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第 3 节 平面向量的数量积及平面向量的应用考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义;2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系;3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系;5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题;6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.知 识 梳 理1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角:已知两个非零向量 a 和 b,作OA→ =a,OB→ =b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量 a 与 b 的夹角.(2)数量积的定义:已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为 θ,则 a 与 b 的数量积(或内积)a·b=|a||b|cos__θ.规定:零向量与任一向量的数量积为 0,即 0·a=0.(3)数量积的几何意义:数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos__θ的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量 a,b 的夹角.(1)数量积:a·b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2.(2)模:|a|= a·a= x+y.(3)夹角:cos θ=a·b|a||b|=x1x2+y1y2x+y· x+y.(4)两非零向量 a⊥b 的充要条件:a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成立)⇔|x1x2+y1y2|≤ x+y· x+y.3.平面向量数量积的运算律(1)a·b=b·a(交换律).(2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).4.平面几何中的向量方法三步曲:(1)用向量表示问题中的几何元素,将几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.[常用结论与微点提醒]1.向量 a 在向量 b 方向上的投影与向量 b 在向量 a 方向上的投影不是一个概念,要加以区别.2.两个向量 a,b 的夹角为锐角⇔a·b0且 a,b 不共线;两个向量 a,b 的夹角为钝角⇔a·b0且 a,b 不共线.3.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是[0,π2 ].(  )(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.(  )(3)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(  )(4)若 a·b=a·c(a≠0),则 b=c.(  )解析 (1)两个向量夹角的范围是[0,π].(4)由 a·b=a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a,b〉=|a||c|·cos〈a,c〉,所以向量 b 和 c 不一定相等.答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.(老教材必修 4P108AT1改编)设 a,b 是非零向量.“a·b=|a||b|”是“a∥b”的(  )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析 设 a 与 b 的夹角为θ.因为 a·b=|a|·|b|cos θ=|a|·|b|,所以 cos θ=1,即 a与 b 的夹角为 0°,故 a∥b.当 a∥b 时,a 与 b 的夹角为 0°或 180°,所以 a·b=|a|·|b|cos θ=±|a|·|b|,所以“a·b=|a|·|b|”是“a∥b”的充分而不必要条件.答案 A3.(新教材必修第二册 P21 例 12 改编)已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2 3,a 与 b 的夹角的余弦值为 sin 17π3,则 b·(2a-b)等于(  )A.2 B.-1 C.-6 D.-18解析 由题意知 cos〈a,b〉=sin 17π3=sin(6π-π3 )=-sin π3=-32,所以 a·b=|a||b|cos〈a,b〉=1×2 3×(- 32 )=-3,b·(2a-b)=2a·b-b2=-18.答案 D4.(2019·全国Ⅱ卷)已知AB→ =(2,3),AC→ =(3,t),|BC→ |=1,则AB→ ·BC→ =(  )A.-3 B.-2 C.2 D.3解析 因为BC→ =AC→ -AB→ =(3,t)-(2,3)=(1,t-3),所以|BC→ |= 12+(t-3)2=1,解得 t=3,所以BC→ =(1,0),所以AB→ ·BC→ =2×1+3×0=2.答案 C5.(2020·云南跨区调研)平面向量 a 与 b 的夹角为 45°,a=(1,1),|b|=2,则|3a+b|等于(  )A.13+6 2 B.2 5C. 30 D. 34解析 依题意得 a2 = 2, a·b= 2×2×cos 45°= 2, |3a+ b|= (3a+b)2=9a2+6a·b+b2= 18+12+4= 34.答案 D6.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量 a=(-1,2),b=(m,1).若向量 a+b 与 a 垂直,则 m=________.解析 由题意得 a+b=(m-1,3),因为 a+b 与 a 垂直,所以(a+b)·a=0,所以-(m-1)+2×3=0,解得 m=7.答案 7考点一 平面向量的数量积运算【例 1】 (1)(2019·天津卷)在四边形 ABCD中,AD∥BC,AB=2 3,AD=5,∠A=30°,点E在线段 CB的延长线上,且 AE=BE,则BD→ ·AE→ =________.(2)(一题多解)(2019·郑州二模)在 Rt△ABC 中,∠BCA=90°,CB=2,CA=4,P 在边 AC 的中线 BD上,则CP→ ·BP→ 的最小值为(  )A.-12 B.0 C.4 D.-1解析 (1)如图,在等腰△ABE中,易得∠BAE=∠ABE=30°,故 BE=2.则BD→ ·AE→ =(AD→ -AB→ )·(AB→ +BE→ )=AD→ ·AB→ +AD→ ·BE→ -AB→ 2-AB→ ·BE→ =5×2 3×cos 30°+5×2×cos 180°-12-2 3×2×cos 150°=15-10-12+6=-1.(2)法一 由题意知,BD=2 2,且∠CBD=45°.因为点 P在 AC边的中线 BD上,所以设BP→ =λBD→ (0≤λ≤1),如图所示,所以CP→ ·BP→ =(CB→ +BP→ )·BP→ =(CB→ +λBD→ )·λBD→ =λCB→ ·BD→ +λ2BD→ 2=λ|CB→ |·|BD→ |cos 135°+λ2×(2 2)2=8λ2-4λ=8(λ-14)2 -12,当λ=14时,CP→ ·BP→ 取得最小值-12,故选 A.法二 依题意,以 C 为坐标原点,分别以 AC,BC 所在的直线为 x 轴,y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则 B(0,2),D(2,0),所以直线 BD 的方程为 y=-x+2,因为点 P 在 AC边的中线 BD上,所以可设 P(t,2-t)(0≤t≤2),所以CP→ =(t,2-t),BP→ =(t,-t),所以CP→ ·BP→ =t2-t(2-t)=2t2-2t=2(t-12 )2 -12,当 t=12时,CP→ ·BP→ 取得最小值-12,故选A.答案 (1)-1 (2)A规律方法 平面向量数量积的三种运算方法:(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即 a·b=|a||b|cos〈a,b〉.(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a·b=x1x2+y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解.提醒 解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时,可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补.【训练 1】 (1)(2020·皖南八校模拟)已知|a|=|b|=1,向量 a 与 b 的夹角为 45°,则(a+2b)·a=________.(2)(2020·咸阳模拟)在△ABC中,|BC|=4,(AB→ +AC→ )·BC→ =0,则BA→ ·BC→ =(  )A.4 B.-4 C.-8 D.8解析 (1)因为|a|=|b|=1,向量 a 与 b 的夹角为 45°,所以(a+2b)·a=a2+2a·b=|a|2+2|a|·|b|cos 45°=1+ 2.(2)设 M为 BC的中点,则AB→ +AC→ =2AM→ ,又(AB→ +AC→ )·BC→ =0,∴2AM→ ·BC→ =0,即AM→ ⊥BC→ ,∴△ABC是等腰三角形且 AB=AC,则BA→ ·BC→ =|BA→ ||BC→ |cos B=BM·BC=2×4=8.答案 (1)1+ 2 (2)D考点二 平面向量数量积的应用  多维探究角度 1 垂直问题【例 2-1】 (2019·宜昌二模)已知△ABC中,∠A=120°,且 AB=3,AC=4,若AP→ =λAB→ +AC→ ,且AP→ ⊥BC→ ,则实数λ的值为(  )A.2215 B.103 C.6 D.127解析 因为AP→ =λAB→ +AC→ ,且AP→ ⊥BC→ ,所以有AP→ ·BC→ =(λAB→ +AC→ )·(AC→ -AB→ )=λAB→ ·AC→ -λAB→ 2+AC→ 2-AB→ ·AC→ =(λ-1)AB→ ·AC→ -λAB→ 2+AC→ 2=0,整理可得(λ-1)×3×4×cos 120°-9λ+16=0,解得λ=2215.答案 A规律方法 两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为 0,即:a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.应认识到此充要条件对含零向量在内的所有向量均成立,因为可视零向量与任意向量垂直.角度 2 长度问题【例 2-2】(1)(2019·珠海调研)平面向量 a,b 满足|a|=4,|b|=2,a+b 在 a 方向上的投影为 5,则|a-2b|为(  )A.2 B.4 C.8 D.16(2)已知向量OA→ ,OB→ 满足|OA→ |=|OB→ |=2,OA→ ·OB→ =2,若OC→ =λOA→ +μOB→ (λ,μ∈R),且 λ+μ=1,则|OC→ |的最小值为(  )A.1 B.52 C. 2 D. 3解析 (1)由题意知|a+b|cos〈a+b,a〉=|a+b|·(a+b)·a|a+b|·|a|=a2+a·b|a|=16+a·b4=5,解得 a·b=4,∴(a-2b)2=a2-4a·b+4b2=16,∴|a-2b|=4.(2)|OC→ |2=(λOA→ +μOB→ )2=[λOA→ +(1-λ)OB→ ]2=4λ2+4(1-λ)2+2λ(1-λ)OA→ ·OB→ ,因为OA→ ·OB→ =2,所以|OC→ |2=4λ2+4(1-λ)2+2λ(1-λ)·2=4λ2-4λ+4=4(λ-12)2 +3,当λ=12时,|OC→ |取得最小值 3.答案 (1)B (2)D规律方法 1.利用数量积求解向量模的问题常用的公式:(1)a2=a·a=|a|2或|a|= a·a;(2)|a±b|= (a ± b)2= a2 ± 2a·b+b2;(3)若 a=(x,y),则|a|= x2+y2.2.最值问题是利用条件构造以参数为自变量的函数,因此函数方法是最基本的方法之一.角度 3 夹角问题【例 2-3】 (2019·全国Ⅰ卷)已知非零向量 a,b 满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则 a 与 b的夹角为(  )A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6解析 由(a-b)⊥b,可得(a-b)·b=0,∴a·b=b2.∵|a|=2|b|,∴cos〈a,b〉=a·b|a|·|b|=b22b2=12.∵0≤〈a,b〉≤π,∴a 与 b 的夹角为π3.故选 B.答案 B规律方法 求向量夹角问题的方法(1)当 a,b 是非坐标形式时,求 a 与 b 的夹角θ,需求出 a·b 及|a|,|b|或得出它们之间的关系.(2)若已知 a=(x1,y1)与 b=(x2,y2),则 cos〈a,b〉=x1x2+y1y2x+y· x+y.注意:〈a,b〉∈[0,π].【训练 2】 (1)(角度 1)(2019·北京卷)已知向量 a=(-4,3),b=(6,m),且 a⊥b,则 m=________.(2)(角度 2)(2020·临川九校联考)已知平面向量 a=(2m-1,2),b=(-2,3m-2),且a⊥b,则|2a-3b|=______.(3)(角度 3)(2019·全国Ⅲ卷)已知 a,b 为单位向量,且 a·b=0,若 c=2a- 5b,则 cos〈a,c〉=________.解析 (1)由 a⊥b,得 a·b=0.又∵a=(-4,3),b=(6,m),∴-4×6+3m=0,解得 m=8.(2)由 a⊥b,得 a·b=-2(2m-1)+2(3m-2)=0,解得 m=1,∴a=(1,2),b=(-2,1),∴2a-3b=(2,4)-(-6,3)=(8,1),∴|2a-3b|= 64+1= 65.(3)由题意,得 cos〈a,c〉=a·(2a- 5b)|a|·|2a- 5b|=2a2- 5a·b|a|· |2a- 5b|2=21 × 4+5=23.答案 (1)8 (2) 65 (3)23考点三 平面向量与三角函数【例 3】 (2019·珠海摸底)在△ABC中,内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,向量 m=(cos(A-B),sin(A-B)),n=(cos B,-sin B),且 m·n=-35.(1)求 sin A的值;(2)若 a=4 2,b=5,求角 B的大小及向量BA→ 在BC→ 方向上的投影.解 (1)由 m·n=-35,得 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-35,所以 cos A=-35.因为 0Aπ,所以 sin A= 1-cos2A= 1-(-35 )2 =45.(2)由正弦定理,得asin A=bsin B,则 sin B=bsin Aa=5 ×454 2=22,因为 ab,所以 AB,且 B是△ABC一内角,则 B=π4.由余弦定理得(4 2)2=52+c2-2·5c·(-35 ),解得 c=1,c=-7(舍去),故向量BA→ 在BC→ 方向上的投影为|BA→ |cos B=ccos B=1×22=22.规律方法 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路:(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性求解.【训练 3】 已知向量 a=(cos(π2+x),sin(π2+x)),b=(-sin x, 3sin x),f(x)=a·b.(1)求函数 f(x)的最小正周期及 f(x)的最大值;(2)在锐角△ABC中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 f(A2 )=1,a=2 3,求△ABC面积的最大值并说明此时△ABC的形状.解 (1)由已知得 a=(-sin x,cos x),又 b=(-sin x, 3sin x),则 f(x)=a·b=sin2x+ 3sin xcos x=12(1-cos 2x)+32sin 2x=sin(2x-π6 )+12,∴f(x)的最小正周期 T=2π2=π,当 2x-π6=π2+2kπ(k∈Z),即 x=π3+kπ(k∈Z)时,f(x)取得最大值32.(2)锐角△ABC中,因为 f(A2 )=sin(A-π6 )+12=1,∴sin(A-π6 )=12,∴A=π3.因为 a2=b2+c2-2bccos A,所以 12=b2+c2-bc,所以 b2+c2=bc+12≥2bc,所以 bc≤12(当且仅当 b=c=2 3时等号成立),此时△ABC为等边三角形.S△ABC=12bcsin A=34bc≤3 3.所以当△ABC为等边三角形时面积取最大值 3 3.赢得高分 巧用解析法解平面向量压轴题平面向量问题一般有两种解决方法:一是利用平面向量基本定理选择基底,利用向量的线性运算解决;二是通过建立坐标系转化为代数运算解决.【典例】 (一题多解)已知在△OAB 中,OA=OB=2,AB=2 3,动点 P 位于线段 AB 上,则当PA→ ·PO→ 取最小值时,向量PA→ 与PO→ 的夹角的余弦值为________.解析 法一 易知∠AOB=120°,记OA→ =a,OB→ =b,则 a·b=-2,设PA→ =λBA→ =λa-λb(0≤λ≤1),则PO→ =PA→ +AO→ =(λ-1)a-λb,则PA→ ·PO→ =(λa-λb)·[(λ-1)a-λb]=12λ2-6λ,当λ=14时,PA→ ·PO→ 取最小值-34,此时,|PA→ |=14|BA→ |=32,PO→ =-34a-14b=-14(3a+b),|PO→ |=14|3a+b|=72,所以此时向量PA→ 与PO→ 的夹角的余弦值为PA→ ·PO→ |PA→ ||PO→ |=-3432×72=-217.法二 取线段 AB的中点 C,连接 OC,以线段 AB的中点 C为原点,以AB→ 的方向为 x轴正方向,CO→ 的方向为 y 轴正方向建立直角坐标系,则 O(0,1),A(- 3,0),B( 3,0),设 P(x,0)(- 3≤x≤ 3).则PA→ ·PO→ =(- 3-x,0)·(-x,1)=x2+ 3x,当 x=-32时,PA→ ·PO→ 取最小值-34.此时PA→ =(- 32 ,0),PO→ =( 32 ,1),所以向量PA→ 与PO→ 的夹角的余弦值为PA→ ·PO→ |PA→ ||PO→ |=-3432×72=-217.答案 -217思维升华 对比以上两种方法,你会发现第二种解法,即解析法思路更加简单,解析法可能不是最快的解题方法,但一定是思路最简单的方法,这种方法可能运算繁琐,但和线性运算相比,可大大减少思路卡壳的可能.【训练】 (一题多解)(2019·江苏卷)如图,在△ABC中,D是 BC的中点,E在边 AB上,BE=2EA,AD与 CE交于点 O.若AB→ ·AC→ =6AO→ ·EC→ ,则ABAC的值是________.解析 法一 如图,过点 D 作 DF∥CE 交 AB 于点 F,由 D 是 BC 的中点,可知 F 为 BE 的中点.又 BE=2EA,则知 EF=EA,从而可得 AO=OD,则有AO→ =12AD→ =14(AB→ +AC→ ),EC→ =AC→ -AE→ =AC→ -13AB→ ,所以 6AO→ ·EC→ =32(AB→ +AC→ )·(AC→ -13AB→ )=32AC→ 2-12AB→ 2+AB→ ·AC→ =AB→ ·AC→ ,整理可得 AB→ 2=3AC→ 2,所以ABAC= 3.法二 以点 A为坐标原点,AB所在直线为 x轴建立平面直角坐标系,如图所示.设 E(1,0),C(a,b),则 B(3,0),D(a+32,b2).Error!⇒O(a+34,b4).∵AB→ ·AC→ =6AO→ ·EC→ ,∴(3,0)·(a,b)=6(a+34,b4)·(a-1,b),即 3a=6[(a+3)(a-1)4+b24 ],∴a2+b2=3,∴AC= 3.∴ABAC=33= 3.答案  3数学运算、数学建模——平面向量与三角形的“四心”1.数学运算是指在明晰运算的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.通过学习平面向量与三角形的“四心”,学生能进一步发展数学运算能力,形成规范、细致运算的品质,养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.2.数学建模要求在熟悉的情境中,发现问题并转化为数学问题,能够在关联的情境中,经历数学建模的过程,理解数学建模的意义.本专题通过学习平面向量与三角形的“四心”模型,能够培养学生用模型的思想解决相关问题.三角形的“四心”:设 O为△ABC所在平面上一点,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,则(1)O为△ABC的外心⇔|OA→ |=|OB→ |=|OC→ |=a2sin A.(2)O为△ABC的重心⇔OA→ +OB→ +OC→ =0.(3)O为△ABC的垂心⇔OA→ ·OB→ =OB→ ·OC→ =OC→ ·OA→ .(4)O为△ABC的内心⇔aOA→ +bOB→ +cOC→ =0.类型 1 平面向量与三角形的“重心”【例 1】 已知 A,B,C是平面上不共线的三点,O为坐标原点,动点 P满足OP→ =13[(1-λ)OA→ +(1-λ)OB→ +(1+2λ)·OC→ ],λ∈R,则点 P的轨迹一定经过(  )A.△ABC的内心 B.△ABC的垂心C.△ABC的重心 D.AB边的中点解析 取 AB的中点 D,则 2OD→ =OA→ +OB→ ,∵OP→ =13[(1-λ)OA→ +(1-λ)OB→ +(1+2λ)OC→ ],∴OP→ =13[2(1-λ)OD→ +(1+2λ)OC→ ]=2(1-λ)3OD→ +1+2λ3OC→ ,而2(1-λ)3+1+2λ3=1,∴P,C,D三点共线,∴点 P的轨迹一定经过△ABC的重心.答案 C类型 2 平面向量与三角形的“内心”问题【例 2】 在△ABC中,AB=5,AC=6,cos A=15,O是△ABC的内心,若OP→ =xOB→ +yOC→ ,其中x,y∈[0,1],则动点 P的轨迹所覆盖图形的面积为(  )A.10 63 B.14 63 C.4 3 D.6 2解析 根据向量加法的平行四边形法则可知,动点 P的轨迹是以 OB,OC为邻边的平行四边形及其内部,其面积为△BOC的面积的 2倍.在△ABC 中,设内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,得 a=7.设△ABC的内切圆的半径为 r,则12bcsin A=12(a+b+c)r,解得 r=2 63,所以 S△BOC=12×a×r=12×7×2 63=7 63.故动点 P的轨迹所覆盖图形的面积为 2S△BOC=14 63.答案 B类型 3 平面向量与三角形的“垂心”问题【例 3】 已知 O是平面上的一个定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点 P满足OP→ =OA→ +λ(AB→ |AB→ |cos B+AC→ |AC→ |cos C),λ∈(0,+∞),则动点 P的轨迹一定通过△ABC的(  )A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心解析 因为OP→ =OA→ +λ(AB→ |AB→ |cos B+AC→ |AC→ |cos C),所以AP→ =OP→ -OA→ =λ(AB→ |AB→ |cos B+AC→ |AC→ |cos C),所以BC→ ·AP→ =BC→ ·λ(AB→ |AB→ |cos B+AC→ |AC→ |cos C)=λ(-|BC→ |+|BC→ |)=0,所以BC→ ⊥AP→ ,所以点 P在 BC的高线上,即动点 P的轨迹一定通过△ABC的垂心.答案 B类型 4 平面向量与三角形的“外心”问题【例 4】 已知在△ABC中,AB=1,BC= 6,AC=2,点 O为△ABC的外心,若AO→ =xAB→ +yAC→ ,则有序实数对(x,y)为(  )A.(45,35 ) B.(35,45 )C.(-45,35) D.(-35,45)解析 取 AB的中点 M和 AC的中点 N,连接 OM,ON,则OM→ ⊥AB→ ,ON→ ⊥AC→ ,OM→ =AM→ -AO→ =12AB→ -(xAB→ +yAC→ )=(12-x )AB→ -yAC→ ,ON→ =AN→ -AO→ =12AC→ -(xAB→ +yAC→ )=(12-y )AC→ -xAB→ .由OM→ ⊥AB→ ,得 (12-x )AB→ 2-yAC→ ·AB→ =0,①由ON→ ⊥AC→ ,得 (12-y )AC→ 2-xAC→ ·AB→ =0,②又因为 BC→ 2=(AC→ -AB→ )2=AC→ 2-2AC→ ·AB→ +AB→ 2,所以AC→ ·AB→ =AC→ 2+AB→ 2-BC→ 22=-12,③把③代入①、②得{1-2x+y=0,4+x-8y=0,解得 x=45,y=35.故实数对(x,y)为(45,35 ).答案 AA级 基础巩固一、选择题1.(2020·河南非凡联盟联考)在等腰三角形 ABC中,点 D是底边 AB的中点,若AB→ =(1,2),CD→ =(2,t),则|CD→ |=(  )A. 5 B.5 C.2 5 D.20解析 由题意知AB→ ⊥CD→ ,∴1×2+2t=0,∴t=-1,∴|CD→ |= 22+(-1)2= 5.答案 A2.已知 a,b 为非零向量,则“a·b0”是“a 与 b 的夹角为锐角”的(  )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析 根据向量数量积的定义可知,若 a·b0,则 a 与 b 的夹角为锐角或零角,若 a 与 b 的夹角为锐角,则一定有 a·b0,所以“a·b0”是“a 与 b 的夹角为锐角”的必要不充分条件,故选 B.答案 B3.(2020·乌海模拟)已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,a-b=( 3, 2),则|2a-b|等于(  )A.2 2 B. 17 C. 15 D.2 5解析 根据题意,|a-b|= 3+2= 5,则(a-b)2=a2+b2-2a·b=5-2a·b=5,可得 a·b=0,结合|a|=1,|b|=2,可得(2a-b)2=4a2+b2-4a·b=4+4=8,则|2a-b|=2 2,故选 A.答案 A4.(2019·哈尔滨质检)已知平面向量 a,b 满足(a-2b)⊥(3a+b),且|a|=12|b|,则向量 a与 b 的夹角为(  )A.π3 B.π2 C.2π3 D.3π4解析 设 a 与 b 的夹角为θ.因为|a|=12|b|,所以|b|=2|a|.因为(a-2b)⊥(3a+b),所以(a-2b)·(3a+b)=3a2-5a·b-2b2=3|a|2-5|a||b|cos θ-2|b|2=3|a|2-5|a|×2|a|cos θ-2(2|a|)2=-5|a|2-10|a|2cos θ=0,解得 cos θ=-12.又θ∈[0,π],所以θ=2π3.故选 C.答案 C5.如图,在等腰梯形 ABCD中,AB=4,BC=CD=2,若 E,F分别是边 BC,AB上的点,且满足BEBC=AFAB=λ,则当AE→ ·DF→ =0时,λ的值所在的区间是(  )A.(18,14 ) B.(14,38 )C.(38,12 ) D.(12,58 )解析 在等腰梯形 ABCD中,AB=4,BC=CD=2,可得〈AD→ ,BC→ 〉=60°,所以〈AB→ ,AD→ 〉=60°,〈AB→ ,BC→ 〉=120°,所以AB→ ·AD→ =4×2×12=4,AB→ ·BC→ =4×2×(-12 )=-4,AD→ ·BC→ =2×2×12=2,又BEBC=AFAB=λ,所以BE→ =λBC→ ,AF→ =λAB→ ,则AE→ =AB→ +BE→ =AB→ +λBC→ ,DF→ =AF→ -AD→ =λAB→ -AD→ ,所以AE→ ·DF→ =(AB→ +λBC→ )·(λAB→ -AD→ )=λAB→ 2-AB→ ·AD→ +λ2AB→ ·BC→ -λAD→ ·BC→ =0,即 2λ2-7λ+2=0,解得λ=7+ 334(舍去)或λ=7- 334∈(14,38 ).答案 B二、填空题6.(2019·全国Ⅲ卷)已知向量 a=(2,2),b=(-8,6),则 cos〈a,b〉=________.解析 由题意得 a·b=2×(-8)+2×6=-4,|a|= 22+22=2 2,|b|= (-8)2+62=10.∴cos〈a,b〉=a·b|a||b|=-42 2 × 10=-210.答案 -2107.如图,在△ABC 中,O 为 BC 的中点,若 AB=1,AC=3,AB→ 与AC→ 的夹角为 60°,则|OA→ |=________.解析 AB→ ·AC→ =|AB→ |·|AC→ |cos 60°=1×3×12=32,又AO→ =12(AB→ +AC→ ),所以 AO→ 2=14(AB→ +AC→ )2=14(AB→ 2+2AB→ ·AC→ +AC→ 2),即 AO→ 2=14(1+3+9)=134,所以|OA→ |=132.答案 1328.(2019·佛山二模)在 Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2,AB=1,D为 BC的中点,E在斜边 AC上,若AE→ =2EC→ ,则DE→ ·AC→ =________.解析 如图,以 B为坐标原点,AB所在直线为 x轴,BC所在直线为 y轴,建立平面直角坐标系,则 B(0,0),A(1,0),C(0,2),所以AC→ =(-1,2).因为 D为 BC的中点,所以 D(0,1),因为AE→ =2EC→ ,所以 E(13,43 ),所以DE→ =(13,13 ),所以DE→ ·AC→ =(13,13 )·(-1,2)=-13+23=13.答案 13三、解答题9.在平面直角坐标系 xOy中,点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段 AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;(2)设实数 t满足(AB→ -tOC→ )·OC→ =0,求 t的值.解 (1)由题设知AB→ =(3,5),AC→ =(-1,1),则AB→ +AC→ =(2,6),AB→ -AC→ =(4,4).所以|AB→ +AC→ |=2 10,|AB→ -AC→ |=4 2.故所求的两条对角线的长分别为 4 2,2 10.(2)由题设知:OC→ =(-2,-1),AB→ -tOC→ =(3+2t,5+t).由(AB→ -tOC→ )·OC→ =0,得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,从而 5t=-11,所以 t=-115.10.已知向量 a=(cos x,sin x),b=(3,- 3),x∈[0,π].(1)若 a∥b,求 x的值;(2)记 f(x)=a·b,求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x的值.解 (1)因为 a=(cos x,sin x),b=(3,- 3),a∥b,所以- 3cos x=3sin x.则 tan x=-33.又 x∈[0,π],所以 x=5π6.(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,- 3)=3cos x- 3sin x=2 3cos(x+π6 ).因为 x∈[0,π],所以 x+π6∈[π6,7π6 ],从而-1≤cos(x+π6 )≤32.于是,当 x+π6=π6,即 x=0时,f(x)取到最大值 3;当 x+π6=π,即 x=5π6时,f(x)取到最小值-2 3.B级 能力提升11.(2019·北京卷)设点 A,B,C 不共线,则“AB→ 与AC→ 的夹角为锐角”是“|AB→ +AC→ ||BC→ |”的(  )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 因为点 A,B,C 不共线,所以线段 AB,BC,AC 构成一个三角形 ABC,由向量加法的三角形法则,可知BC→ =AC→ -AB→ ,所以|AB→ +AC→ ||BC→ |等价于|AB→ +AC→ ||AC→ -AB→ |,因模为非负数,故不等号两边平方得 AB→ 2+AC→ 2+2|AB→ |·|AC→ |cos θAC→ 2+AB→ 2-2|AC→ |·|AB→ |cos θ (θ为AB→ 与AC→ 的夹角),整理得 4|AB→ |·|AC→ |·cos θ0,故 cos θ0,即θ为锐角.当AB→ 与AC→ 的夹角为锐角,可得AB→ ·AC→ 0,则有|AB→ |2+|AC→ |2+2AB→ ·AC→ |AB→ |2+|AC→ |2-2AB→ ·AC→ ,即有|AB→ +AC→ |2|AC→ -AB→ |2,则|AB→ +AC→ |2|BC→ |2,故|AB→ +AC→ ||BC→ |,所以“AB→ 与AC→ 的夹角为锐角”是“|AB→ +AC→ ||BC→ |”的充分必要条件.故选 C.答案 C12.(一题多解)(2020·武汉调研)在△ABC 中,AB→ ·AC→ =0,|AB→ |=4,|BC→ |=5,D 为线段 BC的中点,点 E为线段 BC垂直平分线 l上任一异于 D的点,则AE→ ·CB→ =(  )A.72 B.74 C.-74 D.7解析 法一 |AC→ |= |BC→ |2-|AB→ |2=3,AE→ ·CB→ =(AD→ +DE→ )·CB→ =AD→ ·CB→ +DE→ ·CB→ =AD→ ·CB→ =12(AB→ +AC→ )·(AB→ -AC→ )=12(|AB→ |2-|AC→ |2)=72.法二 依题意,建立如图所示的平面直角坐标系,则 A(0,0),B(4,0),因为|BC→ |=5,所以C(0,3),D(2,32 ),易知直线 BC 的斜率为-34,因为直线 DE 是线段 BC 的垂直平分线,所以直线 DE 的方程为 y-32=43(x-2),令 x=0,得 y=-76,所以直线 DE 与 y 轴的交点坐标为(0,-76),不妨令 E(0,-76),因为CB→ =(4,-3),所以AE→ ·CB→ =(0,-76)·(4,-3)=72,故选 A.答案 A13.(2018·浙江卷)已知 a,b,e 是平面向量,e 是单位向量.若非零向量 a 与 e 的夹角为π3,向量 b 满足 b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是________.解析 设 O为坐标原点,a=OA→ ,b=OB→ =(x,y),e=(1,0),由 b2-4e·b+3=0得 x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,所以点 B的轨迹是以 C(2,0)为圆心,1为半径的圆.因为 a 与e 的夹角为π3,所以不妨令点 A在射线 y= 3x(x0)上,如图,数形结合可知|a-b|min=(|CA→ |-|CB→ |)min= 3-1.答案  3-114.在△ABC中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,且满足( 2a-c)BA→ ·BC→ =cCB→ ·CA→ .(1)求角 B的大小;(2)若|BA→ -BC→ |= 6,求△ABC面积的最大值.解 (1)由题意得( 2a-c)cos B=bcos C.根据正弦定理得( 2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,所以 2sin Acos B=sin(C+B),即 2sin Acos B=sin A,因为 A∈(0,π),所以 sin A0,所以 cos B=22,又 B∈(0,π),所以 B=π4.(2)因为|BA→ -BC→ |= 6,所以|CA→ |= 6,即 b= 6,根据余弦定理及基本不等式得 6=a2+c2- 2ac≥2ac- 2ac=(2- 2)ac(当且仅当 a=c时取等号),即 ac≤3(2+ 2).故△ABC的面积 S=12acsin B≤3( 2+1)2,因此△ABC的面积的最大值为3 2+32.C级 创新猜想15.(新定义题)定义一种向量运算“⊗”:a⊗b={a·b,当a,b不共线时,|a-b|,当a,b共线时 (a,b 是任意的两个向量).对于同一平面内的向量 a,b,c,e,给出下列结论:①a⊗b=b⊗a;②λ(a⊗b)=(λa)⊗b(λ∈R);③(a+b)⊗c=a⊗c+b⊗c;④若 e 是单位向量,则|a⊗e|≤|a|+1.以上结论一定正确的是________(填序号).解析 当 a,b 共线时,a⊗b=|a-b|=|b-a|=b⊗a,当 a,b 不共线时,a⊗b=a·b=b·a=b⊗a,故①正确;当λ=0,b≠0 时,λ(a⊗b)=0,(λa)⊗b=|0-b|≠0,故②错误;当 a+b 与 c 共线时,则存在 a,b 与 c 不共线,(a+b)⊗c=|a+b-c|,a⊗c+b⊗c=a·c+b·c,显然|a+b-c|≠a·c+b·c,故③错误;当 e 与 a 不共线时,|a⊗e|=|a·e||a|·|e||a|+1,当 e 与 a 共线时,设 a=ue,u∈R,|a⊗e|=|a-e|=|ue-e|=|u-1|≤|u|+1,故④正确.综上,结论一定正确的是①④.答案 ①④

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