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2020江苏高三数学高考一轮复习 函数与方程 教案

2020江苏高三数学高考一轮复习 函数与方程 教案

.知识梳理

1.一元二次方程与相应二次函数的图象关系

△ =b2-4ac

△>0

△= 0

△< 0

ax2 +bx+c=0

(a>0)的根

两个不相等

实数根x1, x2

两个相等实数根 x1= x2

没有实数根

y= ax2 +bx+c

(a>0)的图象

 

 

 

 

 

 

 

 

 

函数的图象与x 轴的交点

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

没有交点

2.函数的零点:

对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点

函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标,是具体的数,而不是点

3.零点,方程的解,函数的交点

 

 

 

 

 

 

4.主要思想:数形结合,转化思想,方程函数思想

5.函数零点存在性定理

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0>y=f(x)在区间(a,b) 内有零点,即存c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。

定理推论:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f(a)·f(b)<0>

.课堂练习

1. 已知函数满足,且当时,,则当时,方程的实数解的个数为   

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

2. 已知函数与的图象上存在关于x轴对称的点,则a的取值范围是   

A. B. C. D.

3. 对于函数和,设,,若存在,使得,则称与互为“零点相邻函数”若函数与互为“零点相邻函数”,则实数a的取值范围是   

A. B. C. D.

 

4. 已知函数,函数有四个不同的零点、、、,且满足:,则的取值范围是  

A. B. C. D.

 

5. 函数的零点个数为      

6. 若方程有两个不同的实数解,则b的取值范围是_____.

7. 设函数,若方程有三个相异的实根,则实数k的取值范围是______.

 

8. 已知函数,若函数恰有4个零点,则实数a的取值范围是          

 

9. 已知函数,且曲线在处的切线经过点.
求实数的值;
若函数,试判断函数的零点个数并证明.

10. 已知函数.

求函数在上的零点之和;

证明:在上只有1个极值点.

 

 

 

 

 

.例题选讲

【例1】已知函数是自然对数的底数

求的单调递减区间;

若函数,证明在上只有两个零点.参考数据:

【参考】解:,定义域为R
    由得,
解得Z
的单调递减区间为Z
证明:,



当时,当时,.
在上单调递增,在上单调递减,
又,,,
,,
使得,,
且当或时,
当时,,
在和上单调递减,在上单调递增.




又,由零点存在性定理得,在和内各有一个零点,
函数在上有两个零点.

【解析】本题主要考查学生运用导数研究函数的单调性及函数的零点问题


【例2】已知函数.

当时,判断函数的单调性;

讨论零点的个数.

【参考】解:因为,所以,
又,设,
又,
所以在为单调递增,在为单调递减,
所以的最大值为,所以,
所以在单调递减;
因为,所以是一个零点,
设,所以的零点个数等价于中不等于1的零点个数再加上1,当时,由可知,单调递减,
又是零点,所以此时有且只有一个零点;
当时,单调递增,又,

又,
所以,
综上可知,在有一个零点且,
所以此时有两个零点;
又,所以当,
在单调递增,在单调递减,
的最大值为,
又,
,又,
所以在有一个零点,在也有一个零点且,
所以此时,共有3个零点;
又,所以当时,
在单调递增,在单调递减,
的最大值为,所以没有零点,
此时,共有1个零点.
综上所述,当时,共有1个零点;当0时,共有3个零点;
当时,有两个零点.

【解析】本题考查学生利用导数研究函数的单调性,函数的零点与方程根的关系,分类讨论思想,化归与转化思想,考查运算化简的能力和逻辑推理能力

【例3】已知, 

解不等式;

若方程有三个不同的解,求实数a的取值范围.

【答案】解:,
当时,解不等式得:,
当时,解不等式得:,
综合得:
不等式的解集为:.

即.
作出函数的图象如图所示:

 

 


当直线与函数的图象有三个公共点时,方程有三个解,所以.
所以实数a的取值范围是.

【解析】本题考查了分段函数及数形结合的思想方法

.反思与总结

在复习过程中,我掌握了                     ,还存在                    等问题.

自我知识梳理:


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