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三角函数值

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三角函数值

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资料简介

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由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费1.2 30°、45°、60°角的三角函数值 本节在前两节介绍了正切、正弦、余弦定义的基础上,经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,进一步体会三角函数的意义,并能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 因此本节的重点是利用三角函数的定义求30°、45°、60°这些特殊角的特殊三角函数值,并能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算.难点是利用已有的数学知识推导出30°、45°、60°这些特殊角的三角函数值.三角尺是学生非常熟悉的学习用具,教学中,教师应大胆地鼓励学生用所学的数学知识如“直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半”的特性,经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,发展学生的推理能力和计算能力.教学目标 (一)教学知识点 1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义. 2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. (二)思维训练要求 1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,发展学生观察、分析、发现的能力. 2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. (三)情感与价值观要求 1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯. 2.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.教具重点 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. 2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.比较锐角三角函数值的大小.教学难点 进一步体会三角函数的意义.由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费教学方法 自主探索法教学准备 一副三角尺 多媒体演示教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 [问题]为了测量一棵大树的高度,准备了如下测量工具:①含30°和60°两个锐角的三角尺;②皮尺.请你设计一个测量方案,能测出一棵大树的高度. (用多媒体演示上面的问题,并让学生交流各自的想法)[生]我们组设计的方案如下: 让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处,使这位同学拿起三角尺,她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点,30°的邻边和水平方向平行,用卷尺测出AB的长度,BE的长度,因为DE=AB,所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可. [生]在Rt△ACD中,∠CAD=30°,AD=BE,BE是已知的,设BE=a米,则AD=a米,如何求CD呢? [生]含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质:30°的角所对的边等于斜边的一半,即AC=2CD,根据勾股定理,(2CD)2=CD2+a2. CD=a. 则树的高度即可求出. [师]我们前面学习了三角函数的定义,如果一个角的大小确定,那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定,如果能求出30°的正切值,在上图中,tan30°=,则CD=由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费atan30°,岂不简单. 你能求出30°角的三个三角函数值吗? Ⅱ.讲授新课 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. [师]观察一副三角尺,其中有几个锐角?它们分别等于多少度? [生]一副三角尺中有四个锐角,它们分别是30°、60°、45°、45°. [师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [生]sin30°=. sin30°表示在直角三角形中,30°角的对边与斜边的比值,与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示),根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质,则斜边等于2a.根据勾股定理,可知30°角的邻边为a,所以sin30°=. [师]cos30°等于多少?tan30°呢? [生]cos30°=. tan30°= [师]我们求出了30°角的三个三角函数值,还有两个特殊角——45°、60°,它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的? [生]求60°的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.利用上图,很容易求得sin60°=, cos60°=, tan60°=. [生]也可以利用上节课我们得出的结论:一锐角的正弦等于它余角的余弦,一锐角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60°=cos(90°-60°)=cos30°=cos60°=sin(90°-由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费60°)=sin30°=. [师生共析]我们一同来求45°角的三角函数值.含45°角的直角三角形是等腰直角三角形.(如图)设其中一条直角边为a,则另一条直角边也为a,斜边a.由此可求得 sin45°=, cos45°=, tan45°=[师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示)30°、45°、60°角的三角函数值三角函数角sinαcoαtanα30°45°160°这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需熟记,另一方面,要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值,说出相应的锐角的大小. 为了帮助大家记忆,我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值,你能发现什么规律呢? [生]30°、45°、60°角的正弦值分母都为2,分子从小到大分别为,,由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费,随着角度的增大,正弦值在逐渐增大. [师]再来看第二列函数值,有何特点呢? [生]第二列是30°,45°、60°角的余弦值,它们的分母也都是2,而分子从大到小分别为,,,余弦值随角度的增大而减小. [师]第三列呢? [生]第三列是30°、45°、60°角的正切值,首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角,所以tan45°=1比较特殊. [师]很好,掌握了上述规律,记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下对30°、45°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒. 2.例题讲解(多媒体演示) [例1]计算 (1)sin30°+cos45°; (2)sin260°+cos260°-tan45°. 分析:本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值,今后若无特别说明,用特殊角三角函数值进行计算时,一般不取近似值,另外sin260°表示(sin60°)2,cos260°表示(cos60°)2. 解:(1)sin30°+cos45°=, (2)sin260°+cos260°-tan45° =()2+()2-1 = + -1 =0. [例2]一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5 m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边的摆动角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m) 分析:引导学生自己根据题意画出示意图,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 解:根据题意(如图)可知,∠BOD=60°,由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费OB=OA=OD=2.5 m,∠AOD=×60°=30°, ∴OC=OD·cos30°=2.5×≈2.165(m). ∴AC=2.5-2.165≈0.34(m). 所以,最高位置与最低位置的高度约为0.34 m. Ⅲ.随堂练习 多媒体演示 1.计算: (1)sin60°-tan45°; (2)cos60°+tan60°; (3) sin45°+sin60°-2cos45°. 解:(1)原式=-1=; (2)原式=+=(3)原式=×+×;= 2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为30°.高为7 m,扶梯的长度是多少? 解:扶梯的长度为=14(m), 所以扶梯的长度为14 m. Ⅳ.课时小结 本节课总结如下:由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 (1)探索30°、45°、60°角的三角函数值. sin30°=,sin45°=,sin60°=; cos30°=,cos45°= ,cos60°=;tan30°= ,tan45°=1,tan60°=. (2)能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算. (3)能根据30°、45°、60°角的三角函数值,说出相应锐角的大小. Ⅴ.课后作业 习题1.3第1、2题 Ⅵ.活动与探究(2003年甘肃)如图为住宅区内的两幢楼,它们的高AB=CD=30 m,两楼问的距离AC=24 m,现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时,求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m,≈1.41,≈1.73) [过程]根据题意,将实际问题转化为数学问题,当光线从楼顶E,直射到乙楼D点,D点向下便接受不到光线,过D作DB⊥AE(甲楼).在Rt△BDE中.BD=AC=24 m,∠EDB=30°.可求出BE,由于甲、乙楼一样高,所以DF=BE. [结果]在Kt△BDE中,BE=DB·tan30°=24×=8m. ∵DF=BE, ∴DF=8≈8×1.73=13.84(m). 甲楼的影子在乙楼上的高CD=30-13.84≈16.2(m).由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费板书设计§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值一、探索30°、45°、60°的三角函数值1.预备知识:含30°的直角三角形中,30°角的对边等于斜边的一半.含45°的直角三角形是等腰直角三角形.2.30°,45°,60°角的三角函数值列表如下:三角函数角角αsinαcoαtanα30°45°160°二、含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.三、实际应用备课资料 参考练习 1.(2003年北京石景山)计算:. 答案:3- 2.(2003年北京崇文)汁算:(+1)-1+2sin30°- 答案:- 3.(2003年广东梅州)计算:(1+)0-|1-sin30°|1+()-1. 答案: 4. (2003 年广西)计算:sin60°+由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 答案:-5.(2003年内蒙古赤峰)计算;2-3-(+π)0-cos60°-. 答案:-由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费

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