九年级数学圆的有关性质总复习

时间:2013-08-30 作者:佚名 教案来源:网络

九年级数学圆的有关性质总复习

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第24讲 圆的有关性质
[锁定目标考试]

考标要求 考查角度
1.理解圆的有关概念和性质,了解圆心角、弧、弦之间的关系.
2.了解圆心角与圆周角及其所对弧的关系,掌握垂径定理及推论.   中考主要考查圆的有关概念和性质,与垂径定理有关的计算,与圆有关的角的性质及其应用.题型以选择题填空题为主.
[导学必备知识]
 
知识梳理
一、圆的有关概念及其对称性
1.圆的定义
(1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形.这个定点叫做________,定长叫做________;
(2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆,定点叫做圆心,定点与动点的连线段叫做半径.
2.圆的有关概念
(1)连接圆上任意两点的________叫做弦;
(2)圆上任意两点间的________叫做圆弧,简称弧;
(3)________相等的两个圆是等圆;
(4)在同圆或等圆中,能够互相________的弧叫做等弧.
3.圆的对称性
(1)圆的轴对称性:圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴;
(2)圆的中心对称性:圆是以圆心为对称中心的中心对称图形;
(3)圆是旋转对称图形:圆绕圆心旋转任意角度,都能和原来的图形重合.这就是圆的旋转不变性.
二、垂径定理及推论
1.垂径定理
垂直于弦的直径________这条弦,并且________弦所对的两条弧.
2.推论1
(1)平分弦(________)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过________,并且平分弦所对 的________弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
3.推论2
圆的两条平行弦所夹的弧________.
4.(1)过圆心;(2)平分弦(不是直径);(3)垂直于弦;(4)平分弦所对的优弧;(5)平分弦所对的劣弧.若一条直线具备这五项中 任意两项,则必具备另外三项.
三、圆心角、弧、弦之间的关系
1.定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧________,所对的弦________.
2.推论
同圆或等圆中:(1)两个圆心角相等;(2)两条弧相等;(3)两条弦相等.三项中有一项成立,则其余对应的两项也成立.
四、圆心角与圆周角
1.定义
顶点在________上的角叫做圆心角;顶点在________上,角的两边和圆都________的角叫做圆周角.
2.性质
(1)圆心角的度数等于它所对的______的度数.
(2) 一条弧所对的圆周角的度数等于它所对________的度数的一半.
(3)同弧或等弧所对的圆周角________,同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧________.
(4)半圆(或直径)所对的圆周角是______,90°的圆周角所对的弦是________.
五、圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补.
自主测试
1.(2012重庆)如图,已知OA,OB是⊙O的两条半径,且OA⊥OB,点C在⊙O上,则∠ACB的度数为(  )
 
A.45°  B.35°  C.25°  D.20°
2.(2012山东泰安)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,下列结论不成立的是(  )
 
A.CM=DM    B.   C.∠ACD=∠ADC    D.OM=MD
3.(2012浙江湖州)如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AC是⊙O的直径,∠C=50°,∠ABC的平分线BD交⊙O于点D,则∠BAD的度数是(  )
 
A.45°  B.85°  C.90°  D.95°
4.(2012浙江衢州)工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口,假设钢珠的直径是10 mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm,如图所示,则这个小圆孔的宽口AB的长度为__________ mm.
 
5.(2012四川成都)如图,AB是⊙O的弦,OC⊥AB于C.若AB=23,OC=1,则半径OB的长为__________.
 
6.(2012山东青岛)如图,点A,B,C在⊙O上,∠AOC=60°,则∠ABC的度数是__________°.
 
[探究重难方法]

考点一、垂径定理及推论
【例1】 在圆柱形油槽内装有一些油.截面如图,油面宽AB为6分米,如果再注入一些油后,油面AB上升1分米,油面宽变为8分米,圆柱形油槽直径MN为(  )
 
A.6分米    B.8分米  C.10分米    D.12分米
分析: 如图,油面AB上升1分米得到油面CD,依题意得AB=6,CD=8,过O点作AB的垂线,垂足为E,交CD于F点,连接OA,OC,由垂径定理,得AE=12AB=3,CF=12CD=4,设OE=x,则OF=x-1,在Rt△OAE中,OA2=AE2+OE2,在Rt△OCF中,OC2=CF2+OF2,由OA=OC,列方程求x即可求得半径OA,得出直径MN.
 
解析:如图,依题意得AB=6,CD=8,过O点作AB的垂线,垂足为E,交CD于F点,连接OA,OC,由垂径定理,得AE=12AB=3,CF=12CD=4,设OE=x,则OF=x-1,
在Rt△OAE中,OA2=AE2+OE2,在Rt△OCF中,OC2=CF2+OF2,∵OA=OC,∴32+x2=42+(x-1)2,解得x=4.
∴半径OA=32+42=5.∴直径MN=2OA=10(分米).
故选C.
答案:C
方法总结  有关弦长、弦心距与半径的计算,常作垂直于弦的直径,利用垂径定 理和解直角三角形来达到求解的目的.
触类旁通1如图所示,若⊙O的半径为13 cm,点P是弦AB上一动点,且到圆心的最短距离为5 cm,则弦AB的长为__________ cm.
 
考点二、圆心(周)角、弧、弦之间的关系
【例2】 如图,已知A,B,C,D是⊙O上的四个点,AB=BC,BD交AC于点E,连接CD,AD.
 
(1)求证:DB平分∠ADC;
(2)若BE=3,ED=6,求AB的长.
解:(1)证明:∵AB=BC,
∴ = .∴∠ADB=∠BDC,∴DB平分∠ADC.
(2)由(1)知 = ,∴∠BAE=∠ADB.
∵∠ABE=∠ABD,∴△ABE∽△DBA.∴ABBE=BDAB.
∵BE=3,ED=6,∴BD=9.
∴AB2=BE•BD=3×9=27.∴AB=33.
方法总结  圆心角、弧、弦之间的关系定理,提 供了从圆心角到弧到弦的转化方式,为我们证明角相等、线段相等和弧相等提供了新思路,解题时要根据具体条件灵活选择应用.
触类旁通2如图,AB是⊙O的直径,C,D两点在⊙O上,若∠C=40°,则∠ABD的度数为(  )
 
A.40°   B.50°  C.80°   D.90°
考点三、圆周角定理及推论
【例3】 如图,若AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=58°,则∠BCD=(  )
 
A.116°    B.32°   C.58°    D.64°
解析:根据圆周角定理求得,∠ AOD=2∠ABD=116°(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半),∠BOD=2∠BCD(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半);根据平角是180°知∠BOD=180°-∠AOD.还有一种解法,即利用直径所对的圆周角等于90°,可得∠ADB=90°,则∠DAB=90°-∠ABD=32°,∵∠DAB=∠DCB,∴∠DCB=32°.
答案:B
方法总结  求圆中角的度数时,通常要利用圆周角与圆心角或圆心角与弧之间的关系.
触类旁通3如图,点A,B,C,D都在⊙O上, 的度数等于84°,CA是∠OCD的平分线,则∠ABD+∠CAO=__________.
 
[品鉴经典考题]

1.(2012湖南湘潭)如图,在⊙O中,弦AB∥CD,若∠ABC=40°,则∠BOD=(  )
 
A.20°  B.40°  C.50°  D.80°
2.(2012湖南益阳)如图,点A,B,C在圆O上,∠A=60°,则∠BOC=__________.
 
3.(2012湖南娄底)如图,⊙O的直径CD垂直于AB,∠AOC=48°,则∠BDC=__________.
 
4.  (2012湖南长沙)如图,点A,P,B,C是半径为8的⊙O上的四点 ,且满足∠BAC=∠APC=60°.
 
(1)求证:△ABC是等边三角形;
(2)求圆心O到BC的距离OD.
5. (2012湖南怀化)如图,已知AB是⊙O的弦,OB=4,∠OBC=30°,点C是弦AB上任意一点(不与A,B重合),连接CO并延长CO交⊙O于点D,连接AD,DB.
 
(1)当∠ADC=18°时,求∠DOB的度数;
(2)若AC=23,求证:△ACD∽△OCB.
[研习预测试题]

1. 如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,如果AB=10,CD=8,那么线段OE的长为(  )
 
A.5    B.4   C.3    D.2
2. 如图,直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0),B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC的余弦值为(  )
 
A.12    B.34   C.32    D.45
3. 一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径OB=10,截面圆圆心O到水面的距离OC是6,则水面宽AB是(  )
 
A.16      B.10   C.8     D.6
4.如图,小华同学设计了一个圆直径的测量器,标有刻度的尺子OA,OB在O点钉在一起,并使它们保持垂直,在测直径时,把O点靠在圆周上,读得刻度OE=8个单位,OF=6个单位,则圆的直径为(  )
 
A.12个单位    B.10个单位   C.4个单位    D.15个单位
5.如图,已知在圆内接四边形ABCD中,∠B=30°,则∠D=________.
  
 6.如图,过A,C,D三点的圆的圆心为E,过B,F,E三点的圆的圆心为D,如果∠A=63°,那么∠DBE=____ ______.
 
7.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AD⊥BC于D点,且AC=5,DC=3,AB=42,则⊙O的直径等于________.
 
8. 如图,在圆内接四边形ABCD中,CD为∠BCA外角的平分线,F为弧AD上一点,BC=AF,延长DF与BA的延长线交于点E.求证:
 
(1)△ABD为等腰三角形;
(2)AC•AF=DF•FE.
参考答案
【知识梳理】
一、1.(1)圆心 半径
2.(1)线段 (2)部分 (3)半径 (4)重合
二、1.平分 平分
2.(1)不是直径 (2)圆心 两条
3.相等
三、1.相等 相等
四、1.圆心 圆 相交
2.(1)弧 (2)圆心角 (3)相等 相等 (4)直角 直径
导学必备知识
自主测试
1.A ∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°,
∴∠ACB=45°.故选A.
2.D ∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,
∴M为CD的中点,即CM=DM,选项A成立;
B为 的中点,即CB=DB,选项B成立;
在△ACM和△ADM中,
∵AM=AM,∠AMC=∠AMD=90°,CM=DM,
∴△ACM≌△ADM(SAS),
∴∠ACD=∠ADC,选项C成立;
而OM与MD不一定相等,选项D不成立.
故选D.
3.B ∵AC是⊙O的直径,∴∠ABC=90°.∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D,∴∠ABD=45°.∵∠C=50°,
∴∠D=50°,∴∠BAD的度数是180°-45°-50°=85° .
4.8 如图所示,在⊙O中,连接OA,过点O作OD⊥AB于点D,则AB=2AD.
 
∵钢珠的直径是10 mm,
∴钢珠的半径是5 mm.
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm,
∴OD=3 mm.
在Rt△AOD中,
∵AD=OA2-OD2=52-32=4(mm).
∴AB=2AD=2×4=8(mm).
故答案为8.
5.2 ∵AB是⊙O的弦,OC⊥AB于C,AB=23,
∴BC=12AB=3.∵OC=1,∴在Rt△OBC中,
OB=OC2+BC2=12+(3)2=2.
故答案为2.
6.150 因为∠AOC=60°,则它所对的弧度为60°,所以∠ABC所对的弧度为300°.因为∠ABC是圆周角,所以∠ABC=150°.
探究考点方法
触类旁通1.24 连接OA,当OP⊥AB时,OP最短,此时OP=5 cm,且AB=2AP.在Rt△AOP中,AP=OA2-OP2=132-52=12,所以AB=24 cm.
触类旁通2.B 由题意,得∠A=∠C=40°,由直径所对的圆周角是直角,得∠ADB=90°,根据直角三角形两锐角互余或三角形内角和定理得∠A+∠ABD=90°,从而得∠ABD=50°.
触类旁通3.48° 因为 的度数等于84°,所以∠COD=84°.因为OC=OD,所以∠OCD=48°.因为CA是∠OCD的平分线,所以∠ACD=∠ACO=24°,因为OA=OC,所以∠OAC=∠ACO=24°,因为∠ABD=∠ACD=24°,所以∠ABD+∠CAO=48°.
品鉴经典考题
1.D ∵AB∥CD,∴∠C=∠ABC=40°.
∴∠BOD=2∠C=2×40°=80°.
2.120° ∠BOC=2∠A=2×60°=120°.
3.24° 连接OB,∵CD⊥AB,∴∠BOC=∠AOC=48°.
∴∠BDC=12∠BOC=12×48°=24°.
4.(1)证明:∵∠ABC=∠APC,∠BAC=∠APC=60°,
∴∠ABC=∠BAC=60°.
∴△ABC是等边三角形.
(2)解:如图,连接OB,则OB=8,∠OBD=30°.
又∵OD⊥BC于点D,∴OD=12OB= 4.
 
5. (1)解:连接OA.
 
∵∠ADC=18°,
∴∠AOC=2∠ADC=36°.
∵OA=OB,
∴∠OAC=∠OBC=30°.
∴∠OCB=∠OAC+∠AOC=66°.
∴∠DOB=∠OCB+∠OBC=96°.
(2)证明:过点O作OE⊥AB于点E.
 
在Rt△OBE中,OB=4,∠OBC=30°,
∴BE=OB•cos 30°=4×32=23.
∵OE⊥AB,∴AB=2BE=43.
∵AC=23,∴C,E重合.
∴∠ACD=∠OCB=90°,
∠AOC=∠COB=90°-∠OBC=60°.
∴∠ADC=12∠AOC=30°.
∴∠ADC=∠OBC.∴△ACD∽△OCB.
研习预测试题
1.C 2.C 3.A 4.B
5.150° 6.18°
7. 52 连接AO并延长交圆于点E,连接BE.(如图)
 
∵AE为⊙O的直径,
∴∠ABE=90°.
∴∠ABE=∠ADC.
又 ∵∠AEB=∠ACD,
∴△ABE∽△ADC.
∴ABAD =AEAC.∵在Rt△A DC中,AC=5,DC=3,
∴AD=4.∴AE=52.
8.证明:(1)由圆的性质知∠MCD=∠DAB,∠DCA=∠DBA,而∠MCD=∠DCA,
∴∠DBA=∠DAB,故△ABD为等腰三角形.
(2)∵∠DBA=∠DAB,∴ = .
又∵BC=AF,∴ = ,∠CDB=∠FDA,
∴ = ,∴CD=DF.
由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知,
∠AFE=∠DBA=∠DCA,①
∠FAE=∠BDE.
∴∠CDA=∠CDB+∠BDA=∠FDA+∠BDA=∠BDE=∠FAE,②
由①②得△CDA∽△FAE.∴ACFE=CDAF,
∴AC•AF=CD•FE.
而CD=DF,∴AC•AF=DF•FE.

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