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2.3 函数的单调性(第二课时)

2.3 函数的单调性(第二课时)

教学目的:

1.. 巩固函数单调性的概念;熟练掌握证明函数单调性的方法和步骤;初步了解复合函数单调性的判断方法.

2.会求复合函数的单调区间. 明确复合函数单调区间是定义域的子集.

教学重点:熟练证明函数单调性的方法和步骤.

教学难点:单调性的综合运用

一、复习引入:

1.有关概念:增函数,减函数,函数的单调性,单调区间.

2.判断证明函数单调性的一般步骤:(区间内)设量,作差(或比),变形,比较,判断.

二、讲解新课:

1.函数单调性的判断与证明

例1.求函数 的单调区间.

2.复合函数单调性的判断

对于函数 ,如果 在区间 上是具有单调性,当 时, ,且 在区间 上也具有单调性,则复合函数 在区间 具有单调性的规律见下表:

增 ↗

减 ↘

增 ↗

减 ↘

增 ↗

减 ↘

增 ↗

减 ↘

减 ↘

增 ↗

以上规律还可总结为:“同向得增,异向得减”或“同增异减”.

证明:①设 ,且

上是增函数,

,且

上是增函数,∴ .

所以复合函数 在区间 上是增函数。

②设 ,且 ,∵ 上是增函数,

,且

上是减函数,∴ .

所以复合函数 在区间 上是减函数。

③设 ,且 ,∵ 上是减函数,

,且

上是增函数,∴ .

所以复合函数 在区间 上是减函数。

④设 ,且 ,∵ 上是减函数,

,且

上是减函数,∴ .

所以复合函数 在区间 上是增函数。

例2.求函数 的值域,并写出其单调区间。

解:题设函数由 复合而成的复合函数,

函数 的值域是

    在 上的值域是 .

故函数 的值域是 .

对于函数的单调性,不难知二次函数 在区间 上是减函数,在区间 上是增函数;

二次函数 区间 上是减函数,在区间 上是增函数。

时, ,即 .

时, ,即 .

x

[-1,0]

(0,1)

u=g(x)

y=f(u)

y=f(g(x))

综上所述,函数 在区间 上是增函数;在区间 上是减函数。

三、课堂练习:课本P60练习:3,4

四、作业:    课本P60 习题2.3 6(2),7

             补充,已知:f (x)是定义在[-1,1]上的增函数,且f(x-1)<f(x2-1),求x的取值范围.

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