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抛物线及其标准方程

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2.3.1 抛物线及其标准方程
一、教学目标
1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程
2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程
3.通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动,培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力,使学生学会数学思考与推理,学会反思与感悟,形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想
二、教学重点
    抛物线的定义及标准方程
三、教学难点
    抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导(关键是坐标系方案的选择)
四、教学过程
(一)复习旧知
在初中,我们学习过了二次函数 ,知道二次函数的图象是一条抛物线
例如:(1) ,(2) 的图象(展示两个函数图象):
          
(二)讲授新课
    1.课题引入
    在实际生活中,我们也有许多的抛物线模型,例如1965年竣工的密西西比河河畔的萨尔南拱门,它就是用不锈钢铸成的抛物线形的建筑物。到底什么样的曲线才可以称做是抛物线?它具有怎样的几何特征?它的方程是什么呢?
这就是我们今天要研究的内容.(板书:课题§2.4.1 抛物线及其标准方程)
    2.抛物线的定义
信息技术应用(课堂中展示画图过程)
    先看一个实验:
    如图:点F是定点, 是不经过点F的定直线,H是 上任意一点,过点H作 ,线段FH的垂直平分线 交MH于点M。拖动点H,观察点M的轨迹,你能发现点M满足的几何条件吗?(学生观察画图过程,并讨论)
    可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MH|=|MF|,即点M与定点F和定直线 的距离相等。(也可以用几何画板度量|MH|,|MF|的值)
   (定义引入):
    我们把平面内与一个定点F和一条定直线 ( 不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫做抛物线的焦点,直线 叫做抛物线的准线.(板书)
思考?若F在 上呢?(学生思考、讨论、画图)
   此时退化为过F点且与直线   垂直的一条直线.
3.抛物线的标准方程
   从抛物线的定义中我们知道,抛物线上的点 满足到焦点F的距离与到准线 的距离相等。那么动点 的轨迹方程是什么,即抛物线的方程是什么呢?
要求抛物线的方程,必须先建立直角坐标系.
问题 设焦点F到准线 的距离为 ,你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程?按照你建立直角坐标系的方案,求抛物线的方程.
   (引导学生分组讨论,回答,并不断补充常见的几种建系方法,叫学生应用投影仪展示计算结果)
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注意:1.标准方程必须出来,此表格在黑板上板书。
2.若出现比较复杂建系方案,可以以引入的字母参数较多为由,先排除计算
3.强调P的意义。
4.教师说明曲线方程与方程的曲线:从上述过程可以看到,抛物线上任意一点的坐标都满足方程,以方程的解 为坐标的点到抛物线的焦点的距离与到准线的距离相等,即方程的解为坐标的点都在抛物线上。所以这些方程都是抛物线的方程.
(选择标准方程)
师:观察4(3)个建系方案及其对应的方程,你认为哪种建系方案使方程更简单?
   (学生选择,说明1.对称轴 2.焦点 3.方程无常数项,顶点在原点)
推导过程:取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴,x轴与l交于K,以线段KF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,如右图所示,则有F( ,0),l的方程为x=— .
设动点M(x,y),由抛物线定义得:
化简得y2=2px(p>0)
师:我们把方程 叫做抛物线的标准方程,它表示的抛物线的焦点坐标是 ,准线方程是 。
师:在建立椭圆、双曲线的标准方程的过程中,选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方程,对于抛物线,当我们选择如图三种建立坐标系的方法,我们也可以得到不同形式的抛物线的标准方程:
(学生分前两排,中间两排,后面两排三组分别计算三种情况,一起填充表格)
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
 

y2=2px(p>0) 
( ,0)

x=—

 

y2=—2px(p>0) 
(— ,0)

x=

 

x2=2py(p>0) 
(0, )

y=—

 

x2=—2py(p>0) 
(0,— )

y=

(三)例题讲解
例1(1)已知抛物线的标准方程是 ,求它的焦点坐标和准线方程,
     (2)已知抛物线的焦点是 ,求它的标准方程.
解:(1)∵抛物线方程为y2=6x
∴p=3,则焦点坐标是( ,0),准线方程是x=— .
(2)∵焦点在y轴的负半轴上,且 =2,∴p=4
则所求抛物线的标准方程是:x2=—8y.
 变式训练1:
(1) 已知抛物线的准线方程是x=— ,求它的标准方程.
(2) 已知抛物线的标准方程是2y2+5x=0,求它的焦点坐标和准线方程.
解(1)∵焦点是F(0,3),∴抛物线开口向上,且 =3,则p=6
∴所求抛物线方程是x2=12y
(2)∵抛物线方程是2y2+5x=0,即y2=— x,∴p= [高考学习网XK]
则焦点坐标是F(— ,0),准线方程是x=
例2  点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.
解:如右图所示,设点M的坐标为(x,y)
由已知条件可知,点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离.根据抛物线的定义,点M的轨迹是以F(4,0)为焦点的抛物线.
∵ =4,∴p=8
因为焦点在x轴的正半轴上,所以点M的轨迹方程为y2=16x.
变式训练2:
在抛物线y2=2x上求一点P,使P到焦点F与到点A(3,2)的距离之和最小.
解:如下图所示,设抛物线的点P到准线的距离为|PQ|
由抛物线定义可知:|PF|=|PQ|
∴|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|
显然当P、Q、A三点共线时,|PQ|+|PA|最小.
∵A(3,2),可设P(x0,2)代入y2=2x得x0=2
故点P的坐标为(2,2).
(四)小结
1、抛物线的定义;
2、抛物线的四种标准方程;
3、注意抛物线的标准方程中的字母P的几何意义.
(五)课后练习
 

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