边三角形,

ABAF

∴四边形ABEF是菱形;

BFAEAGEG

∵四边形ABEF的周长为16,

AFBFAB4,

Rt△ABG中,∠1=30°,

BGAB2,AGBG2,

AE2AG4,

∴菱形ABEF的面积=BF×AE=×4×48;

故答案为:8.

18.解:连接DE,连接ACBDO,如图所示:

∵四边形ABCD和四边形DCEF是菱形,

OAOCOBODBD12,ACBDABCDEFABADCDDFCE13,ADCE

OA==5,∠GADF,四边形ACED是平行四边形,

DEAC2OA10,

ADGFDH中,,

∴△ADG≌△FDHASA),

DGDH

EGAB

∴∠BGEGEF90°,

DEDGDH

GH2DE20,

故答案为:20.

 

19.解:在平行四边形ABCD中,

ABCD

BDCD

BDBA

AMBDDNAB

∴∠AMBDNB90°,

ABMDBN中,

∴△ABM≌△DBNAAS),

AMDN

PMDN

AMPM

∴△AMP是等腰直角三角形,

∴∠MAPAPM45°,

ABCD

∴∠ABDCDB70°,

∴∠PABABDP25°,

故答案为:25°

20.解:过点FFMAB于点M,连接PFPM,如图所示:

FMADAMDFFMEMFD90°,

DGEF

∴∠MFECDG

∵四边形ABCD是正方形,

∴∠BC90°,ABBCDCAD

FMDC

MFECDG中,,

∴△MFE≌△CDGASA),

MECG5,

AMDF10,

CGPG5,

CP10,

AMCP

BMBP

∴△BPM是等腰直角三角形,

∴∠BMP45°,

∴∠PMF45°,

∵∠PEF45°=∠PMF

EMPF四点共圆,

∴∠EPFFME90°,

∴△PEF是等腰直角三角形,

EPFP

∵∠BEP+∠BPE90°,∠BPE+∠CPF90°,

∴∠BEPCPF

BPECFP中,,

∴△BPE≌△CFPAAS),

BECP10,

ABAE+BE15,

BP5,

Rt△BPE中,由勾股定理得:EP==5;

故答案为:5.

 

三.解答题(共8小题)

21.证明:(1)∵△ABC是等边三角形,

∴∠ABC60°,

∵∠EFB60°,

∴∠ABCEFB

EFDC(内错角相等,两直线平行),

DCEF

∴四边形EFCD是平行四边形;

2)解:过EEHBCCB的延长线于H

∵△ABCBEF是等边三角形,

∴∠ABCEBF60°,

∴∠EBH180°﹣60°﹣60°=60°,

EHBEBFCD

∵点DBC三等分点,

∴当CDBC2时,平行四边形CDEF的面积=2,

CDBC4时,平行四边形CDEF的面积=4×28,

综上所述,平行四边形CDEF的面积为28.

 

22.解:(1)OAOP,理由是:

如图1,过OOGABG,过OOHBCH

∵四边形ABCD是正方形,

∴∠ABOCBOABBC

OGOH

∵∠OGBGBHBHO90°,

∴四边形OGBH是正方形,

BGBHGOH90°,

∵∠AOPGOH90°,

∴∠AOGPOH

∴△AGO≌△PHOASA),

OAOP

2)如图2,过OOQCDQ,过OOHBCH,连接OC

∴∠OQD90°,

∵∠ODQ45°,

∴△ODQ是等腰直角三角形,

OD=,

OQDQ1,

ADCDADOCDOODOD

∴△ADO≌△CDOSSS),

AOOCOP

OHPC

PHCHOQ1,

PC2;

3)如图3,连接OC,过OOGBCGOHCDH

OHx,则DHxCHOG4﹣xPC2x

由(2)知:△AOD≌△COD

SAODSCOD

S1S2S1SCODSPOC===﹣x2+4x=﹣(x2)2+4,

x2时,S1S2有最大值是4.

 

 

 

23.证明:(1)∵由已知得:ACCDABDB

由已知尺规作图痕迹得:BCFCE的角平分线,

∴∠ACBDCB

ABCD

∴∠ABCDCB

∴∠ACBABC

ACAB

ACCDABDB

ACCDDBBA

∴四边形ACDB是菱形,

∵∠ACDFCE中的FCE重合,它的对角ABD顶点在EF上,

∴四边形ACDBFEC的亲密菱形

2)过点AAGCEG

∵四边形ACDB是菱形

ABACABCD

∴∠FABFCE60°

∴∠EFBA30°

CE2CF  AB2AF

CE12

CF6,CA4

Rt△ACG中,可得AG=,

∴菱形ACDB的面积=CDAG4×=

 

24.(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,

∴∠BADD90°,ABDA

ABEDAF中,,

∴△ABE≌△DAFSAS);

2)解:BF2GH;理由如下:

∵△ABE≌△DAF

∴∠ABEDAF

∵∠DAF+∠BAGBAD90°,

∴∠ABE+∠BAG90°,

∴∠BGFABE+∠BAG90°,

Rt△BFG中,GH是边BF的中线,

BF2GH

问题拓展:

解:∵tan∠ABE===tan∠DAF===,

∴∠ABEDAF

∵∠DAF+∠BAGBAD90°,

∴∠ABE+∠BAG90°,

∴∠AGB90°,

∴∠BGF90°,

Rt△BFG中,GH是边BF的中线,

BF2GH

∵四边形ABCD是矩形,

∴∠C90°,BCAD6,CDAB4,

CFCDDF1,

BF===,

GHBF=;

故答案为:.

25.解:(1)能;该同学错在ACEF并不是互相平分的,EF垂直平分AC,但未证明AC垂直平分EF,需要通过证明得出;

 

2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

ADBC

∴∠FACECA

EFAC的垂直平分线,

OAOC

∵在△AOFCOE中,

∴△AOF≌△COEASA).

EOFO

AC垂直平分EF

EFAC互相垂直平分.

∴四边形AECF是菱形.

26.解:(1)证明:∵ADAE

∴∠ADEAED

ED平分AEC

∴∠DECAED

∴∠ADEDEC

CEAD

 

2)四边形ADCE是正方形,理由如下:

ABACDBC 的中点,

ADBC,即ADC90°.

  ∵∠DAEBAC90°,

∴∠ADC+∠DAE180°.

AECD

∵∠BAC90°且DBC的中点,

ADCD

AEAD

AECD

∴四边形ADCE是平行四边形.

∵∠ADC90°,

∴四边形ADCE是正方形.

27.(1)解:∵四边形ABCD是正方形,

ABBCCDAD4,∠BD90°,∠ACBACDBACACD45°,

ACAB4,

∵4AF3AC12,

AF3,

CFACAF=,

EFAC

∴△CEF是等腰直角三角形,

EFCF=,CECF2,

Rt△AEF中,由勾股定理得:AE2,

∴△AEF的周长=AE+EF+AF2++32+4;

2)证明:延长GFBCM,连接AG,如图2所示:

CGMCFG是等腰直角三角形,

CMCGCGCF

BMDG

AFAB

AFAD

Rt△AFGRt△ADG中,,

∴Rt△AFG≌Rt△ADGHL),

FGDGBMFG

∵∠BACEAH45°,

∴∠BAEFAH

FGAC

∴∠AFH90°,

ABEAFH中,,

∴△ABE≌△AFHASA),

BEFH

BMBE+EMFGFH+HG

EMHG

ECEM+CMCMCGCF

ECHG+FC

 

28.解:延长AHBC相交于点M

∵▱ABCD

CDAB4,CDAB

CH2

DHCD2

CDAB

∴∠MHCMABMCHMBA

∴△MCH∽△MBA

∴=

MHAHBM2BC

∵△ABO为等边三角形

∴∠AOBOABOBA60°,OAAB4

∴∠DOHAOB60°

∴∠ODHOBA60°,∠OHDOAB60°

∴∠DOHODHOHD

∴△DOH是等边三角形

OHODDH2

MHAHOA+OH4+2=6,EMOE+OH+MH10

ODOE2

AEOAOE4﹣2=2

∴点EOA的中点

∵△ABO为等边三角形

BEOAABE30°

BEAE2

Rt△BEM中,BEM90°

BE2+EM2BM2

∴(2)2+102BM2

BM4

BC2

(2)∵△ABO为等边三角形

ABOB

由(1)知,AEOEOD

BDOB+OD

BDAB+AE

 

 

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