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第 5 节 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及应用考试要求 1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出 y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数 A,ω,φ 对函数图象变化的影响;2.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.知 识 梳 理1.函数 y=Asin(ωx+φ)的有关概念振幅 周期 频率 相位 初相y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一个振动量时AT=2πωf=1T=ω2π ωx+φ φ2.用“五点法”画 y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,|φ|π2)一个周期内的简图时,要找五个关键点x -φω-φω+π2ωπ-φω3π2ω-φω2π-φωωx+φ 0π2π3π22πy=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 03.函数 y=sin x的图象经变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的两种途径[常用结论与微点提醒]1.函数 y=Asin(ωx+φ)+k图象平移的规律:“左加右减,上加下减”.2.由 y=sin ωx到 y=sin(ωx+φ)(ω0,φ0)的变换:向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1) 将 函 数 y = 3sin 2x 的 图 象 左 移π4个 单 位 长 度 后 所 得 图 象 的 解 析 式 是 y =3sin(2x+π4 ).(  )(2)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致.(  )(3)函数 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.(  )(4)由图象求解析式时,振幅 A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.(  )解析 (1)将函数 y=3sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度后所得图象的解析式是 y=3cos 2x.(2)“先平移,后伸缩”的平移单位长度为|φ|,而“先伸缩,后平移”的平移单位长度为|φω |.故当ω≠1时平移的长度不相等.答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(新教材必修第一册 P240T1 改编)为了得到函数 y=sin (2x+π3 )的图象,只需把函数 y=sin 2x图象上所有的点(  )A.向左平移π3个单位长度 B.向右平移π3个单位长度C.向左平移π6个单位长度 D.向右平移π6个单位长度解析 因为 y=sin(2x+π3 )=sin 2(x+π6 ),所以要得到其图象,需把 y=sin 2x图象上所有的点向左平移π6个单位长度.答案 C3.(老教材必修 4P66T4改编)如图所示,某地夏天从 8~14时的用电量变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.则这段曲线的函数解析式为________________.解析 观察图象可知从 8~14时的图象是 y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象,∴A=12×(50-30)=10,b=12×(50+30)=40.∵12×2πω=14-8,∴ω=π6,∴y=10sin(π6x+φ)+40.将 x=8,y=30代入上式,解得φ=π6.∴所求解析式为 y=10sin(π6x+π6 )+40,x∈[8,14].答案 y=10sin(π6x+π6 )+40,x∈[8,14]4.(2019·衡水中学联考)将曲线 C1:y=2cos (2x-π6 )上的点向右平移π6个单位长度,再将各点横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,得到曲线 C2,则 C2的方程为(  )A.y=2sin 4x B.y=2sin(4x-π3 )C.y=2sin x D.y=2sin(x-π3 )解析 将曲线 C1:y=2cos (2x-π6 )上的点向右平移π6个单位长度,可得 y=2sin 2x的图象,再将各点横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,可得曲线 C2:y=2sin 4x,故选 A.答案 A5.(2020·绵阳诊断改编)y=cos(x+1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.解析 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为 2,横坐标之差恰为半个周期 π,故它们之间的距离为 π2+4.答案  π2+46.(2020·太原一模)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,|φ|π)的部分图象如图,则函数 g(x)=cos(4φx+ω)的解析式为________.解析 由题图可得 A=2 3,T2=6-(-2)=8,∴T=2πω=16,∴ω=π8,则 f(x)=2 3sin(π8x+φ).∵函数 f(x)的图象过点(6,0),且在点(6,0)附近递增,∴3π4+φ=2kπ,k∈Z,∴φ=-3π4+2kπ,k∈Z.又|φ|π,则φ=-3π4,故 g(x)=cos(-3πx+π8 ).答案 g(x)=cos(-3πx+π8 )考点一 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及变换【例 1】 某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (ω 0,|φ| π2 )在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:ωx+φ 0π2π3π22πxπ35π6Asin(ωx+φ) 0 5 -5 0(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f(x)的解析式;(2)将 y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ0)个单位长度,得到 y=g(x)的图象.若 y=g(x)图象的一个对称中心为(5π12,0),求θ的最小值.解 (1)根据表中已知数据,解得 A=5,ω=2,φ=-π6.数据补全如下表:ωx+φ 0π2π3π22πxπ12π37π125π61312πAsin(ωx+φ) 0 5 0 -5 0且函数解析式为 f(x)=5sin(2x-π6 ).(2)由(1)知 f(x)=5sin(2x-π6 ),得 g(x)=5sin(2x+2θ-π6 ).因为函数 y=sin x图象的对称中心为(kπ,0)(k∈Z).令 2x+2θ-π6=kπ,k∈Z,解得 x=kπ2+π12-θ(k∈Z).由于函数 y=g(x)的图象关于点(5π12,0)成中心对称,所以令kπ2+π12-θ=5π12(k∈Z),解得θ=kπ2-π3(k∈Z).由θ0可知,当 k=1时,θ取得最小值π6.规律方法 作函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象常用如下两种方法:(1)五点法作图,用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设 z=ωx+φ,由 z 取 0,π2,π,32π,2π 来求出相应的 x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象;(2)图象的变换法,由函数 y=sin x 的图象通过变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.【训练 1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线 C1:y=cos x,C2:y=sin(2x+2π3 ),则下面结论正确的是(  )A.把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线 C2B.把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线 C2C.把 C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线 C2D.把 C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线 C2(2)(2020·石家庄调研)若把函数 y=sin (ωx-π6 )的图象向左平移π3个单位长度,所得到的图象与函数 y=cos ωx的图象重合,则ω的一个可能取值是(  )A.2 B.32 C.23 D.12解析 (1)易知 C1:y=cos x=sin(x+π2 ),把曲线 C1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,得到函数 y=sin (2x+π2 )的图象,再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度,可得函数 y=sin[2(x+π12)+π2 ]=sin (2x+2π3 )的图象,即曲线 C2,因此 D项正确.(2)y=sin (ωx+ω3π-π6 )和函数 y=cos ωx 的图象重合,可得ω3π-π6=π2+2kπ,k∈Z,则ω=6k+2,k∈Z.∴2是ω的一个可能值.答案 (1)D (2)A考点二 由图象求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式【例 2】 (1)(一题多解)(2019·长郡中学、衡阳八中联考)函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω 0,|φ| π2 )的部分图象如图所示,已知 A(5π12,1),B(11π12,-1),则 f(x)图象的对称中心为(  )A.(kπ2+5π6,0)(k∈Z) B.(kπ+5π6,0)(k∈Z)C.(kπ2+π6,0)(k∈Z) D.(kπ+π6,0)(k∈Z)(2)(2020·河南六市联考)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,0≤φ2π)的部分图象如图所示,则 f(2 019)的值为________.解析 (1)法一 T=2(11π12-5π12 )=π=2πω,∴ω=2,因此 f(x)=sin(2x+φ).由五点作图法知 A (5π12,1)是“第二点”,得 2×5π12+φ=π2,所以φ=-π3 (满足|φ| π2 ).∴f(x)=sin(2x-π3 ).令 2x-π3=kπ(k∈Z),得 x=kπ2+π6(k∈Z).∴f(x)图象的对称中心为(kπ2+π6,0)(k∈Z).法二 T=2(11π12-5π12 )=π,由题图知,A,B的中点(2π3,0)为 f(x)图象的一个对称中心,从而 f(x)图象对称中心的横坐标为2π3+mπ2=π6+(m+1)π2=π6+kπ2(k,m∈Z).所以 f(x)图象的对称中心为(π6+kπ2,0)(k∈Z).(2)由题意可知T4=52-1=32,得 T=6,又知 T=2π|ω|,ω0,∴ω=π3.∴f(x)=Asin(π3x+φ).又∵f(1)=A,∴Asin(π3+φ)=A,即 sin(π3+φ)=1.又 0≤φ2π,∴φ=π6.∴f(x)=Asin(π3x+π6 ).又知 f(0)=1,∴Asin π6=1,得 A=2,∴f(x)=2sin(π3x+π6 ).∴f(2 019)=2sin(2 0193π+π6 )=2sin(673π+π6 )=2sin(336 × 2π+π+π6 )=2sin(π+π6 )=-2sin π6=-1.答案 (1)C (2)-1规律方法 y=Asin(ωx+φ)中φ的确定方法(1)代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.(2)五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.【训练 2】 (1)(2020·佛山模拟)某地一天 6~14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ωx+φ)+b(|φ|π),则这段曲线的函数解析式可以为(  )A.y=10sin(π8x+3π4 )+20,x∈[6,14]B.y=10sin(π8x+5π4 )+20,x∈[6,14]C.y=10sin(π8x-3π4 )+20,x∈[6,14]D.y=10sin(π8x+5π8 )+20,x∈[6,14](2)(2019·衡水中学一模 )已知函数 f(x)=- 2cos ωx(ω0)的图象向左平移 φ(0 φ π2 )个单位,所得的部分函数图象如图所示,则φ的值为(  )A.π6 B.5π6C.π12 D.5π12解析 (1)令ω0.由函数图象可知,函数的最大值 M为 30,最小值 m为 10,周期 T=2×(14-6)=16,∴A=M-m2=30-102=10,b=M+m2=30+102=20.又知 T=2π|ω|,ω0,∴ω=2π16=π8,∴y=10sin(π8x+φ)+20.又知该函数图象经过(6,10),∴10=10sin(π8× 6+φ)+20,即 sin(34π+φ)=-1,∴φ=-5π4+2kπ(k∈Z),又|φ|π,∴φ=34π.故函数的解析式为 y=10sin(π8x+3π4 )+20,x∈[6,14].(2)由题图知,T=2(11π12-5π12 )=π,∴ω=2πT=2,∴f(x)=-2cos 2x,∴f(x+φ)=-2cos(2x+2φ),则由图象知,f(512π+φ)=-2cos(56π+2φ)=2.∴5π6+2φ=2kπ+π(k∈Z),则φ=π12+kπ(k∈Z).又 0φπ2,所以φ=π12.答案 (1)A (2)C考点三 三角函数图象、性质的综合应用 多维探究角度 1 图象与性质的综合问题【例 3-1】 (2020·郑州一模)已知函数 f(x)=sin(ωx+θ)(ω 0,-π2≤ θ ≤π2 )的图象相邻的两个对称中心之间的距离为π2,若将函数 f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到偶函数 g(x)的图象,则函数 f(x)的一个单调递减区间为(  )A.[-π3,π6 ] B.[π4,7π12 ]C.[0,π3 ] D.[π2,5π6 ]解析 因为函数 f(x)=sin(ωx+θ)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为π2,所以T2=π2,即 T=π,即2πω=π,ω=2,得 f(x)=sin(2x+θ),将 f(x)的图象向左平移π6个单位长度后,得到 g(x)=sin (2x+π3+θ)的图象,因为 g(x)为偶函数,所以π3+θ=kπ+π2(k∈Z),解得θ=kπ+π6(k∈Z).又因为-π2≤θ≤π2,所以θ=π6,所以 f(x)=sin(2x+π6 ).令π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ(k∈Z),解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ(k∈Z).当 k=0时,得到一个单调递减区间为[π6,2π3 ].又[π4,7π12 ]⊆[π6,2π3 ],故选 B.答案 B角度 2 三角函数的零点(方程的根)问题【例 3-2】 已知关于 x的方程 2sin2x- 3sin 2x+m-1=0在(π2,π)上有两个不同的实数根,则 m的取值范围是________.解析 方程 2sin2x- 3sin 2x+m-1=0 可转化为 m=1-2sin2x+ 3sin 2x=cos 2x+ 3sin2x=2sin(2x+π6 ),x∈(π2,π).设 2x+π6=t,则 t∈(76π,136π),所以题目条件可转化为m2=sin t,t∈(76π,136π)有两个不同的实数根.所以 y1=m2和 y2=sin t,t∈(76π,136π)的图象有两个不同交点,如图:由图象观察知,m2的取值范围是(-1,-12),故 m的取值范围是(-2,-1).答案 (-2,-1)角度 3 三角函数模型的应用【例 3-3】 如图,某大风车的半径为 2 米,每 12 秒旋转一周,它的最低点 O 离地面 1 米,点 O在地面上的射影为 A.风车圆周上一点 M从最低点 O开始,逆时针方向旋转 40秒后到达 P点,则点 P到地面的距离是________米.解析 以圆心 O1为原点,以水平方向为 x 轴方向,以竖直方向为 y 轴方向建立平面直角坐标系,则根据大风车的半径为 2米,圆上最低点 O离地面 1米,12秒转动一周,设∠OO1M=θ,运动 t(秒)后与地面的距离为 f(t).又周期 T=12,则ω=2πT=π6,所以θ=π6t,则 f(t)=3-2cos π6t(t≥0),当 t=40 s时,f(t)=3-2cos(π6× 40)=4.答案 4规律方法 1.研究 y=Asin(ωx+φ)的性质时可将 ωx+φ 视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题.2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.3.三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,利用三角函数的有关知识解决问题.【训练 3】 (1)(角度 1)(2019·天津卷)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,|φ|π)是奇函数,将 y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为 g(x).若 g(x)的最小正周期为 2π,且 g(π4 )= 2,则 f(3π8 )=(  )A.-2 B.- 2 C. 2 D.2(2)(角度 2)若函数 f(x)=sin(ωx+π6 )(ω0)满足 f(0)=f(π3 ),且函数在[0,π2 ]上有且只有一个零点,则 f(x)的最小正周期为________.(3)(角度 3)某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数 y=a+Acos[π6(x-6)](x=1,2,3,…,12)来表示,已知 6月份的月平均气温最高为 28℃,12月份的月平均气温最低为 18 ℃,则 10月份的平均气温为________℃.解析 (1)因为 f(x)是奇函数(显然定义域为 R),所以 f(0)=Asin φ=0,即 sin φ=0.又|φ|π,所以φ=0.由题意得 g(x)=Asin(12ωx ),且 g(x)最小正周期为 2π,所以12ω=1,即ω=2.所以 g(x)=Asin x,所以 g(π4 )=Asin π4=22A= 2,所以 A=2.所以 f(x)=2sin 2x,所以 f(3π8 )= 2.故选 C.(2)因为 f(0)=f(π3 ),所以 x=π6是 f(x)图象的一条对称轴,所以 f(π6 )=±1,所以π6ω+π6=π2+kπ,k∈Z,所以 ω=6k+2,k∈Z,所以 T=π3k+1(k∈Z).又 f(x)在[0,π2 ]上有且只有一个零点,所以π6≤T4≤π2-π6,所以2π3≤T≤4π3,所以2π3≤π3k+1≤4π3(k∈Z),所以-112≤k≤16,又因为 k∈Z,所以 k=0,所以 T=π.(3)因为当 x=6时,y=a+A=28;当 x=12时,y=a-A=18,所以 a=23,A=5,所以 y=f(x)=23+5cos[π6(x-6)],所以当 x=10时,f(10)=23+5cos(π6× 4)=23-5×12=20.5.答案 (1)C (2)π (3)20.5逻辑推理与数学运算——三角函数中有关ω的求解数学运算是解决数学问题的基本手段,通过运算可促进学生思维的发展;而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式.运算和推理贯穿于探究数学问题的始终,可交替使用,相辅相成.类型 1 三角函数的周期 T与ω的关系【例 1】 为了使函数 y=sin ωx(ω0)在区间[0,1]上至少出现 50次最大值,则ω的最小值为(  )A.98π B.1972π C.1992π D.100π解析 由题意,至少出现 50 次最大值即至少需要 4914个周期,所以1974T=1974·2πω≤1,所以ω≥1972π.答案 B思维升华 解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期 T=2πω与所给区间的关系,从而建立不等关系.类型 2 三角函数的单调性与ω的关系【例 2】 若函数 f(x)=sin ωx(ω0)在区间[π3,π2 ]上单调递减,则 ω的取值范围是(  )A.[0,23 ] B.[0,32 ]C.[23,3 ] D.[32,3 ]解析 令π2+2kπ≤ωx≤3π2+2kπ(k∈Z),得π2ω+2kπω≤x≤3π2ω+2kπω,因为 f(x)在[π3,π2 ]上单调递减,所以{π2ω+2kπω≤π3,π2≤3π2ω+2kπω,得 6k+32≤ω≤4k+3.又ω0,所以 k≥0,又 6k+324k+3,得 0≤k34,所以 k=0.故32≤ω≤3.答案 D思维升华 根据正弦函数的单调递减区间,确定函数 f(x)的单调递减区间,根据函数 f(x)=sin ωx(ω0)在区间[π3,π2 ]上单调递减,建立不等式,即可求ω的取值范围.类型 3 三角函数的对称性、最值与ω的关系【例 3】 (1)(2020·枣庄模拟)已知 f(x)=sin ωx-cos ωx(ω 23),若函数 f(x)图象的任何一条对称轴与 x轴交点的横坐标都不属于区间(π,2π),则 ω的取值范围是________.(结果用区间表示)(2)已知函数 f(x)=2sin ωx 在区间[-π3,π4 ]上的最小值为-2,则 ω 的取值范围是________.解析 (1)f(x)=sin ωx-cos ωx= 2sin(ωx-π4 ),令ωx-π4=π2+kπ(k∈Z),解得 x=3π4ω+kπω(k∈Z).当 k=0时,3π4ω≤π,即34≤ω,当 k=1时,3π4ω+πω≥2π,即ω≤78.综上,34≤ω≤78.(2)显然ω≠0,分两种情况:若ω0,当 x∈[-π3,π4 ]时,-π3ω≤ωx≤π4ω.因函数 f(x)=2sin ωx 在区间[-π3,π4 ]上的最小值为-2,所以-π3ω≤-π2,解得ω≥32.若ω0,当 x∈[-π3,π4 ]时,π4ω≤ωx≤-π3ω,因函数 f(x)=2sin ωx在区间[-π3,π4 ]上的最小值为-2,所以π4ω≤-π2,解得ω≤-2.综上所述,符合条件的实数ω≤-2或ω≥32.答案 (1)[34,78 ] (2){ω|ω ≤ -2或ω ≥32}思维升华 这类三角函数题除了需要熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性外,还必须知晓一个周期里函数最值的变化,以及何时取到最值,函数取到最值的区间要求与题目给定的区间的关系如何.A级 基础巩固一、选择题1.(2019·蚌埠质检)将函数 f(x)=sin x+cos x的图象上各点的纵坐标不变,横坐标缩小为原来的12,再将函数图象向左平移π3个单位后,得到的函数 g(x)的解析式为(  )A.g(x)= 2sin(2x+π3 ) B.g(x)= 2sin(2x+11π12 )C.g(x)= 2sin(x2+π3 ) D.g(x)= 2sin(2x+5π12 )解析 f(x)=sin x+cos x= 2sin (x+π4 )的图象 ―———————————— ― →纵坐标不变 横坐标缩小为原来的12y= 2sin (2x+π4 )的图象 ―————————→向左平移π3个单位 g(x)= 2sin[2(x+π3 )+π4 ]= 2sin(2x+11π12 ).故选 B.答案 B2.函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则(  )A.y=2sin(2x-π6 ) B.y=2sin(2x-π3 )C.y=2sin(x+π6 ) D.y=2sin(x+π3 )解析 由题图可知,A=2,T=2[π3-(-π6 )]=π,所以ω=2,由五点作图法知 2×π3+φ=π2+2kπ(k∈Z),所以φ=-π6,所以函数的解析式为 y=2sin(2x-π6 ).答案 A3.(2020·吉安检测)在平面直角坐标系 xOy 中,将函数 f(x)=sin (3x+π4 )的图象向左平移φ(φ0)个单位后得到的图象经过原点,则φ的最小值为(  )A.π3 B.π4 C.π6 D.π12解析 将函数 f(x)=sin (3x+π4 )的图象向左平移 φ(φ0)个单位后得到的图象对应的解析式为 y=sin[3(x+φ)+π4 ],因为其图象经过原点,所以 sin(3φ+π4 )=0,所以 3φ+π4=kπ,k∈Z,解得 φ=kπ3-π12,k∈Z,又 φ0,所以φ的最小值为π3-π12=π4.答案 B4.(2019·成都检测)已知 f(x)=Asin(ωx+φ)+B (A 0,ω 0,|φ| π2 )的部分图象如图,则 f(x)图象的一个对称中心是(  )A.(5π6,-1) B.(π12,0)C.(π12,-1) D.(5π6,0)解析 由题图得(π3,-1)为 f(x)图象的一个对称中心,T4=π3-π12,∴T=π,从而 f(x)图象的对称中心为(π3+kπ2,-1)(k∈Z),当 k=1时,为(5π6,-1),选 A.答案 A5.(2020·张家界模拟)将函数 f(x)= 3sin 2x-cos 2x的图象向左平移 t(t0)个单位后,得到函数 g(x)的图象,若 g(x)=g(π12-x),则实数 t的最小值为(  )A.5π24 B.7π24 C.5π12 D.7π12解析 由题意得,f(x)=2sin(2x-π6 ),则 g(x)=2sin(2x+2t-π6 ),从而 2sin(2x+2t-π6 )=2sin[2(π12-x)+2t-π6 ]=-2sin(2x-2t)=2sin(2x-2t+π),又 t0,所以 2t-π6=-2t+π+2kπ,即 t=7π24+kπ2(k∈Z),实数 tmin=724π.答案 B二、填空题6.将函数 y=sin x的图象上所有的点向右平移π10个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是________________.解析 y=sin x ―——————————— ― →向右平移π10个单位长度 y=sin(x-π10) ―—————— ― →横坐标伸长到 原来的2倍y=sin(12x-π10).答案 y=sin(12x-π10)7.(2020·沈阳质检)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,0φπ)的部分图象如图所示,则 f(π4 )=________.解析 由图象可知 A=2,34T=11π12-π6=3π4,∴T=π,∴ω=2.∵当 x=π6时,函数 f(x)取得最大值,∴2×π6+φ=π2+2kπ(k∈Z),∴φ=π6+2kπ(k∈Z),又 0φπ,∴φ=π6,∴f(x)=2sin(2x+π6 ),则 f(π4 )=2sin(π2+π6 )=2cos π6= 3.答案  38.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上,按月呈 f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A0,ω0,|φ|π2)的模型波动(x 为月份),已知 3 月份达到最高价 9 千元,9 月份价格最低为 5千元.则 7月份的出厂价格为________元.解析 作出函数简图如图:三角函数模型为:y=Asin(ωx+φ)+B,由题意知,A=2 000,B=7 000,T=2×(9-3)=12,∴ω=2πT=π6.将(3,9 000)看成函数图象的“第二点”,则有π6×3+φ=π2,∴φ=0,满足|φ|π2,故 f(x)=2 000sin π6x+7 000(1≤x≤12,x∈N*).∴f(7)=2 000×sin 7π6+7 000=6 000.故 7月份的出厂价格为 6 000元.答案 6 000三、解答题9.(2019·黄冈调研)已知函数 f(x)=- 3cos(2x+π2 )+1-2sin2x.(1)用“五点作图法”在给定的坐标系中,画出函数 f(x)在[0,π]上的图象;(2)先将函数 y=f(x)的图象向右平移π6个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的 4倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)图象的对称中心.解 (1)f(x)=- 3cos(2x+π2 )+1-2sin2x= 3sin 2x+cos 2x=2sin(2x+π6 ).列表如下: x 0π65π122π311π12πf(x) 1 2 0 -2 0 1描点、连线函数 f(x)在区间[0,π]上的图象如图.(2)将函数 f(x)=2sin (2x+π6 )的图象向右平移π6个单位后得到 y=2sin[2(x-π6 )+π6 ]=2sin (2x-π6 )的图象,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 g(x)=2sin (x2-π6 )的图象,由x2-π6=kπ(k∈Z)得 x=2kπ+π3(k∈Z),故 g(x)图象的对称中心为(2kπ+π3,0)(k∈Z).10.已知函数 f(x)= 3sin(ωx+φ)(ω>0,-π2≤ φ<π2 )的图象关于直线 x=π3对称,且图象上相邻最高点的距离为π.(1)求 f (π4 )的值;(2)将函数 y=f(x)的图象向右平移π12个单位后,得到 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减区间.解 (1)因为 f(x)的图象上相邻最高点的距离为π,所以 f(x)的最小正周期 T=π,从而ω=2πT=2.又 f(x)的图象关于直线 x=π3对称,所以 2×π3+φ=kπ+π2(k∈Z),因为-π2≤φ<π2,所以 k=0,所以φ=π2-2π3=-π6,所以 f(x)= 3sin(2x-π6 ),则 f(π4 )= 3sin(2 ×π4-π6 )= 3sin π3=32.(2)将 f(x)的图象向右平移π12个单位后,得到 f (x-π12)的图象,所以 g(x)=f(x-π12)= 3sin[2(x-π12)-π6 ]= 3sin(2x-π3 ).当 2kπ+π2≤2x-π3≤2kπ+3π2(k∈Z),即 kπ+5π12≤x≤kπ+11π12(k∈Z)时,g(x)单调递减.因此 g(x)的单调递减区间为[kπ+5π12,kπ+11π12 ](k∈Z).B级 能力提升11.(2020·合肥联考)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A0,|φ|π2)的图象如图所示,为了得到 g(x)=sin 2x的图象,只需将 f(x)的图象(  )A.向右平移π6个单位长度B.向右平移π3个单位长度C.向左平移π6个单位长度D.向左平移π3个单位长度解析 不妨设ω0,由图象可知,A=1,又知T4=712π-π3=π4,得 T=π,又∵T=2π|ω|,ω0,∴ω=2πT=2,∴f(x)=sin(2x+φ).又知函数图象经过点(712π,-1),∴f(712π )=-1,即 sin(76π+φ)=-1,∴76π+φ=2kπ+32π(k∈Z),得φ=2kπ+π3(k∈Z).又∵|φ|π2,∴φ=π3,∴函数 f(x)的解析式为 f(x)=sin(2x+π3 ).故只需将 f(x)的图象向右平移π6个单位长度即可得到 g(x)=sin 2x的图象,因此选 A.答案 A12.(2020·河南百校联考)将函数 f(x)=sin 2x+ 3cos 2x+1的图象向右平移π6个单位长度后得到函数 g(x)的图象,当 a∈(0,1)时,方程|g(x)|=a在区间[0,2π]上所有根的和为(  )A.6π B.8π C.10π D.12π解析 f(x)=sin 2x+ 3cos 2x+1=2sin(2x+π3 )+1,将其图象向右平移π6个单位长度后得到 g(x)=2sin 2x+1的图象.画出函数 y=|g(x)|的图象与直线 y=a(0a1)如图,由图知两图象在[0,2π]上共有 8个交点,其中交点 A与 D,B与 C分别关于直线 x=3π4对称,交点E 与 H,F 与 G 分别关于直线 x=7π4对称,所以 xA+xD=xB+xC=3π2,xE+xH=xF+xG=7π2,故所有交点横坐标之和为 10π,则方程|g(x)|=a在区间[0,2π]上所有根的和为 10π.答案 C13.(一题多解)(2019·南昌测试)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(0 ω 3,|φ| π2 ),若 f(-π12 )=f(5π12 )=0,则 f(π)=________.解析 法一 因为 f(-π12 )=f(5π12 )=0,所以{sin(-πω12+φ)=0,sin(5πω12+φ)=0,得{-π12ω+φ=k1π,5π12ω+φ=k2π,(k1,k2∈Z),两式相减得,12ω=k2-k1(k1,k2∈Z).因为 0ω3,且k2-k1是整数,所以ω=2.将点(-π12,0)看作五点中的“第一点”,则-π6+φ=0,所以φ=π6,满足|φ|π2.所以 f(x)=sin(2x+π6 ),所以 f(π)=12.法二 设 f(x)的最小正周期为 T,由 f(-π12 )=f(512π )=0 可得 x=-π12和 x=5π12是函数f(x)的两个零点,所以 k1·T2=512π-(-π12 )=π2(k1∈N),即 T=πk1(k1∈N),又知 T=2π|ω|(ω0),所以2πω=πk1(k1∈N),所以ω=2k1(k1∈N),又 0ω3,所以当 k1=1时,ω=2.所以 f(x)=sin(2x+φ).由 f(-π12 )=0,得-π6+φ=k2π(k2∈Z),所以φ=k2π+π6(k2∈Z),又|φ|π2,所以φ=π6,则 f(x)=sin(2x+π6 ),所以 f(π)=12.答案 1214.已知函数 f(x)=cos(2x-π3 )+2sin(x-π4 )sin(x+π4 ).(1)求函数 f(x)的单调递增区间;(2)将 y=f(x)的图象向左平移π3个单位长度,再将得到的图象横坐标变为原来的 2倍(纵坐标不变),得到 y=g(x)的图象.若函数 y=g(x)在区间(π2,13π4 )上的图象与直线 y=a 有三个交点,求实数 a的取值范围.解 (1)f(x)=cos(2x-π3 )+2sin(x-π4 )sin(x+π4 )=12cos 2x+32sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x)=12cos 2x+32sin 2x+sin2 x-cos2x=12cos 2x+32sin 2x-cos 2x=sin(2x-π6 ).令 2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2,k∈Z,得 kπ-π6≤x≤kπ+π3,k∈Z,所以函数 f(x)的单调递增区间是[kπ-π6,kπ+π3 ],k∈Z.(2)将 f(x)的图象向左平移π3个单位长度,得 y=sin[2(x+π3 )-π6 ]=sin(2x+π2 )=cos 2x的图象,再将得到的图象的横坐标变为原来的 2倍(纵坐标不变),得 g(x)=cos x的图象.作函数 g(x)=cos x在区间(π2,13π4 )上的图象,及直线 y=a.根据图象知,实数 a的取值范围是[- 22 ,0).C级 创新猜想15.(新定义题)(2020·江西红色七校联考)已知函数 y=f(x)(x∈R),对函数 y=g(x)(x∈I),定义 g(x)关于 f(x)的“对称函数”为 y=h(x)(x∈I),y=h(x)满足:对任意 x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x,f(x))对称,若 h(x)=-asin x是 g(x)关于 f(x)=cos(x+π4 )cos (x-π4 )的“对称函数”,且 g(x)在[π6,π2 ]上是减函数,则实数 a 的取值范围是________.解析 根据“对称函数”的概念可知 h(x)+g(x)=2f(x),即 g(x)=2f(x)-h(x)=cos 2x+asin x=-2sin2x+asin x+1,令 t=sin x(因为 x∈[π6,π2 ],所以 t∈[12,1 ]),则 y=-2t2+at+1,其图象的对称轴为 t=a4,开口向下.由于 g(x)在[π6,π2 ]上递减,y=sin x 在[π6,π2 ]上递增,根据复合函数的单调性可知a4≤12,a≤2.答案 (-∞,2]

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