人教A版高中数学必修一综合检测试卷(含解析)

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人教A版高中数学必修一综合检测试卷(含解析)

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文 章来 源莲山 课件 w w
w.5Y k J.cO m

综合检测
时间:120分钟 满分:150分
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设全集I={x|-3<x<3,x∈Z},A={1,2},B={-2,-1,2},
则A∪∁IB等于(  )
A.{1}         B.{1,2}
C.{2}  D.{0,1,2}
解析:∵x∈Z,∴I={-2,-1,0,1,2}
∴∁IB={0,1}
∴A∪∁IB={0,1,2}.
答案:D
2.函数y=1x+log2(x+3)的定义域是(  )
A.R  B.(-3,+∞)
C.(-∞,-3)  D.(-3,0)∪(0,+∞)
解析:函数定义域x≠0x+3>0∴-3<x<0或x>0.
答案:D
3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是(  )
A.y=1x  B.y=e-x
C.y=-x2+1  D.y=lg |x|
解析:偶函数的有C、D两项,当x>0时,y=lg |x|单调递增,故选C.
答案:C
4.设x0是方程ln x+x=4的解,则x0属于区间(  )
A.(0,1)  B.(1,2)
C.(2,3)  D.(3,4)
解析:设f(x)=ln x+x-4,则有f(1)=ln 1+1-4=-3<0.f(2)=ln 2+2-4=
ln 2-2<1-2=-1<0,f(3)=ln 3+3-4=ln 3-1>1-1=0.
∴x0∈(2,3).
答案:C
5.3log34-27 -lg 0.01+ln e3=(  )
A.14  B.0
C.1  D.6
解析:原式=4-3272-lg 0.01+3=7-3323-lg 10-2=9-9=0.
答案:B
6.若y=log3x的反函数是y=g(x),则g(-1)=(  )
A.3  B.-3
C.13  D.-13
解析:由题设可知g(x)=3x,∴g(-1)=3-1=13.
答案:C
7.若实数x,y满足|x|-ln1y=0,则y关于x的函数的图象大致是(  )
 
解析:由|x|=ln1y,则y=1ex,x≥0ex,x<0.
答案:B
8.已知f(x)=log x,g(x)=2x-1,则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为(  )
A.0  B.1
C.2  D.不确定
解析:在同一坐标系中作函数f(x),g(x)的图象(图略),从而判断两函数交点个数.
答案:B
9.函数f(x)=-1x-13的零点的个数为(  )
A.0       B.1
C.2  D.3
解析:函数的定义域为{x|x≠1},
当x>1时f(x)<0,当x<1时f(x)>0,所以函数没有零点,故选A.
答案:A
10.某新品牌电视投放市场后第1个月销售100台,第2个月销售200台,第3个月销售400台,第4个月销售700台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场月数x之间的关系的是(  )
A.y=100x  B.y=50x2-50x+100
C.y=50×2x  D.y=100log2x+100
解析:代入验证即可.
答案:B
11.若f(x)=ax3+ax+2(a≠0)在[-6,6]上满足f(-6)>1,f(6)<1,则方程f(x)=1在[-6,6]内的解的个数为(  )
A.1  B.2
C.3  D.4
解析:设g(x)=f(x)-1,则由f(-6)>1,f(6)<1得[f(-6)-1][f(6)-1]<0,
即g(-6)g(6)<0.
因此g(x)=f(x)-1在(-6,6)有一个零点.
由于g(x)=ax3+ax+1(a≠0),
易知当a>0时g(x)单调递增;
当a<0时,g(x)单调递减,
即函数g(x)为单调函数,故g(x)仅有一个零点.
因此方程f(x)=1仅有一个根.故选A.
答案:A
12.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单价:万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x,其中x为销售量(单位:辆),若该公司在两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为(  )
A.45.666万元  B.45.6万元
C.45.56万元  D.45.51万元
解析:设在甲地销售x辆,在乙地则销售(15-x)辆,
∴总利润S=5.06x-0.15x2+2(15-x)
=-0.15x2+3.06x+30(0≤x≤15)
∴当x=10时,S有最大值45.6万元.
答案:B
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中的横线上)
13.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x>0时,f(x)=2x-3,
则f(-2)=________.
解析:∵f(x)为定义在R上的偶函数,∴f(-x)=f(x),
∴f(-2)=f(2)=22-3=1.
答案:1
14.已知集合A={x|ax2-3x+2=0}至多有一个元素,则a的取值范围为________.
解析:集合A有为∅和A中只有一个元素两种情况,
a=0时,A={23}满足题意,
a≠0时,则由Δ=9-8a≤0得a≥98.
答案:a≥98或a=0
15.用二分法求方程ln x=1x在[1,2]上的近似解时,取中点c=1.5,则下一个有根区间为________.
解析:令f(x)=ln x-1x,则f(1)=-1<0,f(2)=ln 2-12=ln 2-ln e12>0,
f(1.5)=f(32)=ln32-23=ln32-ln e23
e23=3e2>32,∴ln e23>ln32,即f(1.5)<0.
∴下一个有根区间为(1.5,2).
答案:(1.5,2)
16. 给出下列四个命题:
①a>0且a≠1时函数y=logaax与函数y=alogax表示同一个函数.
②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点.
③函数y=3(x-1)2的图象可由y=3x2的图象向右平移1个单位得到.
④若函数f(x)的定义域为[0,2],则函数f(2x)定义域为[0,4].
其中正确命题的序号是________(填上所有正确命题的序号)
解析:①两函数定义域不同,y=logaax定义域为R,y=alogax定义域(0,+∞).
②如果函数在x=0处没有定义,图象就不过原点,如y=1x.
③正确.
④f(x)定义域[0,2]∴f(2x)定义域0≤2x≤2即0≤x≤1,
∴f(2x)定义域为[0,1].
答案:③
三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)已知A={x|x2+2x-8=0},
B={x|log2(x2-5x+8)=1},
C={x|x2-ax+a2-19=0}.
若A∩C=∅,B∩C≠∅,求a的值.
解析:A={2,-4},B={2,3},
由A∩C=∅知2∉C,-4∉C,
又由B∩C≠∅知3∈C,
∴32-3a+a2-19=0解得a=-2或a=5,
当a=-2时,C={3,-5},满足A∩C=∅,
当a=5时,C={3,2},A∩C={2}≠∅,(舍去),
∴a=-2.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数,a≠0,x∈R)
(1)当函数f(x)的图象过点(-1,0),且方程f(x)=0有且只有一个根,求f(x)的表达式.
(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围.
解析:(1)因为f(-1)=0,所以a-b+1=0
因为方程f(x)=0有且只有一个根,
∴Δ=b2-4a=0,
∴b2-4(b-1)=0,
即b=2,a=1,
∴f(x)=(x+1)2.
(2)∵g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx
=x2-(k-2)x+1
=(x-k-22)2+1-k-224
∴当k-22≥2或k-22≤-2时
即k≥6或k≤-2时,g(x)是单调函数.
19.(本小题满分12分)已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,
且对任意x,y∈(0,+∞),都有f(xy)=f(x)-f(y).
(1)求f(1)的值;
(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)+f1x≤2.
解析:(1)∵f(x)是(0,+∞)上的增函数,且对任意x,y∈(0,+∞),都有f xy=f(x)-f(y),
∴f(1)=f(11)=f(1)-f(1)=0.
(2)若f(6)=1,
则f(x+3)+f 1x≤2=1+1=f(6)+f(6),
∴f(x+3)-f(6)≤f (6)-f 1x,
即f x+36≤f(6x),
∴0<x+36≤6x,
解得x≥335.
∴原不等式的解集为{x|x≥335}.
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=mx+n1+x2是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(12)=25.
(1)求实数m,n的值;
(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上为增函数;
(3)解关于t的不等式f(t-1)+f(t)<0.
解析:(1)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),
即m-x+n1+-x2=-mx+n1+x2.
∴n=0.
又∵f12=12m1+122=25,
∴m=1.
(2)由(1)得,f(x)=x1+x2.
设-1<x1<x2<1,
则f(x1)-f(x2)
=x11+x21-x21+x22=x11+x22-x21+x211+x211+x22
=x1-x21-x1x21+x211+x22.
∵-1<x1<x2<1,
∴x1-x2<0,1-x1x2>0,1+x21>0,1+x22>0,
∴f(x1)-f(x2)<0.
∴f(x)在(-1,1)上为增函数.
(3)∵f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,
由f(t-1)+f(t)<0,得f(t)<-f(t-1)=f(1-t).
又∵f(x)在(-1,1)上为增函数,
∴-1<t<1,-1<1-t<1,t<1-t,
解得0<t<12.
21.(本小题满分13分)某医疗研究所开发了一种新药,如果成人按规定的剂量服用,则服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线.
 
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式;
(2)据测定,每毫升血液中含药量不少于4μg时治疗痢疾有效.假设某病人一天中第一次服药时间为上午7:00,问一天中怎样安排服药时间(共4次)效果更佳?
解析:(1)依题意,得y=6t,0≤t≤1,-23t+203,1<t≤10.
(2)设第二次服药在第一次服药后t1小时,
则-23t1+203=4.
解得t1=4,因而第二次服药应在11:00.
设第三次服药在第一次服药后t2小时,则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和,即-23t2+203-23(t2-4)+203=4.
解得t2=9小时,故第三次服药应在16:00.
设第四次服药在第一次服药后t3小时(t3>10),则此时第一次服进的药已吸收完,血液中含药量为第二、三次的和,
即-23(t3-4)+203-23(t3-9)+203=4.
解得t3=13.5小时,故第四次服药应在20:30.
22.(本小题满分13分)已知函数f(x)定义域为[-1,1],若对于任意的x,y∈[-1,1],都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,有f(x)>0,
(1)证明: f(x)为奇函数;
(2)证明:f(x)在[-1,1]上是增加的.
(3)设f(1)=1,若f(x)<m-2am+2,对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.
解析:(1)令x=y=0,∴f(0)=0
令y=-x,f(x)+f(-x)=0
∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.
(2)∵f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,
令-1≤x1<x2≤1,
则f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)>0,
∴f(x)在[-1,1]上是增加的.
(3)f(x)在[-1,1]上是增加的,f(x)max=f(1)=1,使f(x)<m-2am+2对所有x∈[-1,1]恒成立,只要m-2am+2>1,即m-2am+1>0,
令g(a)=m-2am+1=-2am+m+1,
要使g(a)>0时,a∈[-1,1]恒成立,
则g-1>0,g1>0,即1+3m>0,1-m>0,
∴-13<m<1.
∴实数m的取值范围是(-13,1).

 

 

 

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