人教A版高中数学必修一第3章函数的应用章末检测题(有解析)

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人教A版高中数学必修一第3章函数的应用章末检测题(有解析)

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章末检测
时间:120分钟 满分:150分
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)=3x-5的零点所在区间为(  )
A.(-1,0)       B.(0,1)
C.(1,2)  D.(2,3)
解析:依次将区间端点代入函数,可知f(1)<0,f(2)>0,根据函数零点存在性定理可知该函数的零点所在区间为(1,2).
答案:C
2.某大型水库的蓄水量每年比上一年平均增长10.4%,那么经过x年可增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为(  )
 
解析:设水库的原有蓄水量为1,由题意,f(x)=(1+10.4%)x;即f(x)=1.104x,故选D.
答案:D
3.二次函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 m -4 -6 -6 -4 n 6
不求a、b、c的值,可以判断方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是(  )
A.(-3,-1)和(2,4)  B.(-3,-1)和(1,1)
C.(-1,1)和(1,2)  D.(-∞,-3)和(4,+∞)
解析:由表中数据可知,二次函数f(x)的图象关于直线x=12对称.
∴一根在(-∞,12)内,另一根在(12,+∞)内.而f(-3)•f(-1)=
6×(-4)<0,
f(2)•f(4)=-4×6<0.
∴两根所在区间为(-3,-1)和(2,4).
答案:A
4.函数f(x)=3ax-2a+1在[-1,1]上存在一个零点,则a的取值范围是(  )
A.a≥15  B.a≤-1
C.-1≤a≤15  D.a≥15或a≤-1
解析:特殊值验证法:取a=1,-1两个值验证,可得D.
答案:D
5.如果已知0<a<1,则方程a|x|=|logax|的实根个数为(  )
A.2  B.3
C.4  D.与a的值有关
解析:设y1=a|x|,y2=|logax|,分别作出它们的图象如图所示.
 
由图可知:有两个交点.
答案:A
6.一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,剩留的物质约是原来的45,那么经过3年,这种物质的剩留物质约是原来的(  )
A.64125   B.1625
C.256625   D.16125
解析:由(45)3=64125.
答案:A
7.已知函数f(x)是偶函数,其图象与x轴有四个不同的交点,则函数f(x-1)的所有零点之和为(  )
A.0  B.8
C.4   D无法确定
解析:函数f(x)是偶函数,所以图象关于y轴对称,所以四个零点之和为0,而f(x-1)是f(x)图象向右平移了一个单位,所以零点之和为4.
答案:C
8.某企业2014年12月份的产值是这年1月份产值的P倍,则该企业2014年度产值的月平均增长率为(  )
A.PP-1   B.11P-1
C.11P   D.P-111
解析:设1月份产值为a,增长率为x,则aP=a(1+x)11,
∴x=11P-1,故选B.
答案:B
9.已知在x克a%的盐水中,加入y克b%(a≠b)的盐水,浓度变为c%,将y表示成x的函数关系式为(  )
A.y=c-ac-bx  B.y=c-ab-cx
C.y=c-bc-ax  D.y=b-cc-ax
解析:根据配制前后溶液不变,则有a%x+b%y=c%(x+y),
∴ax+by=cx+cy,故y=c-ab-cx.
答案:B
10.用二分法判断方程2x3+3x-3=0在区间(0,1)内的根(精确度0.25)可以是(参考数据:0.753=0.421 875,0.6253=0.244 14)(  )
A.0.25  B.0.375
C.0.635  D.0.825
解析:令f(x)=2x3+3x-3,f(0)<0,f(1)>0,
f(0.5)<0,f(0.75)>0,f(0.625)<0,
∴方程2x3+3x-3=0的根在区间(0.625,0.75)内,
∵0.75-0.625=0.125<0.25,
∴区间(0.625,0.75)内的任意一个值均可作为方程的近似根.故选C.
答案:C
11.某地区植被破坏、土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则下列函数中与沙漠增加数y万公顷关于年数x的函数关系较为相似的是(  )
A.y=0.2x  B.y=110(x2+2x)
C.y=2x10  D.y=0.2+log16x
解析:将(1,0.2),(2,0.4),(3,0.76)与x=1,2,3时,选项A、B、C、D中得到的y值做比较,y=2x10的y值比较接近.
答案:C
12.若方程xlg(x+2)=1的实根在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则k=(  )
A.-2  B.1
C.-2或1  D.0
解析:由题意知,x≠0,则原方程即为lg(x+2)=1x.在同一直角坐标系中作出函数y=lg(x+2)与y=1x的图象,如图所示.由图象可知,原方程有两个根,一个在区间(-2,-1)上,一个在区间(1,2)上,所以k=-2或1.
答案:C
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中的横线上)
13.若函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是________.
解析:设函数y=ax(a>0,且a≠1)和函数y=x+a,则函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,就是函数y=ax(a>0,且a≠1)与函数y=x+a有两个交点.由图象可知当0<a<1时两函数只有一个交点.不符合;当a>1时,因为函数y=ax(a>1)的图象过点(0,1),而直线y=x+a所过的点(0,a)一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是{a|a>1}.
 
答案:(1,+∞)
14.若函数y=f(x)是R上的奇函数,其零点为x1,x2,…,x2 009,则x1+x2+…+x2 009=________.
解析:定义在R上的奇函数f(x)必有f(0)=0,则x1,x2…x2 009中必有一个是零,其余的2 008个零点分别在x轴上,关于坐标原点两两对称.
答案:0
15.为了稳定市场,确保农民增收,某农产品的市场收购价格a与其前三个月的市场收购价格有关,且使a与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小.若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格,则7月份该产品的市场收购价格应为________.
月份 1 2 3 4 5 6
价格(元/担) 68 78 67 71 72 70
解析:由于农产品的市场收购价格a与其前三个月的市场收购价格有关,且a与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小,则7月份的收购价格为函数y=(a-71)2+(a-72)2+(a-70)2取得最小值时的a,则a=71+72+703=71.从而7月份的收购价格为71元/担.
答案:71元/担
16. 对于实数a和b,定义运算“*”:a*b=a2-ab,a≤bb2-ab,a>b,设f(x)=(2x-1)*(x-1),且关于x的方程f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根,则m的取值范围是________.
解析:由定义运算“*”可知f(x)
=2x-12-2x-1x-1,2x-1≤x-1x-12-2x-1x-1,2x-1>x-1
=2x-142-18,x≤0-x-122+14,x>0,画出该函数图象可知,
 
当直线y=m在x轴之上与直线y=14之间时,方程f(x)=m恰有三个互不相等的实数根,
所以0<m<14.
答案:0<m<14
三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分为12分)若函数f(x)=mx2-x-2只有一个零点,试求m的取值范围.
解析:①当m=0,则f(x)=-x-2,f(x)仅有一个零点-2.
②当m≠0,则f(x)=mx2-x-2是二次函数,若是只有一个零点,即方程mx2-x-2=0仅有一个实数根,故Δ=1+8m=0
解得m=-18.
综上,当m=0或m=-18时函数只有一个零点.
18.(本小题满分为12分)试找出一个长度为1的区间,在这个区间上函数y=x-13x+2至少有一个零点.
解析:函数f(x)=x-13x+2的定义域为(-∞,-23)∪(-23,+∞).取区间[12,32],
∵f(12)=12-132+2=-17<0,f(32)=32-192+2=113>0,
∴在区间[12,32]内函数f(x)至少有一个零点.
∴[12,32]就是符合条件的一个区间.
19.(本小题满分为12分)渔场中鱼群的最大养殖量为m(m>0),为了保证鱼群的生长空间,实际养殖量x小于m,以便留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比,比例系数为k(k>0).
(1)写出y关于x的函数关系式,并指出该函数的定义域;
(2)求鱼群年增长量的最大值.
解析:(1)根据题意知空闲率是m-xm,故y关于x的函数关系式是y=kx•m-xm,0<x<m.
(2)∵y=kx•m-xm=-kmx2+kx=-km(x-m2)2+mk4,
∴当x=m2时,ymax=mk4.
20.(本小题满分为12分)为了保护学生的视力,课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的,研究表明:假设课桌的高度为y cm,椅子的高度为x cm,则y应是x的一次函数,下表列出两套符合条件的课桌椅的高度:
 第一套 第二套
椅子高度x(cm) 40.0 37.0
桌子高度y(cm) 75.0 70.2
(1)请你确定y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围);
(2)现有一把高42.0 cm的椅子和一张高78.2 cm的课桌,它们是否配套?为什么?
解析:(1)依题意,由于课桌高度y是椅子高度x的一次函数,故可设y=ax+b,将给出的符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数关系式,得40a+b=75,37a+b=70.2,解得a=1.6,b=11.所以y与x的函数关系式是y=1.6x+11.
(2)将x=42代入(1)中的函数解析式得y=1.6×42+11=78.2,因此给出的这套课桌椅是配套的.
21.(本小题满分为13分)是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上与x轴恒有一个交点,且只有一个交点,若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,说明理由.
解析:(1)若函数f(x)在(-1,3)上有一个零点,则只需有f(-1)•f(3)<0,
即(1-3a+2+a-1)(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)<0,
∴a<-15或a>1.
(2)若f(-1)=0,则a=1,
此时f(x)=x2+x,
令f(x)=0,即x2+x=0,得
x=0或x=-1.
方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠1.
(3)若f(3)=0,则a=-15,
此时f(x)=x2-135x-65.
令f(x)=0,即x2-135x-65=0,
解得x=-25或x=3,
方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠-15.
综上所述,a的取值范围为(-∞,-15)∪(1,+∞).
22.(本小题满分为 13分)某商场以100元/件的价格购进一批衬衣,以高于进价的价格出售,销售有淡季与旺季之分.通过市场调查发现:
①销售量r(x)与衬衣标价(x元/件)在销售旺季近似符合函数关系:r(x)=kx+b1,在销售淡季近似符合函数关系:r(x)=kx+b2,其中k<0,b1,b2>0,且k,b1,b2为常数;
②在销售旺季,商场以140元/件的价格销售能获得最大利润;
③若称①中r(x)=0的标价x为衬衣的“临界价格”,则销售旺季的“临界价格”是销售淡季“临界价格”的1.5倍.
请根据上述信息,完成下列问题:
(1)填出表格中空格的内容.
   数量关系
销售季节   标价
(元/件) 销售量r(x)(件)
(含k、b1或b2) 不同季节的销售总利润y(元)与标价x(元/件)的函数关系式
旺季 x r(x)=kx+b1 
淡季 x  
(2)在销售淡季,该商场要获得最大销售利润,衬衣的标价应定为多少元才合适?
解析:(1)如下表:
  数量关系
销售季节   标价
(元/件) 销售量r(x)(件)
(含k、b1或b2) 不同季节的销售总利润y(元)与标价x(元/件)的函数关系式
旺季 x r(x)=kx+b1 y=kx2-(100k-b1)x-100b1
淡季 x r(x)=kx+b2 y=kx2-(100k-b2)x-100b2
(2)在(1)的表达式中,由k<0可知:
在销售旺季,当x=100k-b12k=50-b12k时,利润y取得最大值;
在销售淡季,当x=100k-b22k=50-b22k时,利润y取得最大值.
下面分销售旺季和销售淡季进行讨论:
由②知,在销售旺季,商场以140元/件价格出售时,能获得最大利润.
因此在销售旺季,当标价x=50-b12k=140时,利润y取得最大值.
此时b1=-180k,销售量为r(x)=kx-180k.
由kx-180k=0知,在销售旺季,衬衣的“临界价格”为180元/件.
∵销售旺季的“临界价格”是销售淡季“临界价格”的1.5倍,
∴销售淡季的“临界价格”为120元/件,
∴120k+b2=0,
∴在销售淡季,当标价x=50-b22k=110元/件时,利润y取得最大值.
故在销售淡季,商场要获得最大利润,应将衬衣的标价定为110元/件合适.


 

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