2017-2018学年八年级数学下期末试卷(雅安市附答案和解释)

时间:2018-09-16 作者:佚名 试题来源:网络

2017-2018学年八年级数学下期末试卷(雅安市附答案和解释)

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2017-2018学年四川省雅安市八年级(下)期末数学试卷
一、选择题(每题2分,共24分)下列各题的四个选项中,只有一个答案是正确的
1.(2分)在△ABC中,点D,E分别是边AB,BC的中点.若DE=6,则AC=(  )
A.8 B.10 C.12 D.14
2.(2分)若代数式 有意义,则实数x的取值范围是(  )
A.x=0 B.x=3 C.x≠0 D.x≠3
3.(2分)将长度为3cm的线段向上平移20cm,所得线段的长度是(  )
A.3cm B.23cm C.20cm D.17cm
4.(2分)下列因式分解正确的是(  )
A.x2﹣4=(x+4)(x﹣4) B.x2﹣2x﹣15=(x+3)(x﹣5)
C.3mx﹣6my=3m(x﹣6y) D.2x+4=2(x+4)
5.(2分)甲、乙二人做某种机械零件,已知甲每小时比乙多做6个,甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等.求甲、乙每小时各做零件多少个.如果设乙每小时做x个,那么所列方程是(  )
A.  =  B.  =  C.  =  D.  =
6.(2分)如图,▱ABCD的周长为20cm,AC、BD相交于点O,OE⊥AC交AD于E,则△DCE的周长为(  )
 
A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm
7.(2分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知AD平分∠OAB,DB⊥AB,BC∥OA,点D的坐标为D(0, ),点B的横坐标为1,则点C的坐标是(  )
 
A.(0,2) B.(0,  + ) C.(0, ) D.(0,5)
8.(2分)已知不等式组 的解集为﹣1<x<1,则(a+1)(b﹣1)值为(  )
A.6 B.﹣6 C.3 D.﹣3
9.(2分)如图,在△ABE中,∠A=105°,AE的垂直平分线MN交BE于点C,且AB+BC=BE,则∠B的度数是(  )
 
A.45° B.60° C.50° D.55°
10.(2分)若关于x的分式方程 =2﹣ 的解为正数,则满足条件的正整数m的值为(  )
A.1,2,3 B.1,2 C.1,3 D.2,3
11.(2分)如图,四边形ABCD是平行四边形,点E是边CD上一点,且BC=EC,CF⊥BE交AB于点F,P是EB延长线上一点,下列结论:
①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BC=FB;④PF=PC.
其中正确结论的个数为(  )
 
A.1 B.2 C.3 D.4
12.(2分)如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形,那么称这个三角形为特异三角形.若△ABC是特异三角形,∠A=30°,∠B为钝角,则符合条件的∠B有(  )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
 
二、填空题(请将答案直接写在相应题的横线上,每小题3分,共15分)
13.(3分)不等式x+8<4x﹣1的解集是     .
14.(3分)等腰三角形的两边长是3和7,则这个三角形的周长等于     .
15.(3分)一个正n边形的内角是外角的2倍,则n=     .
16.(3分)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转一定角度后得△EDC,点D在AB边上,斜边DE交AC于点F,则图中阴影部分面积为     .
 
17.(3分)已知关于x的分式方程 ﹣ =0无解,则a的值为     .
 
三、解答题(本题共8个小题,满分61分)解答应写出必要的文字说明或演算过程
18.(11分)(1)因式分解:a4﹣1
(2)先化简,再求值: ÷(x﹣2+ ),其中x= ﹣1.
19.(7分)在关于x,y的方程组 中,若未知数x,y满足x+y>0,求m的取值范围,并在数轴上表示出来.
20.(7分)解方程:  + = .
21.(7分)如图,△ABC中任意一点P(x,y)经平移后对应点为P1(x+5,y+3),将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1.其中A、B、C的坐标分别为A(﹣2,3),B(﹣4,﹣1),C(2,0).
(1)画出△A1B1C1;
(2)求A1,B1,C1的坐标;
(3)写出平移的过程.
 
22.(8分)如图,在平行四边形ABCD中,∠ABD的平分线BE交AD于点E,∠CDB的平分线DF交BC于点F.求证:四边形DEBF是平行四边形.
 
23.(10分)某商场计划购进冰箱、彩电进行销售,已知冰箱的进货单价比彩电的进货单价多400元,若商场用80 000元购进冰箱的数量与用64 000元购进彩电的数量相等.该商场冰箱、彩电的售货单价如下表:
种类 冰箱 彩电
售价(元/台) 2500 2000
(1)分别求出冰箱、彩电的进货单价.
(2)为了满足市场需求,商场决定用不超过90 000元的资金采购冰箱、彩电共50台.若该商场将购进的冰箱、彩电共50台全部售出,获得利润为w元,为了使商场的利润最大,该商场该如何购进冰箱、彩电,最大利润是多少?
24.(11分)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,AB=AD=10cm,BC=8cm.点P从点A出发,以每秒3cm的速度沿折线ABCD运动,点Q从点D出发,以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动.已知动点P,Q同时出发,当点Q运动到点C时,P、Q运动停止,设运动时间为t秒.
 
(1)求CD的长;
(2)t为何值时?四边形PBQD为平行四边形;
(3)在点P,点Q的运动过程中,当0<t≤ 和6<t≤8时,是否存在某一时刻,使得△BPQ的面积为20cm2?若存在,请求出所有满足条件的t的值;若不存在,请说明理由.
 
 

2017-2018学年四川省雅安市八年级(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题(每题2分,共24分)下列各题的四个选项中,只有一个答案是正确的
1.(2分)在△ABC中,点D,E分别是边AB,BC的中点.若DE=6,则AC=(  )
A.8 B.10 C.12 D.14
【分析】根据三角形中位线定理计算即可.
【解答】解:∵点D,E分别是边AB,BC的中点.
∴AC=2DE=12,
故选:C.
【点评】本题考查的是三角形中位线定理,掌握三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半是解题的关键.
 
2.(2分)若代数式 有意义,则实数x的取值范围是(  )
A.x=0 B.x=3 C.x≠0 D.x≠3
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式解不等式即可.
【解答】解:由题意得,x﹣3≠0,
解得,x≠3,
故选:D.
【点评】本题考查的是分式有意义的条件,掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键.
 
3.(2分)将长度为3cm的线段向上平移20cm,所得线段的长度是(  )
A.3cm B.23cm C.20cm D.17cm
【分析】根据平移的基本性质,可直接求得结果.
【解答】解:平移不改变图形的形状和大小,故线段的长度不变,长度是3cm.
故选:A.
【点评】本题考查平移的基本性质:①平移不改变图形的形状和大小;②经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等.
 
4.(2分)下列因式分解正确的是(  )
A.x2﹣4=(x+4)(x﹣4) B.x2﹣2x﹣15=(x+3)(x﹣5)
C.3mx﹣6my=3m(x﹣6y) D.2x+4=2(x+4)
【分析】A、直接利用平方差公式求解即可求得答案;
B、利用十字相乘法分解因式的方法求解即可求得答案;
C、直接利用提取公因式的方法分解即可求得答案;
D、直接利用提取公因式的方法分解即可求得答案.
【解答】解:A、x2﹣4=(x+2)(x﹣2);故本选项错误;
B、x2﹣2x﹣15=(x+3)(x﹣5);故本选项正确;
C、3mx﹣6my=3m(x﹣2y);故本选项错误;
D、2x+4=2(x+2);故本选项错误.
故选:B.
【点评】此题考查了十字相乘法分解因式以及提公因式与公式法分解因式的知识.注意分解因式时,要先提公因式,再利用公式法分解.
 
5.(2分)甲、乙二人做某种机械零件,已知甲每小时比乙多做6个,甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等.求甲、乙每小时各做零件多少个.如果设乙每小时做x个,那么所列方程是(  )
A.  =  B.  =  C.  =  D.  =
【分析】根据甲乙的工作时间,可列方程.
【解答】解:设乙每小时做x个,甲每小时做(x+6)个,
根据甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等,得
 = ,
故选:B.
【点评】本题考查了分式方程的应用,找到关键描述语,找到合适的等量关系是解决问题的关键.
 
6.(2分)如图,▱ABCD的周长为20cm,AC、BD相交于点O,OE⊥AC交AD于E,则△DCE的周长为(  )
 
A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm
【分析】根据平行四边形的性质得出AD=BC,AO=OC,AB=CD,求出AD+CD=10cm,根据线段垂直平分线性质求出AE=EC,求出∴△DCE的周长为DE+EC+CD=AD+CD,代入求出即可.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AO=OC,AB=CD,
∵▱ABCD的周长为20cm,
∴AD+CD=10cm,
∵AO=OC,OE⊥AC,
∴AE=EC,
∴△DCE的周长为DE+EC+CD=DE+AE+CD=AD+CD=10cm,
故选:D.
【点评】本题考查了平行四边形性质和线段垂直平分线性质,关键是求出AD+CD的长和求出△DCE的周长=AD+CD.
 
7.(2分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知AD平分∠OAB,DB⊥AB,BC∥OA,点D的坐标为D(0, ),点B的横坐标为1,则点C的坐标是(  )
 
A.(0,2) B.(0,  + ) C.(0, ) D.(0,5)
【分析】先根据D点坐标求出OD的长,再由角平分线的性质得出BD的长,根据点B的横坐标为1可知BC=1,再由勾股定理即可得出CD的长,进而可得出结论.
【解答】解:∵点D的坐标为D(0, ),
∴OD= ,
∵AD平分∠OAB,DB⊥AB,BC∥OA,
∴BD=OD= ,∠BCD=90°,
∵点B的横坐标为1,
∴BC=1,
在Rt△BCD中,
∵CD2+BC2=BD2,即CD2+12=( )2,解得CD= ,
∴OC=OD+CD= + ,
∴C(0,  + ).
故选:B.
【点评】本题考查的是勾股定理,熟知在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.
 
8.(2分)已知不等式组 的解集为﹣1<x<1,则(a+1)(b﹣1)值为(  )
A.6 B.﹣6 C.3 D.﹣3
【分析】先解不等式,求出解集,然后根据题中已告知的解集,进行比对,从而得出两个方程,解答即可求出a、b.
【解答】解:不等式组 ,
解得, ,
即,2b+3<x< ,
∵﹣1<x<1,
∴2b+3=﹣1, ,
得,a=1,b=﹣2;
∴(a+1)(b﹣1)=2×(﹣3)=﹣6.
故选:B.
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法,求不等式的公共解,要遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了.
 
9.(2分)如图,在△ABE中,∠A=105°,AE的垂直平分线MN交BE于点C,且AB+BC=BE,则∠B的度数是(  )
 
A.45° B.60° C.50° D.55°
【分析】利用线段垂直平分线的性质知∠E=∠EAC AC=CE,等量代换得AB=CE=AC,利用三角形的外角性质得∠B=∠ACB=2∠E,从而根据三角形的内角和计算.
【解答】解:连接AC
∵CM⊥AE
∴∠E=∠EAC AC=CE(线段垂直平分线的性质)
∵AB+BC=BE(已知)
BC+CE=BE
∴AB=CE=AC(等量代换)
∴∠B=∠ACB=2∠E(外角性质)
∵∠B+∠E+105°=180°(三角形内角和)
∴∠B+ ∠B+105°=180°
解得∠B=50°.
故选:C.
 
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质.
 
10.(2分)若关于x的分式方程 =2﹣ 的解为正数,则满足条件的正整数m的值为(  )
A.1,2,3 B.1,2 C.1,3 D.2,3
【分析】根据等式的性质,可得整式方程,根据解整式方程,可得答案.
【解答】解:等式的两边都乘以(x﹣2),得
x=2(x﹣2)+m,
解得x=4﹣m,
x=4﹣m≠2,
由关于x的分式方程 =2﹣ 的解为正数,得
m=1,m=3,
故选:C.
【点评】本题考查了分式方程的解,利用等式的性质得出整式方程是解题关键,注意要检验分式方程的根.
 
11.(2分)如图,四边形ABCD是平行四边形,点E是边CD上一点,且BC=EC,CF⊥BE交AB于点F,P是EB延长线上一点,下列结论:
①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BC=FB;④PF=PC.
其中正确结论的个数为(  )
 
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案.
【解答】证明:∵BC=EC,
∴∠CEB=∠CBE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC∥AB,
∴∠CEB=∠EBF,
∴∠CBE=∠EBF,
∴①BE平分∠CBF,正确;
∵BC=EC,CF⊥BE,
∴∠ECF=∠BCF,
∴②CF平分∠DCB,正确;
∵DC∥AB,
∴∠DCF=∠CFB,
∵∠ECF=∠BCF,
∴∠CFB=∠BCF,
∴BF=BC,
∴③正确;
∵FB=BC,CF⊥BE,
∴B点一定在FC的垂直平分线上,即PB垂直平分FC,
∴PF=PC,故④正确.
故选:D.
 
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识,正确应用等腰三角形的性质是解题关键.
 
12.(2分)如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形,那么称这个三角形为特异三角形.若△ABC是特异三角形,∠A=30°,∠B为钝角,则符合条件的∠B有(  )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】如图1中,当BD是特异线时,分三种情形讨论,如图2中,当AD是特异线时,AB=BD,AD=DC根据等腰三角形性质即可解决问题,当CD为特异线时,不合题意.
【解答】解:如图2中,
 
当BD是特异线时,如果AB=BD=DC,则∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°+15°=135°,
如果AD=AB,DB=DC,则∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°,
如果AD=DB,DC=CB,则ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°(不合题意舍弃).
如图3中,当AD是特异线时,AB=BD,AD=DC,则∠ABC=180°﹣20°﹣20°=140°
 
当CD为特异线时,不合题意.
∴符合条件的∠ABC的度数为135°或112.5°或140°
符合条件的∠B有3个,
故选:C.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识,解题的关键是理解题意,学会分类讨论,学会画出图形,借助于图形解决问题,学会利用方程去思考问题,属于中考创新题目.
 
二、填空题(请将答案直接写在相应题的横线上,每小题3分,共15分)
13.(3分)不等式x+8<4x﹣1的解集是 x>3 .
【分析】依次移项,合并同类项,系数化为1,即可得到答案.
【解答】解:移项得:x﹣4x<﹣1﹣8,
合并同类项得:﹣3x<﹣9,
系数化为1得:x>3.
故答案为:x>3.
【点评】本题考查解一元一次不等式,掌握解一元一次不等式得步骤是解决本题的关键.
 
14.(3分)等腰三角形的两边长是3和7,则这个三角形的周长等于 17 .
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和7,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.
【解答】解:分两种情况:
当腰为3时,3+3<7,所以不能构成三角形;
当腰为7时,7+4>7,所以能构成三角形,周长是:7+7+3=17.
故答案为:17.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也是解题的关键.
 
15.(3分)一个正n边形的内角是外角的2倍,则n= 6 .
【分析】首先设这个正n边形的一个外角为x°,则其内角为(180﹣x)°,由一个正n边形的一个内角是它的外角的2倍,即可得方程180﹣x=2x,解此方程它的外角的度数,继而求得答案.
【解答】解:设这个正n边形的一个外角为x°,则其内角为(180﹣x)°,
∵此正n边形的一个内角是它的外角的2倍,
∴180﹣x=2x,
解得:x=60,
∵它的外角为: ,
∴n= =6.
故答案为:6
【点评】此题考查了多边形的内角与外角的性质.注意方程思想的应用是解此题的关键.
 
16.(3分)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转一定角度后得△EDC,点D在AB边上,斜边DE交AC于点F,则图中阴影部分面积为   .
 
【分析】先根据已知条件求出AC的长及∠B的度数,再根据图形旋转的性质及等边三角形的判定定理判断出△BCD的形状,进而得出∠DCF的度数,由直角三角形的性质可判断出DF是△ABC的中位线,由三角形的面积公式即可得出结论.
【解答】解:∵△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,
∴∠B=60°,AB=2BC=4,AC=2 ,
∵△EDC是△ABC旋转而成,
∴BC=CD=BD= AB=2,
∵∠B=60°,
∴△BCD是等边三角形,
∴∠BCD=60°,
∴∠DCF=30°,∠DFC=90°,
即DE⊥AC,
∴DE∥BC,
∵BD= AB=2,
∴DF是△ABC的中位线,
∴DF= BC= ×2=1,CF= AC= ×2 = ,
∴S阴影= DF×CF= × = .
【点评】考查的是图形旋转的性质及直角三角形的性质、三角形中位线定理及三角形的面积公式,熟知图形旋转的性质是解答此题的关键,即:①对应点到旋转中心的距离相等;②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;③旋转前、后的图形全等.
 
17.(3分)已知关于x的分式方程 ﹣ =0无解,则a的值为 0、 或﹣1 .
【分析】根据题意得出方程无解时x的值,注意多种情况,依次代入得出a的值.
【解答】解:去分母得ax﹣2a+x+1=0.
∵关于x的分式方程 ﹣ =0无解,
(1)x(x+1)=0,
解得:x=﹣1,或x=0,
当x=﹣1时,ax﹣2a+x+1=0,即﹣a﹣2a﹣1+1=0,
解得a=0,
当x=0时,﹣2a+1=0,
解得a= .
(2)方程ax﹣2a+x+1=0无解,
即(a+1)x=2a﹣1无解,
∴a+1=0,a=﹣1.
故答案为:0、 或﹣1.
【点评】本题主要考查了分式方程无解的情况,需要考虑周全,不要漏解,难度适中.
 
三、解答题(本题共8个小题,满分61分)解答应写出必要的文字说明或演算过程
18.(11分)(1)因式分解:a4﹣1
(2)先化简,再求值: ÷(x﹣2+ ),其中x= ﹣1.
【分析】(1)根据因式分解的方法可以解答本题;
(2)根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子,然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题.
【解答】解:(1)a4﹣1
=(a2﹣1)(a2+1)
=(a+1)(a﹣1)(a2+1);
(2) ÷(x﹣2+ )
=
=
= ,
当x= ﹣1时,原式= = .
【点评】本题考查分式的化简求值、分解因式,解答本题的关键是明确分式化简求值和因式分解的方法.
 
19.(7分)在关于x,y的方程组 中,若未知数x,y满足x+y>0,求m的取值范围,并在数轴上表示出来.
【分析】由①+②求出x+y=1﹣ ,得出不等式,求出不等式的解集即可.
【解答】解:
∵由①+②,得3x+3y=3﹣m,
∴x+y=1﹣ ,
∵x+y>0,
∴1﹣ >0,
∴m<3,
在数轴上表示如下: .
【点评】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解、解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集,能得出关于m的不等式是解此题的关键.
 
20.(7分)解方程:  + = .
【分析】根据等式的性质,可得整式方程,根据解整式方程,可得答案.
【解答】解:两边都乘(x+3)(x﹣3),得
x+3(x﹣3)=x+3,
解得x=4,
经检验:x=4是原分式方程的根.
【点评】本题考查了解分式方程,利用等式的性质得出整式方程是解题关键,要检验方程的根.
 
21.(7分)如图,△ABC中任意一点P(x,y)经平移后对应点为P1(x+5,y+3),将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1.其中A、B、C的坐标分别为A(﹣2,3),B(﹣4,﹣1),C(2,0).
(1)画出△A1B1C1;
(2)求A1,B1,C1的坐标;
(3)写出平移的过程.
 
【分析】(1)直接利用对应点的变化得出平移过程进而得出答案;
(2)利用所画图形得出各点坐标;
(3)利用对应点变化得出平移过程.
【解答】解;(1)如图所示:

(2)A1的坐标为:(﹣2+5,3+3),B1点坐标为(﹣4+5,﹣1+3)、C1点坐标为(2+5,0+3),
故A1(3,6),B1(1,2),C1(7,3);

(3)平移的过程是:先向右平移5个单位,再向上平移3个单位.
 
【点评】此题主要考查了平移变换,正确得出对应点平移过程是解题关键.
 
22.(8分)如图,在平行四边形ABCD中,∠ABD的平分线BE交AD于点E,∠CDB的平分线DF交BC于点F.求证:四边形DEBF是平行四边形.
 
【分析】根据平行四边形性质和角平分线定义求出∠FDB=∠EBD,推出DF∥BE,根据平行四边形的判定判断即可.
【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠CDB=∠ABD,
∵DF平分∠CDB,BE平分∠ABD,
∴∠FDB= ∠CDB,∠EBD= ∠ABD,
∴∠FDB=∠EBD,
∴DF∥BE,
∵AD∥BC,即ED∥BF,
∴四边形DEBF是平行四边形.
【点评】本题考查了角平分线定义,平行四边形的性质和判定等的应用,关键是推出DF∥BE,主要检查学生能否运用定理进行推理.
 
23.(10分)某商场计划购进冰箱、彩电进行销售,已知冰箱的进货单价比彩电的进货单价多400元,若商场用80 000元购进冰箱的数量与用64 000元购进彩电的数量相等.该商场冰箱、彩电的售货单价如下表:
种类 冰箱 彩电
售价(元/台) 2500 2000
(1)分别求出冰箱、彩电的进货单价.
(2)为了满足市场需求,商场决定用不超过90 000元的资金采购冰箱、彩电共50台.若该商场将购进的冰箱、彩电共50台全部售出,获得利润为w元,为了使商场的利润最大,该商场该如何购进冰箱、彩电,最大利润是多少?
【分析】(1)设彩电的进货单价为x元/台,则冰箱的进货单价为(400+x)元/台,根据数量=总价÷单价结合商场用80000元购进冰箱的数量与用64000元购进彩电的数量相等,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论;
(2)设该商场购进冰箱t台,则购进彩电(50﹣t)台,根据总价=单价×数量结合进货总价不超过90000元,即可得出关于t的一元一次不等式,解之即可得出t的取值范围,再根据总利润=单台利润×销售数量即可找出w关于t的函数关系式,利用一次函数的性质即可解决最值问题.
【解答】解:(1)设彩电的进货单价为x元/台,则冰箱的进货单价为(400+x)元/台,
根据题意得:  = ,
解得:x=1600,
经检验,x=1600是原分式方程的解,且符合题意,
∴x+400=1600+400=2000.
答:冰箱的进货单价为2000元/台、彩电的进货单价为1600元/台.
(2)设该商场购进冰箱t台,则购进彩电(50﹣t)台.
∵进货总价不超过90000元,
∴2000t+1600(50﹣t)≤90000,
解得:t≤25.
∵t为非负整数,
∴0≤t≤25.
根据题意得:w=(2500﹣2000)t+(2000﹣1600)(50﹣t)=100t+20000,
∵k=100>0,
∴w随t的增大而增大,
∴t=25时,w取最大值,最大值=100×25+20000=22500.
答:该商场购进冰箱、彩电各25台时,商场的利润最大,最大利润为22500元.
【点评】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及分式方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出分式方程;(2)根据总利润=单台利润×销售数量找出w关于t的函数关系式.
 
24.(11分)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,AB=AD=10cm,BC=8cm.点P从点A出发,以每秒3cm的速度沿折线ABCD运动,点Q从点D出发,以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动.已知动点P,Q同时出发,当点Q运动到点C时,P、Q运动停止,设运动时间为t秒.
 
(1)求CD的长;
(2)t为何值时?四边形PBQD为平行四边形;
(3)在点P,点Q的运动过程中,当0<t≤ 和6<t≤8时,是否存在某一时刻,使得△BPQ的面积为20cm2?若存在,请求出所有满足条件的t的值;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)过点A作AM⊥CD于M,根据勾股定理求出DM,结合图形计算即可;
(2)根据题意用t表示出PB、DQ,根据对边平行且相等的四边形是平行四边形列出方程,解方程即可;
(3)分点P在线段AB上、点P在线段CD上(P在Q的右侧、P在Q的左侧)两种情况,根据三角形的面积公式计算即可.
【解答】解:(1)过点A作AM⊥CD于M,
则四边形AMCB为矩形,
∴AM=BC=8,CM=AB=10,
根据勾股定理,DM= =6,
∴CD=16;
(2)当四边形PBQD为平行四边形时,点P在AB上,点Q在DC上,
由题知:AP=3t,BP=10﹣3t,DQ=2t,
∴10﹣3t=2t,
解得t=2;
(3)①当点P在线段AB上时,到B点时是 秒,即0<t≤ 时,
BP=10﹣3t,BC=8,
∴ ×(10﹣3t)×8=20,
解得,t= ;
②当点P在线段CD上时,P点与Q点相遇时,
则2t+3t=10+8+16,
解得,t= ,即相遇时间是 ,
若点P在Q的右侧,即6≤t≤ ,
则PQ=34﹣(2t+3t)=34﹣5t,
∴ ×(34﹣5t)×8=20,
解得:t= <6(不合题意,舍去);
若点P在Q的左侧,即 <t≤8,
则PQ=2t+3t﹣34=5t﹣34,
∴ ×(5t﹣34)×8=20,
解得:t=
∴综合得出满足条件的t值存在,其值分别为t= 或 .
 
【点评】本题考查的是平行四边形的判定、三角形的面积、矩形的判定和性质,掌握矩形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键.

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