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2021年寒假预习资料九年级数学下册知识点总结

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第二十六章、反比例函数 知识点一:反比例函数的概念及其图象、性质 1.反比例函数的概念 (1)定义:形如 y=kx(k≠0)的函数称为反比例函数,k 叫做比例系数,自变量的取值范围是非零的一切实数. (2)形式:反比例函数有以下 2 种基本形式: ①y=kx;②y=kx-1; ③xy=k.(其中 k 为常数,且 k≠0) 例:函数 y=3xm+1,当 m=-2 时,则该函数是反比例函数. 2.反比例函数 的 图 象和性质 k 的符号 图象 经过象限 y 随 x 变化的情况 k0 图象经过第一、三象限 (x、y 同号) 每个象限内,函数 y 的值随 x 的增大而减小. k0 图象经过第二、四象限 (x、y 异号) 每个象限内,函数 y 的值随 x 的增大而增大. 3.反比例函数的图象特征 (1)由两条曲线组成,叫做双曲线; (2)图象的两个分支都无限接近 x 轴和 y 轴,但都不会与 x 轴和 y 轴相交; (3)图象是中心对称图形,原点为对称中心;也是轴对称图形,2 条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线. 4.待定系数法 只需要知道双曲线上任意一点坐标,设函数解析式,代入求出反比例函数系数k 即可.例:已知反比例函数图象过点(-3,-1),则它的解析式是 y=3/x 知识点二 :反比例系数的几何意义及与一次函数的综合 5.系数 k 的几何意义 (1)意义:从反比例函数 y=kx(k≠0)图象上任意一点向 x 轴和 y 轴作垂线,垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的 面积为 1/2|k|. (2)常见的面积类型: 失分点警示 已知相关面积,求反比例函数的表达式,注意若函数图象在第二、四象限,则k<0. 例:已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为 3,则该反比例函数解析式为:3yx 或3yx  6.与一次函数的综合 (1)确定交点坐标:【方法一】已知一个交点坐标为(a,b),则根据中心对称性,可得另一个交点坐标为(-a,-b).【方法二】联立两个函数解析式,利用方程思想求解. (2)确定函数解析式:利用待定系数法,先确定交点坐标,再分别代入两个函数解析式中求解 (3)在同一坐标系中判断函数图象:充分利用函数图象与各字母系数的关系,可采用假设法,分 k>0 和 k<0 两种情况讨论,看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除. (4)比较函数值的大小:主要通过观察图象,图象在上方的值大,图象在下方的值小,结合交点坐标,确定出解集的范围. 涉及与面积有关的 问题时,①要善于把点的横、纵坐标转化为图形 的边长,对于不好直接求的面积往往可分割转化 为较好求的三角形面积;②也要注意系数 k 的几 何意义. 例:如图所示,三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为:S△AOC=S△OPE>S△BOD 知识点三:反比例函数的实际应用 7 .一般步骤 (1 题意找出自变量与因变量之间的乘积关系; (2 设出函数表达式; (3)依题意求解函数表达式; (4)根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题. 第二十七章、相似 知识点一:比例线段 1. 比例 线段 在四条线段 a,b,c,d 中,如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比,即a cb d ,那么这四条线段 a,b,c,d 叫做成比例线段,简称比例线段. 2.比例 的 基本 性质 (1)基本性质:a cb d ⇔ ad=bc;(b、d≠0) (2)合比性质:a cb d ⇔a bb=c dd;(b、d≠0) (3)等比性质:a cb d =…=mn=k(b+d+…+n≠0)⇔ ......a c mb d n    =k.(b、d、···、n≠0) 3. 平 行线 分 线段 成 比例定理 (1)两条直线被一组平行线所截,所得的对应线 段成比例.即如图所示,若 l3∥l4∥l5,则AB DEBC EF . (2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线),所得的对应线段成比例. 即如图所示,若 AB∥CD,则OA OBOD OC . (3)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形和原三角形相似. 如图所示,若 DE∥BC,则△ADE∽△ABC. 4. 黄 金分割 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC,如果ACAB==5-12≈0.618,那么线段 AB 被点 C 黄金分割.其中点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点,AC与 AB 的比叫做黄金比. 例:把长为 10cm 的线段进行黄金分割,那么较长线段长为 5( 5 -1)cm 知识点二 :相似三角形的性质与判定 5. 相 似三 角形 的判定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图,若∠A=∠D,∠B=∠E,则△ABC∽△DEF. (2) 两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似 . 如图,若∠ A =∠ D ,FEDCBAl5l4l3l2l1ODCBAEDCBAFEDCBAFEDCBA AC ABDF DE ,则△ABC∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似.如图,若AB AC BCDE DF EF  ,则△ABC∽△DEF. 6.相似 三角形的性质 (1)对应角相等,对应边成比例. (2)周长之比等于相似比, 面积之比等于相似比的平方. (3)相似三角形对应高的 比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比. 例:(1)已知△ABC∽△DEF,△ABC 的周长为 3,△DEF 的周长为 2,则△ABC与△DEF 的面积之比为 9:4. (2) 如图,DE∥BC, AF⊥BC,已知 S△ADE:S△ABC=1:4,则 AF:AG=1:2. 第二十八章、锐角三角函数 知识点一:锐角三角函数的定义 1.锐角三角函数 正弦: sinA=∠A的对边斜边=ac 余弦: cosA=∠A的邻边斜边=bc 正切: tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab. 2.特殊角的三角函数值 度数 三角函数 30° 45° 60° sinA 12 22 32 cosA 32 22 12 FEDCBA tanA 33 1 3 知识点二 :解直角三角形 3.解直角三 角 形的概念 在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形. 4.解直角三角形的常用关系 (1)三边之间的关系:a2+b2=c2; (2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90°; (3)边角之间的关系:sinA==cosB=ac,cosA=sinB=bc, tanA=ab. 知识点三 :解直角三角形的应用 5.仰角、俯角 、 坡度、坡角和 方 向角 (1)仰、俯角:视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角. (2)坡度:坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比),用字母 i 表示. 坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,用 α表示,则有 i=tanα. (3)方向角:平面上,通过观察点 Ο 作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向),则从点 O 出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角,叫做观测的方向角. 6.解直角三角形实际应用的一般步骤 (1)弄清题中名词、术语,根据题意画出图形,建立数学模型; (2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系,把实际问题转化为解直角三角形问题; (3)选择合适的边角关系式,使运算简便、准确; (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义,从而得到问题的解. 解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型: (1) 叠合式 (2)背靠式 解题方法:这两种模型种都有一条公共的直角边,解题时,往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边,或通过公共边相等,列方程求解.例如 17 年 14 年中考题 第二十九章、投影与试图 知识点一:三视图 内 容 1.三视图 主视图 俯视图 左视图 2.三视图的对应关系 (1)长对正:主视图与俯视图的长相等,且相互对正; (2)高平齐:主视图与左视图的高相等,且相互平齐; (3)宽相等:俯视图与左视图的宽相等,且相互平行. 3.常见几何体的三视图常见几何体的三视图 正方体:正方体的三视图都是正方形. 圆柱:圆柱的三视图有两个是矩形,另一个是圆. 圆锥:圆锥的三视图中有两个是三角形,另一个是圆. 球的三视图都是圆. 例:长方体的主视图与俯视图如图所示,则这个长方体的体积是 36 . 知识点二 :投影 4.平行投影 由平行光线形成的投影. 在平行投影中求影长,一般把实际问题抽象到相似三角形中,利用相似三角形的相似比,列出方程,通过解方 程求出的影长. 例:小明和他的同学在太阳下行走,小明身高 1.4 米,他的影长为 1.75 米,他同学的身高为 1.6 米,则此时他的同学的影长为 2 米. 5.中心投影 由同一点(点光源)发出的光线形成的投影.

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