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高中数学必修二《直线的交点坐标与距离公式》教案

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高中数学必修二《直线的交点坐标与距离公式》教学设计

教学背景:

解析几何第一章主要研究的是点线、线线的位置关系和度量关系,其中以点点距离、点线距离、线线位置关系为重点,点到直线的距离是其中最重要的环节之一,它是解决其它解析几何问题的基础。

教学目标:

知识目标:让学生掌握点到直线距离公式的推导方法并能利用公式求点线距离。

能力目标:通过让学生在实践中探索、观察、反思、总结,发现问题,解决问题,从而达到培养学生的自学能力,思维能力,应用能力和创新能力的目的。

情感目标:培养学生勇于探索、善于研究的精神,挖掘其非智力因素资源,培养其良好的数学学习品质。

重点难点:

教学重点:公式的推导与应用。

教学难点:知识教学方面:如何启发学生自己构思出距离公式的推导方案。

情感教育方面:如何营造课堂积极求解的氛围。以激发学生的创造力。增强学生知难而进的决心。

教学过程:

一、创设情境,引入问题

问题1 直线方程的一般式是怎么样的,其中的系数有什么要求?

(学生回答)Ax+By+C=0 (AB不同时为0)(板书)

问题2 两点AB间的距离公式是什么?

(学生回答)PQ=

2

1

2

2

1

2

)

(

)y

y

x

x-

+

-

问题3 当直线AB垂直y轴或x轴时,公式又成什么样子的?(动画)

(学生回答)AB=|x

2-x

1

||y

2

-y

1

|

问题4 B在直线Ax+By+C=0,A在直线外,则什么时候它们最近?

(学生回答)当直线AB与直线Ax+By+C=0垂直时。(动画)

这时AB就是点A到直线Ax+By+C=0的距离,它会等于什么呢?这就是现在我们要研究的问题。(板书课题)

二、课题解决

研究一般性的问题往往从研究特殊情形入手。

问题1 如何求点P(3,5)到直线Ly=2的距离?(作图)

问题2 变为求点P(3,5)到直线Lx=2/3的距离?如何求?

学生思考一会儿,教师再引导学生同理来求,并归纳:己知Px

0,y

),当直线平行x

轴时,为d=|y

0-y

1

|;当直线平行y轴时,为d=|x

-x

1

|。(板书)

问题3 那么一般情况下,己知Px0,y0)与直线LAx+By+C=0,你们想到用什么方案

解决这个问题呢?

学生容易得到:先求过点P且垂直L的直线;再求两直线交点Q的坐标;最后用两点间的距离公式求|PQ|。教师简要板书步骤,并让学生体会这种方法繁简程度?

教师指出,我们还要寻找其它的简便的方法。

我们用一个特殊点(00)来代Px

0,y

)来思考一下,有没有其它的好方法。

问题4 若直线交两坐标分别于MN两点,则有什么关系式存在?

学生得到:|OM||ON|=|MN||OQ|

教师:哪些可以求出来?

|OM||ON||MN|,从而算出|OQ|

教师可举具体的直线让学生运算,体会过程。如果学生想到其他办法,教师充分肯定。

(移到一般点处)(动画)如何求点Px0y0)到直线Ax+By+C=0的距离呢?能否从特殊问题的解决中受到一些启发呢?

教师让想到的学生回答,过点Px轴、y轴的平行线。

教师通过几何画板添加相关线。

|PM||PN|=|MN||PQ|

得到|PQ|=|PM||PN|/|MN|

学生口述,教师板演得到公式。

问题5 这个公式使用的条件是什么?

问题6 这个公式怎么记?

让学生分析,并观察归纳公式的特征。

师:点P坐标带入分子可能为0吗?

学生分析:可能,此时点在直线上。

师:从形式上看公式——下面根式好象楼梯,因此可说成登上楼梯关上门

问题6 这个公式有什么限制条件吗?

学生反思:没有,对任意点和任意直线都成立。

教师将特殊直线和特殊点说一下,将特殊情况与一般情况进行统一。

归纳:点Px

0,y

)到直线Ax+By+C=0的距离为d=

2

2

B

A

C

By

Ax

+

+

+

三、公式应用,简单模仿

例:求点P-12)到下列直线的距离:

12x+y-10=0;

23x=2.

教师板演,指出解题规范及注意点。

做以下的练习,直线与坐标轴平行时的应用。

1. A(-3,2)到直线L:y=-3的距离为______.

2. P(-1,2)到直线L:3x=2的距离为______.

3. P(5,-4)到两坐标轴的距离和为______.

4. 直线x=-1与直线x=7间的距离是_______.

以上的题目可学生口答,教师简要分析。

1)在什么条件下,用什么公式?

己知Px

0,y

),当直线平行x轴时,为d=|y

-y

1

|;当直线平行y轴时,为d=|x

-x

1

|

2)第4题中可取怎样的两点?与x轴的两个交点。

活用公式,理解本质

5. 求点P(-1,2)到直线L:x/5+y/10=1的距离。

6.已知点(a, 6)到直线 4x-3y-3=0的距离为28/5,求a的值。

7. 已知点A(1,0)到直线x/m+y=1的距离为1/2,求m的值。

8.求过原点且与点(-2,5)的距离为2的直线方程。

学生上来板书,教师再叫其它同学来评价。

注:一般式中AB化整;求其它未知量;要注意数形结合,特别是第8题,要注意有两条直线。

四、小结内容,形成体系

问:我们学了几种推导点线距离的方法?

问:哪几种求点线距离的方式?①|坐标差|②距离公式.

要注意我们在研究一般性问题时可以先从特殊问题入手,从特殊问题的解决过程中得到启发,这也是我们这节课的一个重要收获。

师:思考新的问题——两平行直线间的距离公式是什么?怎么求?

五、作业:

1.课本第97页第679

2.思考题:你还能想出推导距离公式的其它方法吗?请课后讨论。

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