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14 多边形的内角和与外角和第 1 课时 多边形的内角和1.经历探索多边形内角和公式的过程,发展学生的合情推理能力,培养由特殊到一般的探究能力.2.掌握多边形的内角和定理,发展学生的演绎推理能力,并会运用解决问题,培养灵活运用知识的能力.3.通过观察、分析、把多边形问题转化为三角形问题,体会转化思想在几何知识中的应用.重点掌握多边形内角和定理.难点多边形内角和公式的应用.一、情境导入问题 1:如图①,三角形三个内角的和等于多少度?问题 2:如图②,图③,正方形、长方形的内角和等于多少度?问题 3:如图④,对于一般的四边形,它的内角和是否也等于 360°?你是怎么得到的? 二、探究新知活动一:探究五边形的内角和问题 1:健身广场中心的边缘是一个五边形,你能类比求四边形内角和的方法求出它的五个内角的和吗? 问题 2:小明和小亮利用下面的图形,求出了五边形的五个内角的和,说说他们是怎么做的?还可以怎么做?      图①       图②处理方式:学生分小组讨论、交流,小组代表发表小组讨论的结果.预设学生回答:1.五边形的内角和等于 540°.2.如图①,小明连接对角线把五边形分割成三个三角形,所以五边形的内角和是 180°×3=540°.如图②,小亮在五边形内部取一点,连接这点和各个顶点,把五边形分割成五个三角形,五个三角形的内角和是 180°×5=900°,然后再减去一个周角的度数 360°,得到五边形的度数为 900°-360°=540°.其他思路①:如图③,在五边形的任意一边上取一点,把五边形分割成四个三角形,四个三角形的内角和是则有 180°×4=720°,然后再减去一个平角的度数 180°,得到一个五边形的度数为 720°-180°=540°.2其他思路②:如图④,在五边形外取一点,则有 180°×4=720°,然后再减去外部一个三角形内角和度数 180°,得到一个五边形的度数为 720°-180°=540°.活动二:想一想1.按照活动一中的小明的方法,六边形能分成多少个三角形?…n边形呢?你能确定 n边形的内角和吗?(n是大于或等于 3的自然数)小组讨论后完成表格.多边形边数分割后的图形分成三角形的个数内角和 规律3456… … … … …n   2.按照活动一中的小亮的方法再试一试.处理方式:学生动手画一画,分一分,教师对有困难的同学给予指导.预设学生回答:(1)六边形可分成 4 个三角形,七边形可分为 5 个三角形,…,n 边形可分为(n-2)个三角形.六边形内角和为 720°,七边形内角和为 900°,…,n 边形的内角和为(n-2)个三角形的内角和(n-2)·180°(n ≥ 3).多边形边数分割后的图形分成三角形的个数内角和 规律3 1 180° 180°4 2 360° 360°5 3 540° 540°6 4 720° 720°… … … … …n … n-2(n-2)·180°(n-2)×180°  (2)利用小亮的方法得出的结论是:n×180°-360°=(n-2)·180°.多边形边数分割后的图形分成三角形的个数内角和 规律3 1 180° 180°4 4 360° 360°35 5 540° 540°6 6 720° 720°… … … … …n … n(n-2)·180°n×180°-360°=(n-2)×180°   定理: n边形的内角和等于(n-2)·180°.活动三:想一想1.正三角形(等边三角形)的内角和等于多少度?每个内角等于多少度?你是怎么计算的?2.正四边形(正方形)的内角和等于多少度?每个内角等于多少度?你是怎么计算的?3.正五边形、正六边形、正八边形、…、正 n边形呢? 处理方式:让学生小组内讨论、交流后归纳总结得出结论,教师适时给予思路点拨和引导.正三角形每个内角为:(3-2) × 180°3=60° ;正四边形每个内角为:(4-2) × 180°4=90° ;正五边形每个内角为:(5-2) × 180°5=108° ;正六边形每个内角为:(6-2) × 180°6=120° ;正八边形每个内角为:(8-2) × 180°8=135° ;正 n边形每个内角为:(n-2) × 180°n .三、举例分析例 1 如图所示,在四边形 ABCD中,∠A+∠C=180°,∠B与∠D有怎样的关系? 处理方式:学生独立完成,教师适时指导点拨.解:∵∠A+∠B+∠C+∠D =(4-2)×180°=360°,∴∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=360°-180°=180°.∴∠B与∠D互补.例 2 剪去一张长方形纸片的一个角后,纸片还剩几个角?这个多边形的内角和是多少度?与同伴交流.预设学生可能回答:(1)如图①所示,剪下一个角后,纸片剩下 5个角,得到的五边形内角和为(5-2)×180°=180°.4 (2)如图②所示,剪下一个角后,纸片剩下 4个角,得到的四边形内角和为(4-2)×180°=360°.(3)如图③所示,剪下一个角后,纸片剩下 3个角,得到的三角形内角和为 180°.四、练习巩固1.若一个多边形的每个内角都为 120°,则这个多边形的边数是(  )A.9    B.8    C.7    D.62.一个多边形的内角和为 1 080°,则这个多边形的边数为(  )A.9 B.8 C.7 D.63.一个多边形截去一个角后,形成另一个多边形的内角和为 720°,那么原多边形的边数为(  )A.5 B.5或 6C.5或 7 D.5或 6或 74.正十二边形每个内角的度数为________.5.有两个多边形,边数之比为 3∶4,内角和之比为 1∶2,求这两个多边形的边数.五、课堂小结通过本节课的学习,你有什么收获?六、课外作业1.教材第 154页“随堂练习”.2.教材第 155页习题 6.7第 1、3、4题.这节课的学习内容通过创设情境问题得以构建和发展,体现了新课程目标理念的开放性原则.在新课讲授过程中注意探究了从三角形、四边形到多边形内角和知识的形成,最后形成规律,有利于学生对多边形内角和的理解.不足之处:1.这节课给学生提供的探究思考与交流的时间和空间并不足,展示交流的机会不够充分,有的同学没有表现的机会;2.本节课学生小组活动的准备、具体实施、归纳交流、评价等环节设计不够完善.

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