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集合的概念与运算

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题目  第一章集合与简易逻辑        集合的概念与运算
高考要求 
1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念;了解属于、包含、相等关系的意义.
2.掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合.
3.理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义;理解四种命题及其相互关系;掌握充要条件的意义.
4.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题,形成良好的思维品质
知识点归纳 
定义:一组对象的全体形成一个集合.
特征:确定性、互异性、无序性.
表示法:列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}.韦恩图
分类:有限集、无限集.
数集:自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N 、空集φ.
关系:属于∈、不属于 、包含于 (或 )、真包含于 、集合相等=.
运算:交运算A∩B={x|x∈A且x∈B};
并运算A∪B={x|x∈A或x∈B};
补运算 ={x|x A且x∈U},U为全集
性质:A A; φ A; 若A B,B C,则A C;
A∩A=A∪A=A; A∩φ=φ;A∪φ=A;
A∩B=A A∪B=B A B;
A∩C A=φ; A∪C A=I;C ( C A)=A;
C (A B)=(C A)∩(C B).
方法:韦恩示意图, 数轴分析.
注意:① 区别∈与 、 与 、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2};
      ② A B时,A有两种情况:A=φ与A≠φ.
③若集合A中有n 个元素,则集合A的所有不同的子集个数为 ,所有真子集的个数是 -1, 所有非空真子集的个数是 。
④区分集合中元素的形式:如 ; ; ; ; ; ; 。
⑤空集是指不含任何元素的集合。 、 和 的区别;0与三者间的关系。空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。条件为 ,在讨论的时候不要遗忘了 的情况。
⑥符号“ ”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现 点与直线(面)的关系 ;符号“ ”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。
题型讲解 
例1 已知A={x|x3+3x2+2x>0},B={x|x2+ax+b≤0}且A∩B={x|0<x≤2},A∪B={x|x>-2},求a、b的值.
解:A={x|-2<x<-1或x>0},
设B=[x1,x2],由A∩B=(0,2]知x2=2,
且-1≤x1≤0,       ①
由A∪B=(-2,+∞)知-2≤x1≤-1.  ②
由①②知x1=-1,x2=2,
∴a=-(x1+x2)=-1,b=x1x2=-2.
评述:本题应熟悉集合的交与并的涵义,熟练掌握在数轴上表示区间(集合)的交与并的方法.
例2设集合P={m|-1<m≤0},Q={m∈R|mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立},则下列关系中成立的是
A.P Q  B.Q P  C.P=Q  D.P∩Q=Q
剖析:Q={m∈R|mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立},
对m分类:①m=0时,-4<0恒成立;
②m<0时,需Δ=(4m)2-4×m×(-4)<0,解得-1<m<0.
综合①②知-1<m≤0,∴Q={m∈R|-1<m≤0}.
答案:C
评述:本题容易忽略对m=0的讨论,应引起大家足够的重视.
例3 已知集合A={(x,y)|x2+mx-y+2=0},B={(x,y)|x-y+1=0,0≤x≤2},如果A∩B≠ ,求实数m的取值范围.
剖析:如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内,此题的思维方法是很难找到的.事实上,集合符号在本题中只起了一种“化妆品”的作用,它的实际背景是“抛物线x2+mx-y+2=0与线段x-y+1=0(0≤x≤2)有公共点,求实数m的取值范围”.这种数学符号与数学语言的互译,是考生必须具备的一种数学素质.
解:由 得
x2+(m-1)x+1=0.      ①
∵A∩B≠ ,∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解.
首先,由Δ=(m-1)2-4≥0,得m≥3或m≤-1.
当m≥3时,由x1+x2=-(m-1)<0及x1x2=1知,方程①只有负根,不符合要求;
当m≤-1时,由x1+x2=-(m-1)>0及x1x2=1>0知,方程①有两个互为倒数的正根.故必有一根在区间(0,1]内,从而方程①至少有一个根在区间[0,2]内.
综上所述,所求m的取值范围是(-∞,-1].
评述:上述解法应用了数形结合的思想.如果注意到抛物线x2+mx-y+2=0与线段x-y+1=0(0≤x≤2)的公共点在线段上,本题也可以利用公共点内分线段的比λ的取值范围建立关于m的不等式来解.
例4设 ,求实数 的取值范围。
分析:若满足 ,则集合B需分两种情况求解。
①集合A中的元素x是集合B中的元素;②集合B为空集。
解:由 .
∵ ,∴
当 ,即 无实根,由 ,
即 ,解得 ;
当 时,由根与系数的关系:
当 时,由根与系数的关系:
当 时,由根与系数的关系:
综上所得 。
例5 求1到200这200个数中既不是2的倍数,又不是3的倍数,也不是5的倍数的自然数共有多少个?
分析:分析200个数分为两类,即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类,而不满足条件的这一类标准明确而简单,可考虑用扣除法。
解:如图先画出文氏图,不难看出不符合条件                                 
的数共有
(200÷2)+(200÷3)+(200÷5)
-(200÷10)-(200÷6)-(200÷15)
+(200÷30)=146
所以,符合条件的数共有200-146=54(个)
例6 已知全集 ,A={1, }如果 ,则这样的实数 是否存在?若存在,求出 ,若不存在,说明理由。
分析:此题的关键是理解符号 是两层含义:
解:∵    ∴ ,即 =0,
  解得
  当 时, ,为A中元素
  当 时,
当 时,
∴这样的实数x存在,是 或 。
另法:∵    ∴ ,
∴ =0且
∴ 或 。
变式思考题:
同时满足条件:① ②若 ,这样的集合M有多少个,举出这些集合来。
答案:这样的集合M有8个:
 .
例7 某学校艺术班有100名学生,其中学舞蹈的学生67人,学唱歌的学生45人,而学乐器的学生既不能学舞蹈,又不能学唱歌,人数是21人,那么同时学舞蹈和唱歌的学生有多少人?
解:设学舞蹈的学生有x人,学唱歌的人有y人,
既学舞蹈又学唱歌的人又z人,
由题意可列方程:
         解得
所以,同时学舞蹈和唱歌的有33人。
例8对于集合 , 是否存在实数 ?若存在,求出 的取值,若不存在,试说明理由。
解:   ∴  , 即二次方程:
 ,
     ,解之得
    故存在实数 .
例9已知集合 , ,
 ,求 的值。
解:由 可知,
(1) ,或(2)
解(1)得 ,
解(2)得
又因为当 时, 与题意不符
所以, .
例10已知 为全集, , .
解:由
所以
  由
 
例11已知集合 ,求 的值.
解:
(1)当 含有两个元素时: ;
(2)当 含有一个元素时: 
      若

综上可知: 。
小结:
1.正确理解集合中元素的特征:确定性,互异性,无序性;
2.用列举法或描述法给出集合,考察元素与集合之间的元素;或不给出集合中的元素,但只给出若干个抽象的集合及某些关系,运用文氏图解决有关问题。
3.熟练运用集合的并、交、补的运算并进行有关集合的运算。
4.注意符号的理解,相互之间的转化:例如 等等.
学生练习 
题组一:
1.已知集合M={x|x2<4},N={x|x2-2x-3<0},则集合M∩N等于
A.{x|x<-2}   B.{x|x>3}  C.{x|-1<x<2}  D.{x|2<x<3}
解析:M={x|x2<4}={x|-2<x<2},
N={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3},结合数轴,
∴M∩N={x|-1<x<2}.
答案:C
2.已知集合A={x∈R|x<5- },B={1,2,3,4},则( A)∩B等于
A.{1,2,3,4}  B.{2,3,4}    C.{3,4}  D.{4}
解析: A={x∈R|x≥5- },而5- ∈(3,4),
∴( A)∩B={4}.
答案:D
3.设集合P={1,2,3,4,5,6},Q={x∈R|2≤x≤6},那么下列结论正确的是
A.P∩Q=P   B.P∩Q Q     C.P∪Q=Q  D.P∩Q P
解析:P∩Q={2,3,4,5,6},∴P∩Q P.
答案:D
4.设U是全集,非空集合P、Q满足P Q U,若求含P、Q的一个集合运算表达式,使运算结果为空集 ,则这个运算表达式可以是______.
解析:构造满足条件的集合,实例论证.
U={1,2,3},P={1},Q={1,2},
则( Q)={3},( P)={2,3},易见( Q)∩P= .
答案:( Q)∩P
5.已知集合A={0,1},B={x|x∈A,x∈N*},C={x|x A},则A、B、C之间的关系是________.
解析:用列举法表示出B={1},C={ ,{1},{0},A},易见其关系.这里A、B、C是不同层次的集合,C以A的子集为元素,同一层次的集合可有包含关系,不同层次的集合之间只能是从属关系.
答案:B A,A∈C,B∈C
题组二:
1.设全集为实数集R,集合M={x|x21999x2000>0},P={x||x1999|<a}(a为常数),且1P,则M与P满足  (      )
(A)         (B)  
(C)      (D)
2.若非空集合A={x|2a+1x3a5},B={x|3x22},则能使AB
成立的所有a的集合是(    )
(A){a|1a9}     (B){a|6a9}      (C){a|a9}  (D)
3.设集合A={x|x2<a} ,B={x|x<2},若A∩ B=A,则实数a的取值范围是( )
(A)a<4          (B)a4        (C)0<a4       (D)0<a<4
4.若{1,2} A{1,2,3,4,5}, 则满足这一关系的集合A的个数为     。
5.设集合A={x|x2+x1=0},B={x|ax+1=0},若B A,则实数a的不同取值个数为       。
6.设全集I=R,集合A={x|x2x2= y2,y R,y≠0},B={y|y=x+1,xA},则
 =          .
7.若集合A={32x,1,3} ,B={1,x2},且A B=A,求实数x.
8.设全集I=R,A={x| 0},B={x|lg(x22)=lgx},求A∩ .
9.已知集合A={y|y2(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y=x2/2x+5/2,0x3},若A∩ B=,求实数a的取值范围。
10.已知集合A={x|6/(x+1)1},B={x|x22x+2m<0,xR},若AB=A,求实数m的取值范围。
11.已知A={x|x2ax+a219=0},B={x|log3(x2+x3)=1},C={x| =1},且 A∩B,A∩C=,求实数a的值。
参考答案:
1. D  2. B.   3. B.
4. 7     5. 3   6. (,0][2,+). 7. x= 3或 x= .
8. {1}.  9. a  或 a2    10. m3/2   11. a= 5
课前后备注   


 

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