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八年级数学下册5.1矩形(1)同步练习(浙教版有答案)

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第5章 特殊平行四边形

5.1 矩形(1)

A 练就好基础         基础达标

1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( A )

A.对角线相等  B.对角相等

C.对边相等  D.对角线互相平分


2.如图所示,矩形的两条对角线的一个交角为60°,两条对角线的长度的和为24 cm,则这个矩形的一条较短边为( C )

A.12 cm  B.8 cm  C.6 cm  D.5 cm

3.若矩形的对角线长为4 cm,一条边长为2 cm,则此矩形的面积为( B )

A.8 cm2  B.4 cm2

C.2 cm2  D.8 cm2

4.如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,下列说法错误的是( C )

A.AB∥DC  B.AC=BD

C.AC⊥BD  D.OA=OC

第4题图

  第5题图

5.如图所示,EF过矩形ABCD对角线的交点O,且分别交AD,BC于点E,F.已知AB=3,BC=4,则图中阴影部分的面积是( A )

A.3  B.4  C.6  D.12


6.如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AO,AD的中点,若AB=6 cm,BC=8 cm,则EF的长是__2.5__ cm.

7.如图所示,在矩形ABCD中,CE⊥BD,点E为垂足,连结AE.若∠DCE∶∠ECB=3∶1,则∠ACE=__45°__. 

第7题图

   第8题图

8.如图所示,将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABC′D′的形状,并使其面积为长方形面积的(木条宽度忽略不计),则这个平行四边形的最小内角为__45__度.


解:过点C′作AB的垂线,垂足是点E,如图所示:

∵将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形木框ABC′D′的形状,并使其面积为矩形木框的,∴C′E=BC=BC′,

∴BC′=C′E,∴∠C′BE=∠D′AB=45°.

9.如图所示,已知矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O.

(1)求证:∠ACD=∠ABD.

(2)若矩形ABCD的面积为120 cm2,周长为46 cm,求AC的长.


解:(1)证明:在矩形ABCD中,易得∠DCB=∠ABC=90°,

OC=OB,

∴∠OBC=∠OCB.∴∠DCB-∠OCB=∠ABC-∠OBC,

∴∠ACD=∠ABD.

(2)在Rt△ABC中,AC==17.

10.如图所示,BD为矩形ABCD的一条对角线,延长BC至点E,使CE=BD,连结AE,若AB=1,∠AEB=15°,求AD的长度.

     

第10题图             第10题答图

解:如图,连结AC,

∵四边形ABCD是矩形,

∴AD∥BE,AC=BD,且∠ADB=∠CAD,

∴∠E=∠DAE.

又∵BD=CE,∴CE=CA,

∴∠E=∠CAE.

∵∠CAD=∠CAE+∠DAE=30°,

∴∠ADB=30°,∴BD=2AB=2,

∴AD==.

B 更上一层楼         能力提升

11.如图所示,四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形,点B在EF边上,若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1,S2,则S1,S2的大小关系是( A )


A.S1=S2       B.S1>S2

C.S1<S2  D.3S1=2S2

12.如图所示,△ABC是以AB为斜边的直角三角形,AC=4,BC=3,P为AB上一动点,且PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,则线段EF长度的最小值是__2.4__.

第12题图

    第13题图

13.如图所示,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E.若∠CAE=15°,则∠BOE的度数是__75°__.

14.2018·威海矩形ABCD与CEFG,如图放置,点B,C,E共线,点C,D,G共线,连结AF,取AF的中点H,连结GH.若BC=EF=2,CD=CE=1,求GH的长.

     

第14题图              第14题答图

解:如图,延长GH交AD于点P,

∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形,

∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°,AD=BC=2,GF=CE=1,

∴AD∥GF,∴∠GFH=∠PAH.

又∵H是AF的中点,∴AH=FH.

在△APH和△FGH中,

∴△APH≌△FGH(ASA),

∴AP=GF=1,GH=PH=PG,

∴PD=AD-AP=1.

∵CG=2,CD=1,∴DG=1,

∴GH=PG=×=.

15.如图所示,在矩形ABCD中,E,F分别是边BC,AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED.

求证:AE平分∠BAD.


证明:∵四边形ABCD是矩形,

∴∠B=∠C=∠BAD=90°,AB=CD, 

∴∠BEF+∠BFE=90°.

∵EF⊥ED,

∴∠BEF+∠CED=90°.

∴∠BFE=∠CED.

又∵EF=ED,

∴△EBF≌△DCE(AAS).

∴BE=CD.

∴BE=AB,∴∠BAE=∠BEA=45°.

∴∠EAD=45°.

∴∠BAE=∠EAD.

∴AE平分∠BAD.

C 开拓新思路         拓展创新

16.如图所示,四边形ABCD是矩形,P是矩形外一点,且PA=PB.

(1)求证:PD=PC.

(2)若△PAB的面积为S1,△PCD的面积为S2,则矩形ABCD的面积为________.


解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,

∴AD=BC,∠DAB=∠ABC=90°.

∵PA=PB,

∴∠PAB=∠PBA,∴∠PAD=∠PBC.

在△APD和△BPC中,∵

∴△APD≌△BPC(SAS),

∴PD=PC.

(2)2(S1-S2) 


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