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二次函数全章教案(新人教版九年级数学下)

第一单元(26章)二次函数
第一课时:26.1 二次函数(1)
教学目标:
(1)能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式,并求出函数的自变量的取值范围。
(2)注重学生参与,联系实际,丰富学生的感性认识,培养学生的良好的学习习惯
教学重点:能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式,并求出函数的自变量的取值范围。
教学难点:求出函数的自变量的取值范围。
教学过程:
一、问题引新
    1.设矩形花圃的垂直于墙(墙长18)的一边AB的长为xm,先取x的一些值,算出矩形的另一边BC的长,进而得出矩形的面积ym2.试将计算结果填写在下表的空格中,
AB长x(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
BC长(m)    12     
面积y(m2)    48     
    2.x的值是否可以任意取?有限定范围吗?
    3.我们发现,当AB的长(x)确定后,矩形的面积(y)也随之确定, y是x的函数,试写出这个函数的关系式,教师可提出问题,(1)当AB=xm时,BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?                 y=x(20-2x)
二、提出问题,解决问题
1、引导学生看书第二页  问题一、二
2、观察  概括
y=6x2    d= n /2 (n-3)   y= 20 (1-x)2
   以上 函数关系式有什么共同特点? (都是含有二次项)
   3、二次函数定义:形如y=ax2+bx+c  (a、b、、c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数,a叫做二次函数的系数,b叫做一次项的系数,c叫作常数项.
4、课堂练习
(1) (口答)下列函数中,哪些是二次函数?
    (1)y=5x+1    (2)y=4x2-1
    (3)y=2x3-3x2    (4)y=5x4-3x+1
(2).P3练习第1,2题。
五、小结     叙述二次函数的定义.
六、作业:课本第14页  习题1.2
七、板书

第二课时:26.1 二次函数(2)
教学目标:
1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象,理解抛物线的有关概念。
2、使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。
教学重点:使学生理解抛物线的有关概念,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象
教学难点:用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质。
教学过程:
一、问题引新
    1,同学们可以回想一下,一次函数的性质是什么?
    2.我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?
    3.一次函数的图象是什么?二次函数的图象是什么?
二、学习新知
1、 例1、画二次函数y=2x2 与y=2x2的图象。(有学生自己完成)
解:(1)列表:在x的取值范围内列出函数对应值表:  
(2)描点 (3)连线
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 9 4 1 0 1 4 9 …
找一名学生板演画图
提问:观察这个函数的图象,它有什么特点? (让学生观察,思考、讨论、交流,)
2、归纳:
抛物线概念:像这样的曲线通常叫做抛物线。抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点坐标(0,0)
3、运用新知
   (1).观察并比较两个图象,你发现有什么共同点?又有什么区别?
(2).课件出示:在同一直角坐标系中, y=2x2与y=-2x2的图象,观察并比较
   (3).将所画的四个函数的图象作比较,你又能发现什么?(课件出示)
      让学生观察y=x2、y=2x2的图象,填空;
    当a>0时,抛物线y=ax2开口______,在对称轴的左边,曲线自左向右______;在对称轴的右边,曲线自左向右______,______是抛物线上位置最低的点。
    当X<0时,函数值y随着x的增大而______,当X>O时,函数值y随X的增大而______;当X=______时,函数值y=ax2 (a>0)取得最小值,最小值y=______
三、总结:函数y=ax2的图象是一条抛物线,它关于y轴对称,它的顶点坐标是(0,0)。
四、课堂练习:练习册P  练习1、2、3、4。
五、作业:    1.画出函数y=1/2x2的图象?
         2.写出函数y=ax2具有哪些性质?
第三课时:二次函数(3)
教学目标:
1、使学生能利用描点法正确作出函数y=ax2+b的图象。
2、让学生经历二次函数y=ax2+b性质探究的过程,理解二次函数y=ax2+b的性质及它与函数y=ax2的关系。
教学重点:会用描点法画出二次函数y=ax2+b的图象,理解二次函数y=ax2+b的性质,理解函数y=ax2+b与函数y=ax2的相互关系。
教学难点:正确理解二次函数y=ax2+b的性质,理解抛物线y=ax2+b与抛物线y=ax2的关系。
教学过程:
一、提出问题导入新课
1.二次函数y=2x2的图象具有哪些性质?
2.猜想二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?
二、学习新知
1、问题1:画出函数y=2x2和函数y=2x2+1的图象,并加以比较
     问题2,你能在同一直角坐标系中,画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象吗?
同学试一试,教师点评。
     问题3:当自变量x取同一数值时,这两个函数的函数值(既y)之间有什么关系?反映在图象上,相应的两个点之间的位置又有什么关系?
    让学生观察两个函数图象,说出函数y=2x2+1与y=2x2的图象开口方向、对称轴相同,顶点坐标,函数y=2x2的图象的顶点坐标是(0,0),而函数y=2x2+1的图象的顶点坐标是(0,1)。
    师:你能由函数y=2x2的性质,得到函数y=2x2+1的一些性质吗?
    小组相互说说(一人记录,其余组员补充)
  2、小组汇报:分组讨论这个函数的性质并归纳:当x<0时,函数值y随x的增大而减小;当x>0时,函数值y随x的增大而增大,当x=0时,函数取得最小值,最小值y=1。
3、做一做
在同一直角坐标系中画出函数y=2x2-2与函数y=2x2的图象,再作比较,说说它们有什么联系和区别?
三、小结  1、在同一直角坐标系中,函数y=ax2+k的图象与函数y=ax2的图象具有什么关系?     2.你能说出函数y=ax2+k具有哪些性质?
四、作业:  在同一直角坐标系中,画出  (1)y=-2x2与y=-2x2-2;的图像
五:板书

第四课时26.1  二次函数(4)
教学目标:
1.使学生能利用描点法画出二次函数y=a(x—h)2的图象。
 2.让学生经历二次函数y=a(x-h)2性质探究的过程,理解其性质,理解二次函数
y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系。
重点:会用画出二次函数y=a(x-h)2的图象,理解其性质,理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系。
难点:理解二次函数y=a(x-h)2的性质,理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系。
教学过程:
一、提出问题导入新课
1.在同一直角坐标系内,画出二次函数y=-12x2,y=-12x2-1的图象,并回答:
  (1)两条抛物线的位置关系。
  (2)说出它们所具有的公共性质。  
2.二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系?
二、学习新知
1、探究新知:学生画出二次函数y=2(x-1)2和y=2x2的图象,并加以观察
       教师巡视、指导。分组讨论,交流合作
  2.、学生汇报:函数y=2(x-1)2与y=2x2的图象,开口方向、对称轴和顶点坐标;函数y=2(x一1)2的图象可以看作是函数y=2x2的图象怎样平移得到的。
   师:由函数y=2x2的性质总结函数y=2(x-1)2的性质
 3.让学生完成以下填空:
    当x______时,函数值y随x的增大而减小;当x______时,函数值y随x的增大而增大;当x=______时,函数取得最______值y=______。
4、做一做
在同一直角坐标系中画出函数y=2(x+1)2与函数y=2x2的图象,并比较它们的联系和区别吗?
    让学生讨论、交流,举手发言,归纳:在y=2(x+1)2中,当x<-1时,函数值y随x的增大而减小;当x>-1时,函数值y随x的增大而增大;当x=一1时,函数取得最小值,最小值y=0。  
 4、课堂练习: P11练习1、2、3。
三、小结:谈谈本节课的收获和体会。
四、作业
    1.P19习题26.2  1(2)。
五、板书 
第五课时26.1  二次函数(5)
 教学目标:
1.使学生理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。
2.会确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3.让学生经历函数y=a(x-h)2+k性质的探索过程,理解函数y=a(x-h)2+k的性质。
重点:,理解函数y=a(x-h)2+k的性质以及图象与y=ax2的图象之间的关系,
难点:正确理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x-h)2+k的性质
一、提出问题导入新课
1.函数y=2x2+1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?
  (函数y=2x2+1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的)
2.函数y=2(x-1)2+1图象与函数y=2(x-1)2图象有什么关系?函数y=2(x-1)2+1有哪些性质?这就是本节要学习得内容。
二、学习新知
1、画图:在同一直角坐标系中画出函数y=2(x-1)2与y=2x2   y=2(x-1)2+1的图象,看看它们之间有何的关系? 在学生画函数图象时,教师巡视指导;
出示例3:你能发现函数y=2(x-1)2+1有哪些性质?
教师可组织学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,
函数y=2(x-1)2+1的图象可以看成是将函数y=2(x-1)2的图象向上平称1个单位得到的,也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。
当x<1时,函数值y随x的增大而减小,当x>1时,函数值y随x的增大而增大;当x=1时,函数取得最小值,最小值y=1。
2:出示4  (P10)
3、课堂练习:不画图像说说函数y=2(x-1)2-2与y=2(x-1)2的异同点
三、小结
1.通过本节课的学习,你学到了哪些知识?还存在什么困惑?
2.谈谈你的学习体会。
四、作业:
1.巳知函数y=-12x2、y=-12x2-1和y=-12(x+1)2-1
(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象;
(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(3)试说明:分别通过怎样的平移,可以由抛物线y=-12x2得到抛物线y=-12x2-1和抛物线y=12(x+1)2-1;
思考:函数y=2(x-1)2+k的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?
五、板书:
第六课时26.1  二次函数(6)
  教学目标:
1.使学生掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象。
2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3.让学生经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程,理解二次函数y=ax2+bx+c的性质。
重点:用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标。
难点:理解二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x=-b2a、(-b2a,4ac-b24a)是教学的难点。
教学过程: 
一、提出问题导入新课
  1.你能说出函数y=-4(x-2)2+1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?具有哪些性质?
  2.函数y=-4(x-2)2+1图象与函数y=-4x2的图象有什么关系?
  3.不画出图象,你能直接说出函数y=-1/2x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?通过今天的学习你就明白了
   二、学习新知
 1、 思考: 像函数 y=-4(x-2)2+1很容易说出图像的顶点坐标,函数y=-1/2x2-6x+21能画成y=a(x-h)2+k 这样的形式吗?
2、 师生合作探索: y=-1/2x2-6x+21    变成    y=a(x-h)2+k的过程
3、做一做
   (1). 通过配方变形,说出函数y=-2x2+8x-8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?
    在学生做题时,教师巡视、指导; 让学生总结配方的方法;思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系?这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系?
    以上讲的,都是给出一个具体的二次函数,来研究它的图象与性质。那么,对于任意一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗?   
教师组织学生分组讨论,各组选派代表发言,全班交流,汇报结果:
y=ax2+bx+c(配方变形的过程略)
    当a>0时,开口向上,当a<0时,开口向下。
对称轴是x=-b/2a,顶点坐标是(-b2a,4ac-b24a)
(2)、 P12练习第1、2、3、4题
4、待定系数法求二次函数解析式(引导学生自学看书12页)
5、练一练   P13练习第1、2
三、小结: 通过本节课的学习,你学到了什么知识?有何体会?
四、作业: 
1.填空:
(1)抛物线y=x2-2x+2的顶点坐标是_______;
(2)抛物线y=2x2-2x-52的开口_______,对称轴是_______;
(3)二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3,则a=_______.
2.画出函数y=2x2-3x的图象,说明这个函数具有哪些性质。
3. 通过配方,写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(1)y=3x2+2x;   (2)y=-x2-2x
(3)y=-2x2+8x-8   (4)y=12x2-4x+3
4.求二次函数y=mx2+2mx+3(m>0)的图象的对称轴,并说出该函数具有哪些性质
五:板书
 

第七课时26.2 用函数的观点看一元二次方程(1)
教学目标:
1.通过探索,使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。
2.使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题,提高学生用数学的意识。
3.进一步培养学生综合解题能力,渗透数形结合思想。
重点:使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系,能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题。
难点:进一步培养学生综合解题能力,渗透数形结合的思想。.
教学过程:
一、引导学生看书16页 导入新课
   像书中这样的问题,我们常常会遇到,如拱桥跨度、拱高计算等,利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题,具有很现实的意义。本节课,我和同学们共同研究,尝试解决以下几个问题。
二、探索问题,学习新知
1、问题1:某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内,柱高为0.8m。水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,如图(1)所示。
根据设计图纸已知:如图(2)中所示直角坐标系中,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是
y=-x2+2x+45。
(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?
(2)如果不计其他的因素,那么水池至少为多少时,才能使喷出的水流都落在水池内?
思路如下:
(1).让学生讨论、交流,如何将文学语言转化为数学语言,得出问题(1)就是求函数y=-x2+2x+45最大值,问题(2)就是求如图(2)B点的横坐标; 
(2)学生解答,教师巡视指导;一两位同学板演,教师点评。
2、出示例题:画出函数y=x2-x-34的图象。  如图(4)所示。
教师引导学生观察函数图象,得到图象与x轴交点的坐标分别是(-12,0)和(32,0)。
让学生完成解答。教师巡视指导并讲评。
教师组织学生分组讨论、交流,各组选派代表发表意见,全班交流,从“形”的方面看,函数y=x2-x-34的图象与x轴交点的横坐标,即为方程x2-x-34=0的解;从“数”的方面看,当二次函数y=x2-x-34的函数值为0时,相应的自变量的值即为方程x2-x-34=0的解。更一般地,函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c=0的解;当二次函数y=ax2+bx+c的函数值为0时,相应的自变量的值即为方程ax2+bx+c=0的解,这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。
3、应用新知
    根据图(4)象回答下列问题。
    (1)当x取何值时,y<0?当x取何值时y>0,?
    (当-12<x<32时,;当x<-12或x>32时,y>0)
  y<0 即x2-x-34<0的解集是什么? y>0 即x2-x-34>0的解集是什么?)
    想一想:二次函数与一元二次不等式有什么关系?
    让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系,讨论、交流:
    (1)从“形”的方面看,二次函数y=ax2+bJ+c在x轴上方的图象上的点的横坐标,即为一元二次不等式ax2+bx+c>0的解;在x轴下方的图象上的点的横坐标.即为一元二次不等式ax2+bx+c<0的解。
    (2)从“数”的方面看,当二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于0时,相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2+bx+c>0的解;当二次函数y=ax2+bx+c的函数值小于0时,相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2+bc+c<0的解。这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系。
三、小结:
 1.通过本节课的学习,你有什么收获?有什么困惑?
 2.若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴无交点,试说明,元二次方程
ax2+bx+c=0和一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0的解的情况。
四、作业:
1. 二次函数y=x2-3x-18的图象与x轴有两交点,求两交点间的距离。
2.已知函数y=x2-x-2。
    (1)先确定其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,再画出图象
    (2)观察图象确定:x取什么值时,①y=0,②y>0;③y<0。
五、板书:


第八课时:26.2 用函数的观点看一元二次方程(2)
教学目标:
    1.复习巩固用函数y=ax2+bx+c的图象求方程ax2+bx+c=0的解。
    2.让学生体验函数y=x2和y=bx+c的交点的横坐标是方程x2=bx+c的解的探索过程,掌握用函数y=x2和y=bx+c图象交点的方法求方程ax2=bx+c的解。
    3.提高学生综合解题能力,渗透数形结合思想。
重点;用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力是教学的重点。
难点:提高学生综合解题能力,渗透数形结合的思想是教学的难点。
教学过程:
一、复习巩固  导入新课
    1.如何运用函数y=ax2+bx+c的图象求方程ax2+bx+c的解?
2.画出函数y=2x2-3x-2的图象,求方程2x2-3x-2=0的解。
     学生练习的同时,教师巡视指导,根据学生情况进行讲评。  (解:略)
二、探索问题 学习新知
    1、问题1:初三(3)班学生在上节课的作业中出现了争论:求方程x2=12x十3的解时,几乎所有学生都是将方程化为x2-12x-3=0,画出函数y=x2-12x-3的图象,观察它与x轴的交点,得出方程的解。唯独小刘没有将方程移项,而是分别画出了函数y=x2和y=12x+2的图象,如图(3)所示,认为它们的交点A、B的横坐标-32和2就是原方程的解.
   思考:
(1). 这两种解法的结果一样吗?  小刘解法的理由是什么?
(让学生讨论,交流,发表不同意见,并进行归纳。)
 (2).函数y=x2和y=bx+c的图象一定相交于两点吗?你能否举出例子加以说明?
 (3)函数y=x2和y=bx+c的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x2=bx+c的解吗?
 (4).如果函数y=x2和y=bx+c图象没有交点,一元二次方程x2=bx+c的解怎样?
2、做一做(验证一下问题1的思路是否正确)
   利用图像解下列方程的解,并检验小刘的方法是否合理。
    (1)x2+x-1=0(精确到0.1);    (2)2x2-3x-2=0。
    注意:①要把(1)的方程转化为x2=-x+1,画函数y=x2和y=-x+1的图象;
          ②要把(2)的方程转化为x2=32x+1,画函数y=x2和y=32x+1的图象;
3、运用新知
    已知抛物线y1=2x2-8x+k+8和直线y2=mx+1相交于点P(3,4m)。
    (1)求这两个函数的关系式;
    (2)当x取何值时,抛物线与直线相交,并求交点坐标。
    解:(1)因为点P(3,4m)在直线y2=mx+1上,所以有4m=3m+1,解得m=1
    所以y1=x+1,P(3,4)。    因为点P(3,4)在抛物线y1=2x2-8x+k+8上,所以有
    4=18-24+k+8    解得  k=2    所以y1=2x2-8x+10
    (2)依题意,得y=x+1y=2x2-8x+10     解这个方程组,得x1=3y1=4 ,x2=1.5y2=2.5
    所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3,4),(1.5,2.5)。
三、小结:    1.如何用画函数图象的方法求方程韵解?
              2.你能根据方程组:y=x2y=bx+c的解的情况,来判定函数y=x2与y=bx+c图象交点个数吗?请说说你的看法。
四、作业:   
1. 利用函数的图象求下列方程的解:
(1)x2+x-6=0;,    (2)   y=x2+xy=5x-4
    2.填空。
    (1)抛物线y=x2-x-2与x轴的交点坐标是______,与y轴的交点坐标是______。
    (2)抛物线y=2x2-5x+3与y轴的交点坐标是______,与x轴的交点坐标是______。
    4.已知抛物线y1=x2+x-k与直线y=-2x+1的交点的纵坐标为3。
    (1)求抛物线的关系式;
    (2)求抛物线y=x2+x-k与直线y=-2x+1的另一个交点坐标.
五、板书:
 


第九课时26.1  实际问题与二次函数
教学目标:
 1.能根据实际问题列出函数关系式、
 2.使学生能根据问题的实际情况,确定函数自变量x的取值范围。
 3.通过建立二次函数的数学模型解决实际问题,培养学生分析问题、解决问题的能力,提高学生用数学的意识。
重点:根据实际问题建立二次函数的数学模型,应用函数的性质解答数学问题
难点:根据实际问题建立二次函数的数学模型,并确定二次函数自变量的范围,
教学过程:
一、复习旧知  导入新课
  1.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
    (1)y=6x2+12x;    (2)y=-4x2+8x-10
以上两个函数,哪个函数有最大值,哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少?
有了前面所学的知识,现在就可以应用二次函数的知识去解决生活中的实际问题。
二、学习新知
 1、应用二次函数的性质解决生活中的实际问题 
  出示例1、要用总长为60m的篱笆围成一个矩形的场地,矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化,当L是多少时,围成的矩形面积S最大?
    解:设矩形的一边为Lm,则矩形的另一边为(30-L)m,由于L>0,且30-L>O,所以O<L<30。
    围成的矩形面积S与L的函数关系式是
    S=L(30-L)
    即S=-L2+30L
(有学生自己完成,老师点评)
2、引导学生自学P23页例2     质疑 点评
 3、练一练:
(1)、某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售,一天可销出约100件,该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润,经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大?
    请同学们完成解答;  教师巡视、指导;  师生共同完成解答过程:
    解:设每件商品降价x元(0≤x≤2),该商品每天的利润为y元。
    商品每天的利润y与x的函数关系式是:    y=(10-x-8)(100+1OOx)
    即y=-1OOx2+1OOx+200    配方得y=-100(x-12)2+225
 因为x=12时,满足0≤x≤2。    所以当x=12时,函数取得最大值,最大值y=225。
 所以将这种商品的售价降低0.5元时,能使销售利润最大。
小结:让学生回顾解题过程,讨论、交流,归纳解题步骤:
(1)先分析问题中的数量关系,列出函数关系式;
(2)研究自变量的取值范围; 
(3)研究所得的函数; 
(4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内,并求相关的值: 
(5)解决提出的实际问题。
4、综合练习:P26  习题第1、2、3题。
三、小结: 1.通过本节课的学习,你学到了什么知识?存在哪些困惑?
    2.谈谈你的收获和体会。
四、作业:
1.已知一个矩形的周长是24cm。(1)写出矩形面积S与一边长a的函数关系式。(2)当a长多少时,S最大?
2.填空:
(1)二次函数y=x2+2x-5取最小值时,自变量x的值是______;
(2)已知二次函数y=x2-6x+m的最小值为1,那么m的值是______。
3.如图(1)所示,要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙,如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场,没靠墙的篱笆长度为xm。
(1)要使鸡场的面积最大,鸡场的长应为多少米?
(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙,要使鸡场面积最大,鸡场的长应为多少米?
(3)比较(1)、(2)的结果,你能得到什么结论?
选做题:用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。应做成长、宽各为多少时,才能使做成的窗框的透光面积最大?最大透光面积是多少?
 五、板书  

 

第十课时26.1实际问题与二次函数
教学目标:
 1.能根据实际问题列出函数关系式、
 2.使学生能根据问题的实际情况,确定函数自变量x的取值范围。
 3.通过建立二次函数的数学模型解决实际问题,培养学生分析问题、解决问题的能力,提高学生用数学的意识。
重点:根据实际问题建立二次函数不同的数学模型,应用函数的性质解答数学问题
难点:根据实际问题建立二次函数的数学模型,并确定二次函数自变量的范围,
教学过程:
一、复习旧知  导入新课
 (1)建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA。O恰好在水面中心,布置在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且在过OA任意平面上的抛物线如图(5)所示,建立直角坐标系(如图(6)),水流喷出的高度y(m)与水面距离x(m)之间的函数关系式是y=-x2+52x+32,请回答下列问题:
    (1)花形柱子OA的高度;
    (2)若不计其他因素,水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水不至于落在池外?
(2).如图(7),一位篮球运动员跳起投篮,球沿抛物线y=-15x2+3.5

二、学习新知
 1、引导学生自学P24页例2(既探究2)     质疑 点评
出示例3 P25   引导学生应用不同的方法去构建数学模型   
重点讲解例3
2、练一练:
(1).如图是抛物线拱桥,已知水位在AB位置时,水面宽46米,水位上升3米就达到警戒线CD,这时水面宽43米,若洪水到来时,水位以每小时0.25米速度上升,求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?
三、小结: 
1.通过本节课的学习,你学到了什么知识?存在哪些困惑?
2.谈谈你的收获和体会。
四、作业:
一个涵洞成抛物线形,它的截面如图(3)所示,现测得,当水面宽AB=1.6m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4m。这时,离开水面1.5m处,涵洞宽ED是多少?是否会超过1m?
五、板书
 

 

 


第十一课时《二次函数》小结与复习1
教学目标:
1、 理解二次函数的概念,掌握二次函数y=ax2的图象与性质;
2、 会用描点法画抛物线,能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向;
3、 能较熟练地由抛物线y=ax2经过适当平移得到y=a(x-h)2+k的图象。
重点:用配方法求二次函数的顶点、对称轴,由图象概括二次函数y=ax2图象的性质。
难点:二次函数图象的平移。
教学过程:
一、结合例题,强化练习,梳理知识点
1.二次函数的概念,二次函数y=ax2  (a≠0)的图象性质。
例1:已知函数 是关于x的二次函数,
求:(1)满足条件的m值;
(2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点.这时当x为何值时,y随x的增大而增大?
(3)m为何值时,函数有最大值?最大值是什么?这时当x为何值时,y随x的增大而减小?
    学生活动:学生四人一组进行讨论,并回顾例题所涉及的知识点,让学生代表发言分析解题方法,以及涉及的知识点。
   抛物线的增减性要结合图象进行分析,要求学生画出草图,渗透数形结合思想,进行观察分析。
2.强化练习;已知函数 是二次函数,其图象开口方向向下,则m=_____,顶点为_____,当x_____0时,y随x的增大而增大,当x_____0时,y随x的增大而减小。
3.用配方法求抛物线的顶点,对称轴;抛物线的画法,平移规律,
例2:用配方法求出抛物线y=-3x2-6x+8的顶点坐标、对称轴,并画出函数图象,说明通过怎样的平移,可得到抛物线y=-3x2。
    学生活动:小组讨论配方方法,确定抛物线画法的步骤,探索平移的规律。充分讨论后让学生代表归纳解题方法与思路。
4.教师归纳点评:
   (1)教师在学生合作讨论基础上强调配方的方法及配方的意义,指出抛物线的一般式与顶点式的互化关系:  y=ax2+bx+c————→y=a(x+b2a)2+4ac-b24a
   (2)强调利用抛物线的对称性进行画图,先确定抛物线的顶点、对称轴,利用对称性列表、描点、连线。
   (3)抛物线的平移抓住关键点顶点的移动。
5.综合应用。
    例3:如图,已知直线AB经过x轴上的点A(2,0),且与抛物线y=ax2相交于B、C两点,已知B点坐标为(1,1)。
    (1)求直线和抛物线的解析式;
(2)如果D为抛物线上一点,使得△AOD与△OBC的面积相等,求D点坐标。
6. 强化练习:
  (1)抛物线y=x2+bx+c的图象向左平移2个单位。再向上平移3个单位,得抛物线y=x2-2x+1,求:b与c的值。
 (2)通过配方,求抛物线y=12x2-4x+5的开口方向、对称轴及顶点坐标再画出图象。
(3)函数y=ax2(a≠0)与直线y=2x-3交于点A(1,b),求:
a和b的值
抛物线y=ax2的顶点和对称轴;
    x取何值时,二次函数y=ax2中的y随x的增大而增大,
    求抛物线与直线y=-2两交点及抛物线的顶点所构成的三角形面积。
二、课堂小结
    1.让学生反思本节教学过程,归纳本节课复习过的知识点及应用。
三、作业:   
    填空。
    1.若二次函数y=(m+1)x2+m2-2m-3的图象经过原点,则m=______。
    2.函数y=3x2与直线y=kx+3的交点为(2,b),则k=______,b=______。
    3.抛物线y=-13(x-1)2+2可以由抛物线y=-13x2向______方向平移______个单位,再向______方向平移______个单位得到。
    4.用配方法把y=-12x2+x-52化为y=a(x-h)2+k的形式为y=_____,其开口方向______,对称轴为______,顶点坐标为______。
 第十二课时《二次函数》小结与复习2
教学目标:
1、 会用待定系数法求二次函数的解析式,
2、 能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质,
3、 能较熟练地利用函数的性质解决函数与圆、三角形、四边形以及方程等知识相结合的综合题。
重点;用待定系数法求函数的解析式、运用配方法确定二次函数的特征。
难点:会运用二次函数知识解决有关综合问题。
教学过程:
一、结合例题,强化练习,梳理知识点
   1、用待定系数法确定二次函数解析式.
   例1:根据下列条件,求出二次函数的解析式。
    (1)抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,1),(1,3),(-1,1)三点。
    (2)抛物线顶点P(-1,-8),且过点A(0,-6)。
    (3)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过(3,0),(2,-3)两点,并且以x=1为对称轴。
    (4)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过一次函数y=-3/2x+3的图象与x轴、y轴的交点;且过(1,1),求这个二次函数解析式,并把它化为y=a(x-h)2+k的形式。
    学生活动:学生讨论,四个小题应选择什么样的函数解析式?并让学生阐述解题方法。分组完成,点评解题要点。
教师归纳:二次函数解析式常用的有三种形式:
(1)一般式:y=ax2+bx+c  (a≠0)
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k  (a≠0) 
 (3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2)  (a≠0)
 2、强化练习:已知二次函数的图象过点A(1,0)和B(2,1),且与y轴交点纵坐标为m。
           (1)若m为定值,求此二次函数的解析式;
           (2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点,求m的取值范围。
二、综合练习
  1、出示例2:如图,抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),且经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点B、C。
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)求抛物线的顶点坐标,
    (3)若点M在第四象限内的抛物线上,且OM⊥BC,垂足为D,求点M的坐标。
    学生活动:学生小组讨论交流。
教师归纳:
  2、 强化练习;已知二次函数y=2x2-(m+1)x+m-1。
 (1)求证不论m为何值,函数图象与x轴总有交点,并指出m为何值时,只有一个交点。
 (2)当m为何值时,函数图象过原点,并指出此时函数图象与x轴的另一个交点。
 (3)若函数图象的顶点在第四象限,求m的取值范围。
三、课堂小结
    同位同学相互说说二次函数有哪些性质
归纳二次函数三种解析式的实际应用。
四、作业:       
    一、填空。
   1. 如果一条抛物线的形状与y=-13x2+2的形状相同,且顶点坐标是(4,-2),则它的解析式是_____。
   2.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且过(3,0),则a+b+c=______。
   二、选择。
 1.如图(1),二次函数y=ax2+bx+c图象如图所示,则下列结论成立的是(    )
    A.a>0,bc>0    B. a<0,bc<0     C. a>O,bc<O    D. a<0,bc>0
  
    2.已知二次函数y=ax2+bx+c图象如图(2)所示,那么函数解析式为(    )
A.y=-x2+2x+3    B. y=x2-2x-3
    C.y=-x2-2x+3    D. y=-x2-2x-3
    3.若二次函数y=ax2+c,当x取x1、x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为(    )
    A.a+c    B. a-c    C.-c    D. c
    4.已知二次函数y=ax2+bx+c图象如图(3)所示,下列结论中: ①abc>0,②b=2a;③a+b+c<0,④a-b+c>0,正确的个数是(    )
    A.4个    B.3个    C. 2个    D.1个
  三、解答题。   
  已知抛物线y=x2-(2m-1)x+m2-m-2。
    (1)证明抛物线与x轴有两个不相同的交点,
    (2)分别求出抛物线与x轴交点A、B的横坐标xA、xB,以及与y轴的交点的纵坐标yc(用含m的代数式表示)
(3)设△ABC的面积为6,且A、B两点在y轴的同侧,求抛物线的解析式。

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