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点到直线的距离

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教学目标:

 

  (1)让学生理解点到直线距离公式的推导,掌握点到直线距离公式及其应用,会用点到直线距离求两平行线间的距离;

 

  (2)培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力,数形结合、转化(或化归)、等数学思想、特殊与一般的方法以及数学应用意识与能力;

 

  (3)引导学生用联系与转化的观点看问题,了解和感受探索问题的方式方法,在探索问题的过程中获得成功的体验.

 

  教学重点:点到直线距离公式及其应用.

 

  教学难点:发现点到直线距离公式的推导方法.

 

  教学方法:问题解决法、讨论法.

 

  教学工具:计算机多媒体、实物投影仪.

 

  教学过程:

 

  一、创设情景提出问题

 

  多媒体显示实际的例子:

 

某电信局计划年底解决本地区最后一个小区P的电话通信问题.离它最近的只有一条线路通过,要完成这项任务,至少需要多长的电缆?

 

经过测量,若按照部门内部设计好的坐标图(即以电信局为原点),得知这个小区的坐标为P(-15),离它最近线路其方程为2x+y+10=0

 

                

 

  这个实际问题要解决,要转化成什么样的数学问题?学生得出就是求点到直线的距离.教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离,并板书写课题:点到直线的距离.

 

  二、自主探索推导公式

 

多媒体显示:已知点P(x0y0),直线Ax+By+C=0,求点P到直线的距离.怎样求点到直线距离呢?学生思考,做垂线找垂足Q,求线段PQ的长度.怎样用点的坐标和直线方程求和表示点到直线距离呢?

 

教师提示在解决问题时先可以考虑特殊情况,再考虑一般情况.学生提出平行于x轴和y轴的特殊情况.学生解决.

        

 

板书:

 

 

 

如何求

 

学生思考回答下列想法:

 

思路一:过点,根据点斜式写出直线方程,由联立方程组解得点坐标,然后利用两点距离公式求得.

 

 

        

 

教师评价:此方法思路自然.

 

  教师继续提出问题:

 

  (1)求线段长度可以构造图形吗? (2)什么图形?如何构造?

 

  (3)第三个顶点在什么位置?    (4)特殊情况与一般情况有联系吗?

 

  学生探讨得到:构造三角形,把线段放在直角三角形中.第三个顶点在什么位置?可能在直线x轴的交点M或与y轴交点N,或过P点做x,y轴的平行线与直线的交点RS

 

               

 

教师根据学生提出的方案,收集思路.

 

思路二:在直角△PQM,或直角△PQN,求边长与角(角与直线到直线角有关),用余弦值.

 

思路三:在直角△PQR,或直角△PQS,求边长与角(角与直线倾斜角有关,但分情况),用余弦值.

 

思路四:在直角△PRS中,求线段PRPSRS,利用等面积法(不涉及角和分情况),求得线段PQ长.

 

  学生分组练习,教师巡视,根据学生情况演示探索过程.

 

  (思路一)解:直线,即

 

    由

   
       

     
 

 

     

 

(思路四)解:设

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      

 

 

 

 

  说明:如果学生没有想到思路二、三,教师提示做课后思考作业题目.

 

  教师提问:①上式是由条件下得出,对成立吗?

 

②点P在直线上成立吗?

 

③公式结构特点是什么?用公式时直线方程是什么形式?

 

  由此推导出点P(x0y0)到直线Ax+By+C=0距离公式:

 

     适用于任意点、任意直线.

 

教师继续引导学生思考,不构造三角形可以求吗?(在前面学习的向量知识中,有向量的模.由于在证明两直线垂直时已经用到向量知识,且也提出过直线的法向量的概念.)能否用向量知识求解呢?

 

思路五:已知直线的法向量,则,如何选取法向量?直线的方向向量,则法向量为,或,或其它.由师生一起分析得出取

 

 

                   

 


 

教师板演:

 

 

,由于点Q在直线上,所以满足直线方程,解得

 

 

  教师评析:向量是新教材内容,是一种很好的数学工具,和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点.而且上述方法在今后解析几何与向量结合的题目中,用坐标联系转化是常用方法.

 

  三、变式训练学会应用

 

  练习:

 

  1.解决课堂提出的实际问题.(学生口答)

 

  2.求点P0(1,2)到下列直线的距离

 

   ①3x=2    5y=3    2xy=10   y=4x+1

 

  练习选择:平行坐标轴的特殊直线,直线方程的非一般形式.

 

  练习目的:熟悉公式结构,记忆并简单应用公式.

 

  教师强调:直线方程的一般形式.

 

  例题:

 

  3.求平行线2x7y8=02x7y6=0的距离.

 

  教师提问:如何求两平行线间的距离?距离如何转化?

 

  学生回答:选其中一条直线上的点到另一条直线的距离.

 

  师生共同分析:点所在直线的任意性、点的任意性.几何画板演示点和直线变化,选取点和直线.学生自己练习,教师巡视.教师提问几个学生回答自己选取的点和直线以及结果.然后选择一种取任意点的方法进行板书.

  解:在直线2x7y6=0上任取点P(x0y0),则2 x07 y06=0,点P(x0y0)到直线2x7y8=0的距离是

 

  教师评述:本例题选取课本例题,但解法较多.除了选择直线上的点,还可以选取原点,求它到两条直线的距离,然后作和.或者选取直线外的点P,求它到两条直线的距离,然后作差.

 

  引申思考:两平行线间距离公式.

 

    

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

  四、学生小结教师点评

 

    知识:点到直线的距离的公式推导以及应用.

 

    数学思想方法:类比、转化(或化归)、数形结合、特殊与一般的方法.

 

  五、课外练习巩固提高

 

    课本习题7.3的第13----16题;

    

    总结写出点到直线距离公式的多种方法.

 

  教学设计说明:

 

  一、教材分析

 

我主要从三方面:教材的地位和作用、教学目标分析、教学重点和难点来说明的.教学目标包括:知识、能力、德育等方面的内容.我确定教学目标的依据有教学大纲、考试大纲的要求、新教材的特点、所教学生的实际情况.

 

  二、教学方法和教学用具

 

1、教学方法的选择

 

1)指导思想:“以生为本”的理念,在课堂中充分体现“教师为主导,学生为主体”.

 

2)教学方法:问题解决法、讨论法.

 

    2、教学用具的选用

 

采用了计算机多媒体和实物投影仪教具,不仅将数学问题形象、直观显示,便于学生思考,而且迅速展示学生不同解题方案,部分纯计算的解题过程,提高课堂效率.

 

  三、教学过程

 

这节课在:“创设情景提出问题——自主探索推导公式——变式训练学会应用——学生小结教师点评——课外练习巩固提高”五个环节中,始终以学生为本.教师主导,学生自主探究,将问题解决.

 

首先多媒体显示实例,引发学生的学习的兴趣和求知欲望,从而引出数学问题.通过一系列问题引导学生通过图形观察,进而思考、分析、归纳总结选择较好的方法具体实施.学生分组练习,落实计算能力,培养合作学习能力.关于思路五,在课本中没有出现这样的证法,我在课堂上选取这样的证法.主要是考虑到:向量是新教材内容,是一种很好的数学工具,和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点.而且上述方法在今后解析几何与向量结合的题目中,用坐标联系转化是常用方法,这样思路五的给出不仅符合新教材的要求,也为今后的学习方法奠定了基础.

 

我选择练习目的:熟悉公式结构,记忆并简单应用公式,主要通过学生口答完成.我强调注意在公式中直线方程的一般式.例题的选取来自课本,但是课本只有一种特殊点的解法.我把本例题进行挖掘,引导学生多角度考虑问题.在整个过程中让学生注意体会解题方法中的灵活性.本节课小结主要由学生总结和补充,教师点拨,尤其数学思想方法教师加以总结概括.在整节课的处理中,采取了知识、方法来源于课本,挖掘其深度、广度,符合现代教学要求.

 

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