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高中数学必修一《几类不用增长的函数模型》精品教案

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高中数学必修一《几类不用增长的函数模型教学设计

学习目标

1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义,理解它们的增长差异;

2. 借助信息技术,利用函数图象及数据表格,比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异;

3. 恰当运用函数的三种表示法(解析式、图象、列表)并借助信息技术解决一些实际问题.

课前准备(预习教材P95~ P98,找出疑惑之处)

阅读:澳大利亚兔子数爆炸

有一大群喝水、嬉戏的兔子,但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加,不到100年,兔子们占领了整个澳大利亚,数量达到75亿只.可爱的兔子变得可恶起来,75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降低,而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头痛不已,他们采用各种方法消灭这些兔子,直至二十世纪五十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔,澳大利亚人才算松了一口气.

典型例题

1假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:

方案一:每天回报40元;

方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;

方案三:第一天回报0 .4元,以后每天的回报比前一天翻一番.

请问,你会选择哪种投资方案?

反思:① 在本例中涉及哪些数量关系?如何用函数描述这些数量关系?

② 根据此例的数据,你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识?借助计算器或计算机作出函数图象,并通过图象描述一下三种方案的特点.

2某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金 (单位:万元)随销售利润 (单位:万元)的增加而增加但奖金不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型:

; ; .

问:其中哪个模型能符合公司的要求?

反思:

① 此例涉及了哪几类函数模型?本例实质如何?

② 根据问题中的数据,如何判定所给的奖励模型是否符合公司要求?

1. 如图,是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系: (t0,a0且a1).有以下叙述

① 第4个月时,剩留量就会低于 ;

② 每月减少的有害物质量都相等;

③ 若剩留量为 所经过的时间分别是 ,则 .

其中所有正确的叙述是 .

2. 经市场调查分析知,某地明年从年初开始的前 个月,对某种商品需求总量 (万件)近似地满足关系 .

写出明年第 个月这种商品需求量 (万件)与月份 的函数关系式.

课堂小结

1. 两类实际问题:投资回报、设计奖励方案;2. 几种函数模型:一次函数、对数函数、指数函数;3. 应用建模(函数模型);

知识拓展

解决应用题的一般程序:

① 审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系;

② 建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;

③ 解模:求解数学模型,得出数学结论;

④ 还原:将用数学知识和方法得出的结论,还原为实际问题的意义.

学习评价

1. 某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8个,现有2个这样的细胞,分裂x次后得到的细胞个数y为( ).

A. B. y=2 C. y=2 D. y=2x

2. 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( ).

A. 一次函数 B. 二次函数

C. 指数型函数 D. 对数型函数

3. 一等腰三角形的周长是20,底边长y是关于腰长x的函数,它的解析式为( ).

A. y=20-2x (x10) B. y=20-2x (x10) C. y=20-2x (510) D. y=20-2x(5

4. 某新品电视投放市场后第1个月销售100台,第2个月销售200台,第3个月销售400台,第4个月销售790台,则销量y与投放市场的月数x之间的关系可写成 .

5. 某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的,如果某台计算机感染上这种病毒,那么每轮病毒发作时,这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机. 现在10台计算机在第1轮病毒发作时被感染,问在第5轮病毒发作时可能有 台计算机被感染. (用式子表示)

课后作业

1. 某服装个体户在进一批服装时,进价已按原价打了七五折,他打算对该服装定一新价标在价目卡上,并注明按该价20%销售. 这样,仍可获得25%的纯利. 求此个体户给这批服装定的新标价与原标价之间的函数关系.

2. 某书店对学生实行促销优惠购书活动,规定一次所购书的定价总额:①如不超过20元,则不予优惠;②如超过20元但不超过50元,则按实价给予9折优惠;③如超过50元,其中少于50元包括50元的部分按②给予优惠,超过50元的部分给予8折优惠.

(1)试求一次购书的实际付款y元与所购书的定价总额x元的函数关系;

(2)现在一学生两次去购书,分别付款16.8元和42.3元,若他一次购买同样的书,则应付款多少?比原来分两次购书优惠多少?

3.2.1几类不同增长的函数模型(2)

学习目标

1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义,理解它们的增长差异;

2. 借助信息技术,利用函数图象及数据表格,比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异;

3. 恰当运用函数的三种表示法(解析式、图象、列表)并借助信息技术解决一些实际问题.

旧知提示 (预习教材P98~ P101,找出疑惑之处)

复习1:用石板围一个面积为200平方米的矩形场地,一边利用旧墙,则靠旧墙的一边长为___________米时,才能使所有石料的最省.

复习2:三个变量 随自变量 的变化情况如下表:

1 3 5 7 9 11

y1 5 135 625 1715 3645 6633

y2 5 29 245 2189 19685 177149

y3 5 6.1 6.61 6.95 7.20 7.40

其中 呈对数型函数变化的变量是________,呈指数型函数变化的变量是________,呈幂函数型变化的变量是________.

合作探究

探究:幂、指、对函数的增长差异

问题:幂函数 、指数函数 、对数函数 在区间 上的单调性如何?增长有差异吗?

实验:函数 ,试计算:

1 2 3 4 5 6 7 8

y1

y2

y3 0 1 1.58 2 2.32 2.58 2.81 3

由表中的数据,你能得到什么结论?

思考: 大小关系是如何的?增长差异?

结论:在区间 上,尽管 都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个档次上,随着x的增大, 的增长速度越来越快,会超过并远远大于 的增长速度.而 的增长速度则越来越慢.因此,总会存在一个 ,当 时,就有 .

典型例题

1某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件,1.2万件,1.3万件,为了估计以后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量 与月份的 关系,模拟函数可以选用二次函数或函数 . 已知4月份该产品的产量为1.37万件,请问用以上哪个函数作为模拟函数较好,并说明理由.

小结:待定系数法求解函数模型;优选模型.

1. 为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系式为 (a为常数),如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题:

(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为 .

(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室,那从药物释放开始,至少需要经过 小时后,学生才能回到教室.

2. 某商场购进一批单价为6元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多利润,商场决定提高销售价格. 经试验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件,若按25元的价格销售时,每月能卖210件,假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数.

(1)试求y与x之间的关系式;

(2)在商品不积压,且不考虑其它因素的条件下,问销售价格定为多少时,才能时每月获得最大利润?每月的最大利润是多少?

课堂小结

直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义.

知识拓展

在科学试验、工程设计、生产工艺和各类规划、决策与管理等许多工作中,常常要制订最优化方案,优选学是研究如何迅速地、合理地寻求这些方案的科学理论、模型与方法. 它被广泛应用于管理、生产、科技和经济领域中,几乎可以用于凡是有数值加工的每个领域. 中国数学家华罗庚在推广优选方法的理论研究和开发研究工作中付出巨大贡献.

学习评价

1. 某工厂签订了供货合同后组织工人生产某货物,生产了一段时间后,由于订货商想再多订一些,但供货时间不变,该工厂便组织工人加班生产,能反映该工厂生产的货物数量y与时间x的函数图象大致是( ).

2. 下列函数中随 增大而增大速度最快的是( ).

A. B. C. D.

3. 根据三个函数 给出以下命题:

(1) 在其定义域上都是增函数;

(2) 的增长速度始终不变;(3) 的增长速度越来越快;

(4) 的增长速度越来越快;(5) 的增长速度越来越慢。

其中正确的命题个数为( ).

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

4. 当 的大小关系是 .

5. 某厂生产中所需一些配件可以外购,也可以自己生产,如外购,每个价格是1.10元;如果自己生产,则每月的固定成本将增加800元,并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元,则决定此配件外购或自产的转折点是____件(即生产多少件以上自产合算)

课外作业

1. 下列函数关系中,可以看着是指数型函数 ( 模型的是( ).

A.竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)

B.我国人口年自然增长率为1﹪,这样我国人口总数随年份的变化关系

C.如果某人ts内骑车行进了1km,那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系

D.信件的邮资与其重量间的函数关系

2. 用长度为24的材料围一个矩形场地,中间且有两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为( ).

A.3 B.4 C.6 D.12

3. 已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y=a(0.5)x+b,现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品的产量为_________.

4. 某商店出售茶壶和茶杯,茶壶每个定价20元,茶杯每个定价为5元,该店推出两种优惠办法:

(1)买一个茶壶赠送一个茶杯;

(2)按总价的92%付款.

某顾客需购茶壶4个,茶杯若干(不少于4个),若需茶杯 个,付款数为y(元),试分别建立两种优惠办法中y与 的函数关系,并讨论顾客选择哪种优惠方法更合算.

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