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- 1 -第 7 节 抛物线考试要求 1.了解抛物线的实际背景,了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.知 识 梳 理1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F 叫做抛物线的焦点,直线 l叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式:{M||MF|=d}(d为点 M到准线 l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)标准方程p的几何意义:焦点 F到准线 l的距离顶点 O(0,0)对称轴 y=0 x=0焦点 F(p2,0 ) F(-p2,0) F(0,p2 ) F(0,-p2)离心率 e=1准线方程 x=-p2x=p2y=-p2y=p2范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R性质开口方向 向右 向左 向上 向下[常用结论与微点提醒]1.通径:过焦点且垂直于对称轴的弦长等于 2p,通径是过焦点最短的弦.2.抛物线 y2=2px(p0)上一点 P(x0,y0)到焦点 F (p2,0 )的距离|PF|=x0+p2,也称为抛物线的焦半径.- 2 -诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点 F和一条定直线 l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(  )(2)方程 y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x轴上的抛物线,且其焦点坐标是(a4,0 ),准线方程是 x=-a4.(  )(3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.(  )(4)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.(  )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径,那么抛物线 x2=-2ay(a0)的通径长为 2a.(  )解析 (1)当定点在定直线上时,轨迹为过定点 F与定直线 l垂直的一条直线,而非抛物线.(2)方程 y=ax2(a≠0)可化为 x2=1ay,是焦点在 y 轴上的抛物线,且其焦点坐标是(0,14a),准线方程是 y=-14a.(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.(4)一条直线平行抛物线的对称轴,此时与抛物线只有一个交点,但不相切.答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√2.(老教材选修 2-1P72A1 改编)顶点在原点,且过点 P(-2,3)的抛物线的标准方程是________________.解析 设抛物线的标准方程是 y2=kx 或 x2=my,代入点 P(-2,3),解得 k=-92,m=43,所以 y2=-92x或 x2=43y.答案 y2=-92x或 x2=43y3. (老教材选修 2-1P67A3 改编)抛物线 y2=8x 上到其焦点 F 距离为 5 的点的个数为________.解析 设 P(x1,y1),则|PF|=x1+2=5,得 x1=3,y1=±2 6.故满足条件的点的个数为 2.答案 2- 3 -4.(2019·全国Ⅱ卷)若抛物线 y2=2px(p0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点,则 p=(  )A.2 B.3 C.4 D.8解析 由题意知,抛物线的焦点坐标为(p2,0 ),椭圆的焦点坐标为( ± 2p,0),所以p2= 2p,解得 p=0(舍去)或 p=8.答案 D5.(2020·河南中原名校联考)已知 F是抛物线 y2=x的焦点,A,B是抛物线上的两点,且|AF|+|BF|=3,则线段 AB的中点到 y轴的距离为(  )A.34 B.1 C.54 D.74解析 如图所示,设抛物线的准线为 l,AB 的中点为 M,作 AA1⊥l 于点 A1,BB1⊥l 于点 B1,MM1⊥l于点 M1,由抛物线的方程知 p=12,由抛物线定义知|AA1|+|BB1|=|AF|+|BF|=3,所以点 M到 y轴的距离为|MM1|-p2=12(|AA1|+|BB1|)-p2=12×3-14=54,故选 C.答案 C6.(2019·昆明诊断)已知抛物线方程为 y2=8x,若过点 Q(-2,0)的直线 l与抛物线有公共点,则直线 l的斜率的取值范围是________.解析 由题意知,直线 l的斜率存在,设直线 l的方程为 y=k(x+2),代入抛物线方程,消去 y整理得 k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,当 k=0时,显然满足题意;当 k≠0时,Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)≥0,解得-1≤k<0或 0<k≤1,因此 k的取值范围是[-1,1].答案 [-1,1]考点一 抛物线的定义、标准方程及其性质【例 1】 (1)已知抛物线 C 与双曲线 x2-y2=1 有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线 C 的方程是(  )- 4 -A.y2=±2 2x B.y2=±2xC.y2=±4x D.y2=±4 2x(2)(2020·福州联考)设抛物线 y2=4x的焦点为 F,准线为 l,P为该抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,若直线 AF的斜率为- 3,则△PAF的面积为(  )A.2 3 B.4 3 C.8 D.8 3(3)动圆过点(1,0),且与直线 x=-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为__________.解析 (1)由已知可知双曲线的焦点为(- 2,0),( 2,0).设抛物线方程为 y2=±2px(p0),则p2= 2,所以 p=2 2,所以抛物线方程为 y2=±4 2x.故选 D.(2)设准线与 x轴交于点 Q,因为直线 AF的斜率为- 3,|FQ|=2,所以∠AFQ=60°,|FA|=4,又因为|PA|=|PF|,∠PAF=60°,所以△PAF是边长为 4的等边三角形,所以△PAF的面积为34×|FA|2=34×42=4 3.故选 B.(3)设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与到直线 x=-1 的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y2=4x.答案 (1)D (2)B (3)y2=4x规律方法 1.应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义,把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)抛物线焦点到准线的距离为 p.2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数 p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.3.在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【训练 1】 (1)设抛物线 y2=2px 的焦点在直线 2x+3y-8=0 上,则该抛物线的准线方程为(  )A.x=-4 B.x=-3 C.x=-2 D.x=-1(2)(2020·佛山模拟)已知抛物线 x2=2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,点 P(4,y0)在抛物线上,K为 l与 y轴的交点,且|PK|= 2|PF|,则 y0=________.- 5 -解析 (1)直线 2x+3y-8=0与 x轴的交点为(4,0),∴抛物线 y2=2px的焦点为(4,0),∴准线方程为 x=-4.(2)作 PM⊥l,垂足为 M,由抛物线定义知|PM|=|PF|,又知|PK|= 2|PF|,∴在直角三角形PKM中,sin∠PKM=|PM||PK|=|PF||PK|=22,∴∠PKM=45°,∴△PMK为等腰直角三角形,∴|PM|=|MK|=4,又知点 P在抛物线 x2=2py(p>0)上,∴{py0=8,y0+p2=4,解得{p=4,y0=2.答案 (1)A (2)2考点二 与抛物线有关的最值问题  多维探究角度 1 到焦点与定点距离之和(差)最值问题【例 2-1】 点 P 为抛物线 y2=4x 上的动点,点 A(2,1)为平面内定点,F 为抛物线焦点,则:(1)|PA|+|PF|的最小值为________;(2)(多填题)|PA|-|PF|的最小值为________,最大值为________.解析 (1)如图 1,由抛物线定义可知,|PF|=|PH|,|PA|+|PF|=|PA|+|PH|,从而最小值为 A到准线的距离为 3.(2)如图 2,当 P,A,F三点共线,且 P在 FA延长线上时,|PA|-|PF|有最小值为-|AF|=-2.当 P,A,F三点共线,且 P在 AF延长线上时,|PA|-|PF|有最大值为|AF|= 2.故|PA|-|PF|最小值为- 2,最大值为 2.答案 (1)3 (2)- 2  2规律方法 1.解决到焦点与定点距离之和最小问题,先将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,再结合图形解决问题.2.到两定点距离之差的最值问题,当且仅当三点共线时取最值.角度 2 到点与准线的距离之和最值问题【例 2-2】 设 P是抛物线 y2=4x上的一个动点,则点 P到点 A(-1,1)的距离与点 P到直线- 6 -x=-1的距离之和的最小值为________.解析 如图,易知抛物线的焦点为 F(1,0),准线是 x=-1,由抛物线的定义知点 P到直线 x=-1 的距离等于点 P 到 F 的距离.于是,问题转化为在抛物线上求一点 P,使点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P到 F(1,0)的距离之和最小,显然,连接 AF与抛物线相交的点即为满足题意的点,此时最小值为 [1-(-1)]2+(0-1)2= 5.答案  5规律方法 解决到点与准线的距离之和最值问题,先将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离,再构造出“两点之间线段最短”,使问题得解.角度 3 动弦中点到坐标轴距离最短问题【例 2-3】 已知抛物线 x2=4y上有一条长为 6的动弦 AB,则 AB的中点到 x轴的最短距离为(  )A.34 B.32 C.1 D.2解析 由题意知,抛物线的准线 l:y=-1,过点 A作 AA1⊥l交 l于点 A1,过点 B作 BB1⊥l交 l 于点 B1,设弦 AB 的中点为 M,过点 M 作 MM1⊥l 交 l 于点 M1,则|MM1|=|AA1|+|BB1|2.因为|AB|≤|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点),即|AF|+|BF|≥6,所以|AA1|+|BB1|≥6,2|MM1|≥6,|MM1|≥3,故点 M到 x轴的距离 d≥2,故选 D.答案 D规律方法 解决动弦中点到坐标轴距离最短问题将定长线段的中点到准线的距离转化为线段端点到准线距离之和的一半,再根据三角形中两边之和大于第三边得出不等式求解.角度 4 焦点弦中距离之和最小问题【例 2-4】 已知抛物线 y2=4x,过焦点 F的直线与抛物线交于 A,B两点,过 A,B分别作 y轴的垂线,垂足分别为 C,D,则|AC|+|BD|的最小值为________.解析 由题意知 F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知,当|AB|为通径,即|AB|=2p=4 时为最小值,- 7 -所以|AC|+|BD|的最小值为 2.答案 2规律方法 过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径,通径是抛物线所有过焦点的弦中最短的,若能将问题转化为与通径有关的问题,则可以用通径最短求最值.角度 5 到定直线的距离最小问题【例 2-5】 (一题多解)抛物线 y=-x2 上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是________.解析 法一 如图,设与直线 4x+3y-8=0平行且与抛物线 y=-x2相切的直线为 4x+3y+b=0,切线方程与抛物线方程联立得{y=-x2,4x+3y+b=0消去 y整理得 3x2-4x-b=0,则Δ=16+12b=0,解得 b=-43,故切线方程为 4x+3y-43=0,抛物线 y=-x2上的点到直线 4x+3y-8=0距离的最小值是这两条平行线间的距离 d=|8-43 |5=43.法二 对 y=-x2,有 y′=-2x,如图,设与直线 4x+3y-8=0平行且与抛物线 y=-x2相切的直线与抛物线的切点是 T(m,-m2),则切线斜率 k=y′|x=m=-2m=-43,所以 m=23,即切点 T(23,-49),点 T到直线 4x+3y-8=0的距离 d=|83-43-8|16+9=43,由图知抛物线 y=-x2上的点到直线 4x+3y-8=0距离的最小值是43.答案 43规律方法 抛物线上的动点到定直线的距离,可以转化为平行线间的距离,也可以利用单变量设点利用函数思想求最值.【训练 2】 (1)若在抛物线 y2=-4x上存在一点 P,使其到焦点 F的距离与到 A(-2,1)的距离之和最小,则该点的坐标为(  )A.(-14,1) B.(14,1 )C.(-2,-2 2) D.(-2,2 2)- 8 -(2)已知 P 为抛物线 y2=4x 上一个动点,Q 为圆 C:x2+(y-4)2=1 上一个动点,那么点 P 到点 Q的距离与点 P到抛物线准线的距离之和的最小值是________.解析 (1)如图,∵y2=-4x,∴p=2,焦点坐标为(-1,0).依题意可知当 A,P 及 P 到准线的垂足三点共线时,点 P与点 F、点 P与点 A的距离之和最小,故点 P的纵坐标为 1.将 y=1代入抛物线方程求得 x=-14,则点 P的坐标为(-14,1).故选 A.(2)由题意知,圆 C:x2+(y-4)2=1 的圆心为 C(0,4),半径为 1,抛物线的焦点为 F(1,0).根据抛物线的定义,点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线准线的距离之和即点 P 到点 Q 的距离与点 P到抛物线焦点的距离之和,因此|PQ|+|PF|≥|PC|+|PF|-1≥|CF|-1= 17-1.答案 (1)A (2) 17-1考点三 直线与抛物线的综合问题【例 3】 (2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线 C:y2=3x 的焦点为 F,斜率为32的直线 l 与 C 的交点为 A,B,与 x轴的交点为 P.(1)若|AF|+|BF|=4,求直线 l的方程;(2)若AP→ =3PB→ ,求|AB|.解 设直线 l的方程为:y=32x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得 F(34,0 ),故|AF|+|BF|=x1+x2+32.又|AF|+|BF|=4,所以 x1+x2=52.由{y=32x+t,y2=3x可得 9x2+12(t-1)x+4t2=0,其中Δ=144(1-2t)0,则 x1+x2=-12(t-1)9.从而-12(t-1)9=52,得 t=-78(满足Δ0).所以 l的方程为 y=32x-78.- 9 -(2)由AP→ =3 PB→ 可得 y1=-3y2.由{y=32x+t,y2=3x可得 y2-2y+2t=0,其中Δ=4-8t0,所以 y1+y2=2,从而-3y2+y2=2,故 y2=-1,y1=3.代入 C的方程得 x1=3,x2=13.所以 A(3,3),B(13,-1),故|AB|=4 133.规律方法 1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系.2.有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.【训练 3】 如图所示,抛物线关于 x轴对称,它的顶点在坐标原点,点 P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程;(2)当 PA与 PB的斜率存在且倾斜角互补时,求 y1+y2的值及直线 AB的斜率.解 (1)由已知条件,可设抛物线的方程为y2=2px(p>0).∵点 P(1,2)在抛物线上,∴22=2p×1,解得 p=2.故所求抛物线的方程是 y2=4x,准线方程是 x=-1.(2)设直线 PA的斜率为 kPA,直线 PB的斜率为 kPB,则 kPA=y1-2x1-1(x1≠1),kPB=y2-2x2-1(x2≠1),∵PA与 PB的斜率存在且倾斜角互补,∴kPA=-kPB.- 10 -由 A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得 y21=4x1,①y2=4x2,②∴y1-214y-1=-y2-214y-1,∴y1+2=-(y2+2).∴y1+y2=-4.由①-②得,y21-y2=4(x1-x2),∴kAB=y1-y2x1-x2=4y1+y2=-1(x1≠x2).数学抽象——活用抛物线焦点弦的四个结论1.数学抽象素养水平表现为能够在得到的数学结论的基础上形成新命题,能够针对具体的问题运用数学方法解决问题.本课时抛物线的焦点弦问题的四个常用结论即为具体表现之一.2.设 AB是过抛物线 y2=2px(p0)焦点 F的弦,若 A(x1,y1),B(x2,y2),则(1)x1·x2=p24.(2)y1·y2=-p2.(3)|AB|=x1+x2+p=2psin2α(α是直线 AB的倾斜角).(4)1|AF|+1|BF|=2p为定值(F是抛物线的焦点).【例 1】 过抛物线 y2=4x的焦点 F的直线 l与抛物线交于 A,B两点,若|AF|=2|BF|,则|AB|等于(  )A.4 B.92 C.5 D.6[一般解法]易知直线 l的斜率存在,设为 k,则其方程为y=k(x-1).由{y=k(x-1),y2=4x 得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0,得 xA·xB=1,①因为|AF|=2|BF|,由抛物线的定义得 xA+1=2(xB+1),即 xA=2xB+1,②由①②解得 xA=2,xB=12,- 11 -所以|AB|=|AF|+|BF|=xA+xB+p=92.[应用结论]法一 由对称性不妨设点 A在 x轴的上方,如图设 A,B在准线上的射影分别为 D,C,作 BE⊥AD于 E,设|BF|=m,直线 l的倾斜角为θ,则|AB|=3m,由抛物线的定义知|AD|=|AF|=2m,|BC|=|BF|=m,所以 cos θ=|AE||AB|=13,所以 tan θ=2 2.则 sin2θ=8cos2θ,∴sin2θ=89.又 y2=4x,知2p=4,故利用弦长公式|AB|=2psin2θ=92.法二 因为|AF|=2|BF|,所以1|AF|+1|BF|=12|BF|+1|BF|=32|BF|=2p=1,解得|BF|=32,|AF|=3,故|AB|=|AF|+|BF|=92.答案 B【例 2】 设 F为抛物线 C:y2=3x的焦点,过 F且倾斜角为 30°的直线交 C于 A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为(  )A.3 34 B.9 38 C.6332 D.94[一般解法]由已知得焦点坐标为 F(34,0 ),因此直线 AB 的方程为 y=33 (x-34 ),即 4x-43y-3=0.与抛物线方程联立,化简得 4y2-12 3y-9=0,故|yA-yB|= (yA+yB)2-4yAyB=6.因此 S△OAB=12|OF||yA-yB|=12×34×6=94.[应用结论]由 2p=3,及|AB|=2psin2α- 12 -得|AB|=2psin2α=3sin230°=12.原点到直线 AB的距离 d=|OF|·sin 30°=38,故 S△AOB=12|AB|·d=12×12×38=94.答案 D【例 3】 如图,过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 F的直线交抛物线于点 A,B,交其准线 l于点C,若 F是 AC的中点,且|AF|=4,则线段 AB的长为(  )A.5 B.6 C.163 D.203[一般解法]如图,设 l与 x轴交于点 M,过点 A作 AD⊥l交 l于点 D,由抛物线的定义知,|AD|=|AF|=4,由 F是 AC的中点,知|AD|=2|MF|=2p,所以 2p=4,解得 p=2,所以抛物线的方程为 y2=4x.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+p2=x1+1=4,所以 x1=3,可得 y1=2 3,所以 A(3,2 3),又 F(1,0),所以直线 AF的斜率 k=2 33-1= 3,所以直线 AF的方程为 y= 3(x-1),代入抛物线方程 y2=4x得 3x2-10x+3=0,所以 x1+x2=103,|AB|=x1+x2+p=163.故选 C.[应用结论]法一 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+p2=x1+1=4,所以 x1=3,又 x1x2=p24=1,所以 x2=13,所以|AB|=x1+x2+p=3+13+2=163.法二 因为1|AF|+1|BF|=2p,|AF|=4,所以|BF|=43,所以|AB|=|AF|+|BF|=4+43=163.- 13 -答案 CA级 基础巩固一、选择题1.抛物线 y=4x2的焦点到准线的距离为(  )A.2 B.1 C.14 D.18解析 由 y=4x2得 x2=14y,所以 2p=14,p=18,则抛物线的焦点到准线的距离为18.答案 D2.(2019·福州调研)设抛物线 y2=8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是(  )A.4 B.6 C.8 D.12解析 如图所示,抛物线的准线 l的方程为 x=-2,F是抛物线的焦点,过点 P作 PA⊥y轴,垂足是 A,延长 PA交直线 l于点 B,则|AB|=2.由于点 P到 y轴的距离为 4,则点 P到准线 l的距离|PB|=4+2=6,所以点 P到焦点的距离|PF|=|PB|=6.故选 B.答案 B3.(2020·成都诊断)已知抛物线 y2=2px(p>0),点 C(-4,0),过抛物线的焦点作垂直于 x轴的直线,与抛物线交于 A,B 两点,若△CAB 的面积为 24,则以直线 AB 为准线的抛物线的标准方程是(  )A.y2=4x B.y2=-4xC.y2=8x D.y2=-8x解析 因为 AB⊥x 轴,且 AB 过焦点 F,所以线段 AB 是焦点弦,且|AB|=2p,所以 S△CAB=12×2p×(p2+4 )=24,解得 p=4 或-12(舍),所以抛物线方程为 y2=8x,所以直线 AB 的方程为 x=2,所以以直线 AB为准线的抛物线的标准方程为 y2=-8x,故选 D.答案 D4.设抛物线 C:y2=3x的焦点为 F,点 A为 C上一点,若|FA|=3,则直线 FA的倾斜角为(  )- 14 -A.π3 B.π4C.π3或2π3 D.π4或3π4解析 如图,作 AH⊥l于 H,则|AH|=|FA|=3,作 FE⊥AH于 E,则|AE|=3-32=32,在 Rt△AEF中,cos∠EAF=|AE||AF|=12,∴∠EAF=π3,即直线 FA的倾斜角为π3,同理点 A在 x轴下方时,直线 FA的倾斜角为2π3.答案 C5.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是(  )A.3 55 B.2 C.115 D.3解析 由题可知 l2:x=-1 是抛物线 y2=4x 的准线,设抛物线的焦点为 F(1,0),则动点 P到 l2的距离等于|PF|,则动点 P 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值,即焦点 F 到直线l1:4x-3y+6=0的距离,所以最小值是|4-0+6|5=2.答案 B二、填空题6.如图是抛物线形拱桥,当水面在 l时,拱顶离水面 2米,水面宽 4米.水位下降 1米后,水面宽________米.解析 建立如图平面直角坐标系,设抛物线方程为 x2=-2py(p>0).- 15 -由题意将点 A(2,-2)代入 x2=-2py,得 p=1,故 x2=-2y.设 B(x,-3),代入 x2=-2y中,得 x= 6,故水面宽为 2 6米.答案 2 67.(2020·昆明诊断)设 F为抛物线 y2=2x的焦点,A,B,C为抛物线上三点,若 F为△ABC的重心,则|FA→ |+|FB→ |+|FC→ |的值为________.解析 依题意,设点 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),又焦点 F(12,0 ),所以 x1+x2+x3=3×12=32,则|FA→ |+|FB→ |+|FC→ |=(x1+12)+(x2+12)+(x3+12)=(x1+x2+x3)+32=32+32=3.答案 38.已知双曲线 C1:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为 2.若抛物线 C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线 C1的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2的方程为________.解析 因为双曲线 C1:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为 2,所以 2=ca= 1+b2a2,所以ba=3,所以渐近线方程为 3x±y=0,因为抛物线 C2:x2=2py(p0)的焦点为 F(0,p2 ),所以F到双曲线 C1的渐近线的距离为|p2 |3+1=2,由于 p0,所以 p=8,所以抛物线 C2的方程为 x2=16y.答案 x2=16y三、解答题9.设 A,B为曲线 C:y=x24上两点,A与 B的横坐标之和为 4.(1)求直线 AB的斜率;(2)设 M为曲线 C上一点,C在 M处的切线与直线 AB平行,且 AM⊥BM,求直线 AB的方程.解 (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1≠x2,y1=x4,y2=x4,x1+x2=4.于是直线 AB的斜率 k=y1-y2x1-x2=x1+x24=1.(2)由 y=x24,得 y′=x2.设 M(x3,y3),由题设知x32=1,解得 x3=2,于是 M(2,1).设直线 AB的方程为 y=x+m,- 16 -故线段 AB的中点为 N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将 y=x+m代入 y=x24得 x2-4x-4m=0.当Δ=16(m+1)0,即 m-1时,x1,2=2±2 m+1.从而|AB|= 2|x1-x2|=4 2(m+1).由题设知|AB|=2|MN|,即 4 2(m+1)=2(m+1),解得 m=7.所以直线 AB的方程为 x-y+7=0.10.已知过抛物线 y2=2px(p0)的焦点,斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若OC→ =OA→ +λOB→ ,求λ的值.解 (1)抛物线 y2=2px的焦点为(p2,0 ),所以直线 AB的方程为 y=2 2(x-p2 ),由{y=2 2(x-p2 ),y2=2px,消去 y得 4x2-5px+p2=0,所以 x1+x2=5p4,由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,即5p4+p=9,所以 p=4.所以抛物线的方程为 y2=8x.(2)由 p=4知,方程 4x2-5px+p2=0,可化为 x2-5x+4=0,解得 x1=1,x2=4,故 y1=-2 2,y2=4 2.所以 A(1,-2 2),B(4,4 2).则OC→ =OA→ +λOB→ =(1,-2 2)+λ(4,4 2)=(1+4λ,-2 2+4 2λ).因为 C为抛物线上一点,所以(-2 2+4 2λ)2=8(1+4λ),整理得λ2-2λ=0,所以λ=0或λ=2.B级 能力提升- 17 -11.(2020·石家庄模拟)已知抛物线 y2=4x的焦点为 F,过点 F和抛物线上一点 M(2,2 2)的直线 l交抛物线于另一点 N,则|NF|∶|FM|等于(  )A.1∶2 B.1∶3C.1∶ 2 D.1∶ 3解析 抛物线 y2=4x的焦点 F的坐标为(1,0),∵直线 l过点 F和点 M(2,2 2),∴直线 l的方程为 y=2 2(x-1).由{y2=4x,y=2 2(x-1)得 2x2-5x+2=0,解得 x=2或 x=12,∴点 N的横坐标为12.∵抛物线 y2=4x的准线方程为 x=-1,∴|NF|=32,|MF|=3,∴|NF|∶|MF|=1∶2,故选 A.答案 A12.(2020·武汉调研)已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,准线为 l,且 l 过点(-2,3),M在抛物线 C上,若点 N(1,2),则|MN|+|MF|的最小值为(  )A.2 B.3 C.4 D.5解析 由题意知p2=2,即 p=4.过点 N 作准线 l 的垂线,垂足为 N′,交抛物线于点 M′,则|M′N′|=|M′F|,则有|MN|+|MF|=|MN|+|MT|≥|M′N′|+|M′N|=|NN′|=1-(-2)=3.答案 B13.(2020·湖南名校大联考)已知 P为抛物线 C:y=x2上一动点,直线 l:y=2x-4与 x轴、 y轴交于 M,N两点,点 A(2,-4)且AP→ =λAM→ +μAN→ ,则λ+μ的最小值为________.解析 由题意得 M(2,0),N(0,-4),设 P(x,y),由AP→ =λAM→ +μ AN→ 得(x-2,y+4)=λ(0,4)+μ(-2,0),∴x-2=-2μ,y+4=4λ.因此λ+μ=y+44-x-22=x24-x2+2=(x2-12 )2 +74≥74,故 λ+μ的最小值为74.答案 74- 18 -14.(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线 C:y=x22,D为直线 y=-12上的动点,过 D作 C的两条切线,切点分别为 A,B.(1)证明:直线 AB过定点;(2)若以 E (0,52 )为圆心的圆与直线 AB 相切,且切点为线段 AB 的中点,求四边形 ADBE 的面积.(1)证明 设 D(t,-12),A(x1,y1),则 x21=2y1.因为 y′=x,所以切线 DA的斜率为 x1,故y1+12x1-t=x1.整理得 2tx1-2y1+1=0.设 B(x2,y2),同理可得 2tx2-2y2+1=0.故直线 AB的方程为 2tx-2y+1=0.所以直线 AB过定点(0,12 ).(2)解 由(1)得直线 AB的方程为 y=tx+12.由{y=tx+12,y=x22可得 x2-2tx-1=0.于是 x1+x2=2t,x1x2=-1,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1,|AB|= 1+t2|x1-x2|= 1+t2× (x1+x2)2-4x1x2=2(t2+1).设 d1,d2分别为点 D,E到直线 AB的距离,则 d1= t2+1,d2=2t2+1.因此,四边形 ADBE的面积S=12|AB|(d1+d2)=(t2+3) t2+1.设 M为线段 AB的中点,则 M(t,t2+12).因为EM→ ⊥AB→ ,而EM→ =(t,t2-2),AB→ 与向量(1,t)平行,- 19 -所以 t+(t2-2)t=0,解得 t=0或 t=±1.当 t=0时,S=3;当 t=±1时,S=4 2.因此,四边形 ADBE的面积为 3或 4 2.C级 创新猜想15.(多选题)如图所示,抛物线 y=14x2,AB 为过焦点 F 的弦,过 A,B 分别作抛物线的切线,两切线交于点 M,设 A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),则下列结论正确的有(  )A.若 AB的斜率为 1,则|AB|=8B.|AB|min=4C.若 AB的斜率为 1,则 xM=2D.xA·xB=-4解析 由题意得,焦点 F(0,1),对于 A,lAB的方程为 y=x+1,与抛物线的方程联立,得{y=x+1,y=14x2,消去 x,得 y2-6y+1=0,所以 yA+yB=6,则|AB|=yA+yB+p=8,则 A正确;对于 B,|AB|min=2p=4,则 B正确;对于 C,当 AB的斜率为 1时,因为 y′=x2,则xM2=1,∴xM=2,则 C正确;设 lAB的方程为 y=kx+1,与抛物线的方程联立,得{y=kx+1,y=14x2,消去 y,得 x2-4kx-4=0,所以 xA+xB=4k,xA·xB=-4,则 D正确;答案 ABCD

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