2018版中考数学导向:3.3二次函数

时间:2017-10-16 作者:佚名 教案来源:网络

2018版中考数学导向:3.3二次函数

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§3.3 二次函数
 

一、选择题
1.(原创题)函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点,则k的取值范围是(  )
A.k<3    B.k<3且k≠0
C.k≤3且k≠0    D.k≤3
解析 当k=0时,y=-6x+3的图象与x轴有交点;
当k≠0时,令y=kx2-6x+3=0,
∵y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点,
∴Δ=36-12k≥0,∴k≤3.
综上,k的取值范围为k≤3.
答案 D
2.(原创题)抛物线y=a(x+1)(x-3)(a≠0)的对称轴是直线  (  )
A.x=1    B.x=-1
C.x=-3    D.x=3
解析 ∵-1,3是方程a(x+1)(x-3)=0的两根,
∴抛物线y=a(x+1)(x-3)与x轴交点横坐标是-1,3.
∵这两个点关于对称轴对称,
∴对称轴是x=-1+32=1.
答案 A
3.(原创题)已知抛物线y=x2-x-2与x轴的一个交点为(m,0),则代数式m2-m+2 013的值为    (  )
A.2 013    B.2 014
C.2 015    D.2 016
解析 把(m,0)代入y=x2-x-2,得m2-m-2=0,即m2-m=2.∴m2-m+2 013=2+2 013=2 015.故选C.
答案 C
4.(改编题)如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c>0的解集是(  )
A.-1<x<5    B.x>5
C.x<-1且x>5    D.x<-1或x>5
解析 由图象可知,抛物线与x轴的一个交点为(5,0),对称轴是x=2,根据抛物线的对称性可知抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(-1,0).由图象看出当-1<x<5时,函数图象在x轴上方,所以不等式ax2+bx+c>0的解集是-1<x<5.故选A.
答案 A
5.(改编题)已知A(2,y1),B(3,y2),C(0,y3)在二次函数y=ax2+c(a>0)的图象上,则y1,y2,y3的大小关系正确的是  (  )
A.y3<y2<y1    B.y1<y2<y3
C.y2<y1<y3    D. y3<y1<y2
解析 由题意可知,当x≥0时,y随x的增大而增大.∵0<2<3,∴y3<y1<y2.
答案 D
二、填空题
6.(原创题)若二次函数y=x2-2x+c有最小值6,则c的值为________.
解析 ∵y=x2-2x+c=(x-1)2-1+c,∴-1+c=6,解得c=7.
答案 7
7.(原创题)已知抛物线y=-x2-2x+3与x轴的两个交点的横坐标分别是m,n,则m2n+mn2=________.
解析 由题意,得m,n是-x2-2x+3=0的两个不相等的实数根,由根与系数的关系得m+n=-2,mn=-3.∴m2n+mn2=mn(m+n)=-3×(-2)=6.
答案 6
8. (原创题)已知二次函数y=-23x2-43x+2的图象与x轴分别交于A,B两点(如图所示),与y轴交于点C,点P是其对称轴上一动点,当PB+PC取得最小值时,点P的坐标为________.
解析 连结AC交对称轴于P,则此时PB+PC有最小值.把x=0代入y=
-23x2-43x+2,得y=2,即OC=2.把y=0代入y=-23x2-43x+2,得x1=1,x2=-3,即OA=3,OB=1.∵y=-23x2-43x+2=-23(x+1)2+83,∴抛物线的对称轴是x=-1.设对称轴与x轴的交点为D,则OD=1.由△ADP∽△AOC可得23=DP2,解得DP=43.∴点P的坐标为-1,43.
答案 -1,43
三、解答题
9.(原创题)如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0),交y轴于点C,点P是该抛物线上一动点,点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与A重合),过点P作PD∥y轴交直线AC于点D.
 
(1)求抛物线的解析式;
(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值;
(3)△APD能否构成直角三角形?若能请直接写出点P坐标,若不能请说明理由;
(4)在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA-MC|最大?若存在,请求出点M的坐标,若不存在请说明理由.
解 (1)把点A(3,0)和点B(1,0)代入抛物线y=x2+bx+c,
得:9+3b+c=0,1+b+c=0,解得b=-4,c=3.
∴y=x2-4x+3.
(2)把x=0代入y=x2-4x+3,得y=3.∴C(0,3).
又∵A(3,0),
设直线AC的解析式为:y=kx+m,把点A,C的坐标代入得:m=3,k=-1.
∴直线AC的解析式为:y=-x+3.
PD=-x+3-(x2-4x+3)
=-x2+3x=-x-322+94.
∵0<x<3,∴x=32时,PD最大为94.
即点P在运动的过程中,线段PD长度的最大值为94.
(3)∵PD与y轴平行,且点A在x轴上,
∴要使△APD为直角三角形,只有当点P运动到点B时,此时点P的坐标为:(1,0).
 
(4)∵点A,B关于抛物线的对称轴对称,
∴作直线CB,交抛物线的对称轴于点M,则此时点M即为使得|MA-MC|最大的点,
∴|MA-MC|=|MC-MB|=BC.
∵B(1,0),C(0,3),
∴设BC的解析式为y=k′x+n,
则k′+n=0,n=3.∴k′=-3,n=3.
即y=-3x+3.当x=2时,y=-3.∴M(2,-3).

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