2.3.1抛物线及其标准方程练习含解析

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2.3.1抛物线及其标准方程练习含解析

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莲山 课件 w w w.5Y k J.C om 2.3 抛物线
2.3.1 抛物线及其标准方程
课时过关·能力提升
1.抛物线y2=12x的焦点坐标是(  )
A.(12,0) B.(6,0) C.(3,0) D.(0,3)
答案: C
2.经过点(2,-3)且焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程是(  )
A.y .y
C.y2= .y2=4x
答案:B
3.抛物线y
A.x .x
C.x= .x=
答案:D
4.已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点,且该圆与直线3x+4y+2=0相切,则该圆的方程为(  )
A.(x-1)2+y .x2+(y-1
C.(x-1)2+y2=1 D.x2+(y-1)2=1
答案:C
5.设点P是抛物线y2=16x上的点,它到焦点的距离h=10,则它到y轴的距离d等于(  )
A.3 B.6 C.9 D.12
解析:设点P到抛物线y2=16x的准线的距离为l.由抛物线y2=16x .由抛物线定义知l=h,又l=d d=l -4=6.
答案:B
6.设定 y2=2x上的点P之间的距离为d1,点P到抛物线准线l的距离为d2,则d1+d2取最小值时,点P的坐标为(  )
A.(0,0) B.(1
C.(2,2) D
解析:连接PF,则d1+d2=|PM|+|PF|≥|MF|,知d1+d2的最小值是|MF|,当且仅当M,P,F三点共线时,等号成立,而直线MF的方程为y y2=2x联立求得x=2,y=2;x y= ),此时,点P的坐标为(2,2).
答案:C
7.动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P的轨迹方程为     .
答案:y2=8x
8.抛物线x=2y2的焦点坐标是   .
答案
9. 已知y2=2px(p>0),求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)焦点为直线3x+4y-12=0与x轴的交点;
(2)焦点到直线x=-5的距离是8.
解: (1)直线与x轴的交点为(4,0),则 =4,∴p=8,
∴方程为y2=16x.
(2)焦点在x轴上,设为 ,∴ +5=8,
解得 =3,则其焦点为(3,0),
∴p=6,故方程为y2=12x或y2=-52x.
★10.
 
如图,已知直线AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,F是抛物线的焦点,点A(x1,y1),B(x2,y2),求证:
(1)y1y2=-p2,x1x
(2)|AB|=x1+x2+p θ为直线AB的倾斜角);
(3 .
分析:设出直线AB的方程并与抛物线方程联立,借助一元二次方程根与系数的关系、抛物线的定义求解.
证明:(1)由已知,得焦点F ,
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k (k≠0),
由 消去x,得ky2-2py-kp2=0. ①
由一元二次方程根与系数的关系,得y1y2=-p2,y1+y2= .又由y=k ,得x= y+ ,故x1x2= y1y2+ (y1+y2)+ (-p2)+ .
当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x= ,则y1=p,y2=-p,则y1y2=-p2,
x1x2= .
综上,y1y2=-p2,x1x2= .
(2)当直线AB的斜率存在时,由抛物线的定义知,
|AF|=x1+ ,|BF|=x2+ ,
∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p. ②
又y=k (k≠0),∴x= y+ ,
∴x1+x2= (y1+y2)+p.由①知y1+y2= ,
∴x1+x2= +p,代入②得|AB|= +2p=2p =2p .
当直线AB的斜率不存在,即θ= 时,A ,B ,|AB|=2p= +p= .
综上,|AB|=x1+x2+p= .
(3)
= ,
将x1x2= ,x1+x2=|AB|-p,
代入上式,得
 .
故 为定值 . 文 章来源
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