2.3.2抛物线的几何性质练习含解析

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2.3.2抛物线的几何性质练习含解析

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源莲 山课件 w ww.5 Y
K J.cOm 2.3.2 抛物线的几何性质
课时过关·能力提升
1.已知抛物线的焦点坐标是(2, 0),则抛物线的标准方程为 (  )
A.x2=8y B.x2=-8y
C.y2=8x D.y2=-8x
答案:C
2.抛物线y2=-4mx(m>0)的焦点为F,准线为l,则m表示(  )
A.F到l的距离 B.F到y轴的距离
C.F点的横坐标 D.F到l的距离
答案:B
3.抛物线y2=4x的焦点为F,点P在抛物线上,若|PF|=4,则点P坐标为(  )
A.(3  B.(3,-
C.(3 3, -  D.(-3,±
答案:C
4.抛物线y2=2px与直线ax+y-4=0的一个交点坐标为(1,2),则抛物线的焦点到该直线的距离是(  )
A
C
解析:点(1,2)在抛物线y2=2px和直线ax+y-4=0上,
所以p=2,a=2,抛物线的焦点为(1,0).焦点到直线2x+y-4=0的距离
答案:B
★5.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为(  )
A
解析:抛物线y2=2px的准线方程为x= (x-3)2+y2=16的圆心为(3,0),半径为4.故 p=2.
答案:C
6.抛物线ax2=y的焦点坐标是   .
答案:
7.一动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点   .
解析:直线x+2=0即x=-2是抛物线y2=8x的准线,由题意知动圆的半径等于圆心到抛物线y2=8x的准线的距离,即动圆的半径等于圆心到抛物线y2=8x的焦点的距离.故动圆必过抛物线的焦点(2,0).
答案:(2,0)
★8.下图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降1 m后,水面宽   m.
 
解析:建立如图所示的平面直角坐标系.
 
设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),由点(2,-2)在抛物线上,可得p=1,则抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x= m.
答案:
★9.定长为3的线段AB的端点A,B在抛物线y2=x上移动,求AB的中点M到y轴的距离的最小值,并求出此时AB的中点M的坐标.
分析:
 
如图,线段AB的中点M到y轴距离的最小值,就是横坐标的最小值,这是中点坐标的问题,因此只要研究A,B两点的横坐标之和最小即可.
解: F是抛物线y2=x的焦点,A,B两点到准线的垂线分别是AC,BD,过AB的中点M作准线的垂线MN,N为垂足,则|MN|= (|AC|+|BD|),由抛物线的定义可知|AF|=|AC|,|BD|=|BF|,
∴|MN|= (|AF|+|BF|)≥ |AB|= .
设点M为(x,y),则|MN|=x+ ,则x≥ .当弦AB过点F时,等号成立,此时点M到y轴的最小距离为 ,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2x,当x= 时,y1·y2=-p2=- .
∴(y1+y2)2= +2y1y2=2x- =2.
∴y1+y2=± ,即y=± .
∴M的坐标为 . 文章来
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