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三角函数值

1.2  30°、45°、60°角的三角函数值
    本节在 前两节介绍了正切、正弦、余弦定义的基础上,经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,进一步体会三角函数的意义,并能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
    因此本节的重点是利用三角函数的定义求30°、45°、60°这些特殊角的特殊三角函数值,并能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算.难点是利用已有的数学知识推导出30°、45°、60°这些特殊角的三角函数值.
三角尺是学生非常熟悉的学习用具,教学中,教师应大胆地 鼓励学生用所学的数学知识如“直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半”的特性,经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,发展学生的推理能力和计算能力.
教学目标
    (一)教学知识点
    1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.
    2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
    3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.
    (二)思维训练要求
    1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,发展学生观察、分析、发现的能力.
    2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
    (三)情感与价值观要求
    1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯.
    2.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.
教具重点
    1.探索 30°、45°、60°角的三角函数值.
    2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
    3.比较锐角三角函数值 的大小.
教学难 点
    进一步体会三角函数的意义.
教学方法
    自主探索法
教学准备
    一副三角尺
    多媒体演示
教学过程
    Ⅰ.创设问题情境,引入新课
    [问题]为了测量一棵大树的高度,准备了如下测量工具:①含30°和60°两个锐角的三角尺;②皮尺.请你设计一个测量方案,能测出一棵大树的高度.
    (用多媒体演示上面的问题,并让学生交流各自的想法)
[生]我们组设计的方案如下:
 
    让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处,使这位同学拿起三角尺,她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点,30°的邻边和水平方向平行,用卷尺测出AB的长度,BE的长度,因为DE=AB,所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可.
    [生]在Rt△ACD中,∠CAD=30°,AD=BE,BE是已知的,设BE=a米,则AD=a米,如何求CD呢?
    [生]含30°角的直角三角形有一个非常 重要的性质:30°的角所对的边等于斜边的一
半,即AC=2CD,根据勾股定理,(2CD)2=CD2+a2.
    CD= a.
    则树的高度即可求出.
    [师]我们前面学习了三角函数的定义,如果一个角的大小确定,那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定,如果能求出30°的正切值,在上图中,tan30°= ,则CD=
atan30°,岂不简单.
    你能求出30°角的三个三角函数值吗?
    Ⅱ.讲授新课
    1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.
    [师]观察一副三角尺,其中有几个锐角?它们分别等于多少度?
    [生]一副三角尺中有四个锐角,它们分别是30°、60°、45°、45°.
    [师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.
     [生]sin30°= .
sin30°表示在直角三角
形中,30°角的对边与
斜边的比值,与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示),根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质,则斜边等于2a.根据勾股定理,可知30°角的邻边为a,所以sin30°= .
    [师]cos30°等于多少?tan30°呢?
    [生]cos30°= .
    tan30°=
    [师]我们求出了30°角的三个三角函数值,还有两个特殊角——45°、60°,它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?
     [生]求60°的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.利用上图,很容易求得sin60°= ,
    cos60°= ,
    tan60°= .
    [生]也可以利用上节课我们得出的结论:一锐角的正弦等于它余角的余弦,一锐角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60°=cos(90°-60°)=cos30°= cos60°=sin(90°-
60°)=sin30°= .
    [师生共析]我们一同来
求45°角的三 角函数值.含
45°角的直角三角形是等腰
直角三角形.(如图)设其中一
条直角边为a,则另一条直角
边也为a,斜边 a.由此可求得
    sin45°= ,
    cos45°= ,
    tan45°=
[师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示)
30°、45°、60°角的三角函数值
三角函数角

 sinα coα tanα
30°     
45°     1
60°     
这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需熟记,另一方面,要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值,说出相应的锐角的大小.
    为了帮助大家记忆,我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值,你能发现什么规律呢?
    [生]30°、45°、60°角的正弦值分母都为2,分子从小到大分别为 , , ,随着角度的增大,正弦值在逐渐增大.
    [师]再来看第二列函数值,有何特点呢?
    [生]第二列是30° ,45°、60°角的余弦值,它们的分 母也都是2,而分子从大到小分别为 , , ,余弦值随角度的增大而减小.
    [师]第三列呢?
    [生]第三列是30°、45°、60°角的正切值,首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角,所以tan45°=1比较特殊.
    [师]很好,掌握了上述规律,记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下对30°、
45°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒.
    2.例题讲解(多媒体演示)
    [例1]计算
    (1)sin30°+cos45°;
    (2)sin260°+cos260°-tan45°.
    分析:本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值,今后若无特别说明,用特殊角三角函数值进行计算时,一般不取近似值,另外sin260°表示(sin60°)2,cos260°表示
(cos60°)2.
    解:(1)sin30°+cos45°= ,
    (2)sin260°+cos260°-tan45°
    =( )2+( )2-1
    =  +  -1
    =0.
    [例2]一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5 m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边的摆动角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确 到0.01 m)
    分析:引导学生自己根据题意画出示意图,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
    解:根据题意(如图)
可知,∠BOD=60°,
OB=OA=O D=2.5 m,
∠AOD= ×60°=30°,
    ∴OC=OD•cos30°
=2.5× ≈2.165(m).
    ∴AC=2.5-2.165≈0.34(m).
    所以,最高位置与 最低位置的高度约为
0.34 m.
     Ⅲ.随堂练习
    多媒体演示
    1.计算:
    (1)s in60°-tan45°;
    (2)cos60°+tan60°;
    (3)  sin45°+sin60°-2cos45°.
    解:(1)原式= -1= ;
    (2)原 式= +=
(3)原式= × + × ;
=
    2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为30°.高为7 m,扶梯的长度是多少?
    解:扶梯的长度为 =14(m),
    所以扶梯的长度为14 m.
    Ⅳ.课时小结
    本节课总结如下:
    (1)探索30°、45°、60°角的三角函数值.
    sin30°= ,sin45°= ,sin60°= ;
    cos30°= ,cos45°=  ,cos60°= ;
tan30°=  ,tan45°
=1,tan60°= .
    (2)能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
     (3)能根据30°、45°、60°角的三角函数值,说出相应锐角的大小.
    Ⅴ.课后作业
     习题1.3第1、2题
    Ⅵ.活动与探究
(2003年甘肃)如图为住宅区内的两幢楼,它们的高AB=CD=30 m,两楼问的距离AC=24 m,现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水 平线的夹角为30°时,求甲楼的影子在乙楼上有多高?
(精确到0.1 m, ≈1.41, ≈1.73)
 
    [过程]根据题意,将实际问题转化为数学问题,当光线从楼顶E,直射到乙楼D点,D点向下便接受不到光线,过D作DB⊥AE(甲楼) .在Rt△BDE中.BD=AC=24 m,∠EDB=30°.可求出BE,由于甲、乙楼一样高,所以DF=BE.
    [结果]在Kt△BDE中,BE=DB•tan30°=24× =8 m.
    ∵DF=BE,
    ∴DF=8 ≈8×1.73=13.84(m).
    甲楼的影子在乙楼上的高CD=30-13.84≈1 6.2(m).
板书设计
§1.2  30°、45°、60°角的三角函数值
一、探索30°、45°、60°的三角函数值1.预备知识:含30°的直 角三角形中,30°角
的对边等于斜边的一半.
含45°的直角三角形是等腰直角三角形.
2.30°,45°,60°角的三角函数值列表如下:
三角函数角
角α
 sinα coα tanα
30°     
45°     1
60°     
二、含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
三、实际应用
备课资料
    参考练习
    1.(2003年北京石景山)计算: .
    答案:3-
    2.(2003年北京崇文)汁算:( +1)-1+2sin30°-
    答案:-
    3.(2003年广东梅州)计算:(1+ )0-|1-sin 30°|1+( )-1.
    答案:
    4. (2003  年广西)计算:sin60°+
    答案:-
5.(2003年内蒙古赤峰)计算;2- 3-( +π)0-cos60°- .
    答案:-
 

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