人教A版高中数学必修一第1章集合与函数的概念章末检测题(附解析)

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人教A版高中数学必修一第1章集合与函数的概念章末检测题(附解析)

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章末检测
时间:120分钟 满分:150分
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2016•高考全国卷Ⅲ)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=(  )
A.[2,3]           B.(-∞,2]∪[3,+∞)
C.[3,+∞)        D.(0,2]∪[3,+∞)
解析:由题意知S={x|x≤2或x≥3},则S∩T={x|0<x≤2或x≥3}.故选D.
答案:D
2.设集合A={a,b},B={a+1,6},且A∩B={1},则A∪B=(  )
A.{1,6}  B.{0,6}
C.{0,1}  D.{0,1,6}
解析:∵A∩B={1},∴1∈A,1∈B,∴a+1=1,∴a=0,b=1.∴A={0,1},B={1,6},∴A∪B={0,1,6}.
答案:D
3.已知f(x)=ax+bx(a,b为常数),且f(1)=1,则f(-1)=(  )
A.1  B.-1
C.0  D.不能确定
解析:∵f(x)是奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-1.
答案:B
4.f(x)=x2-2x,x≥0,-x,x<0,则f(3)=(  )
A.3  B.-3
C.0  D.6
解析:∵3≥0,∴f(3)=32-2×3=3.
答案:A
5.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,f(1)=2,则f(3)等于(  )
A.10  B.6
C.12  D.16
解析:令x=y=1得f(2)=f(1)+f(1)+2=6,
令x=2,y=1得f(3)=f(1)+f(2)+2×2=2+6+4=12.
答案:C
6.若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=f2xx-1的定义域是(  )
A.[0,1]  B.[0,1)
C.[0,1)∪(1,4]  D.(0,1)
解析:要使g(x)有意义,则0≤2x≤2,x-1≠0,解得0≤x<1,故定义域为[0,1),选B.
答案:B
7.设f(x)=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,g(x)=1,x为有理数,0,x为无理数,
则f(g(π))的值为(  )
A.1  B.0
C.-1  D.π
解析:∵g(π)=0,∴f[g(π)]=f(0)=0,选B.
答案:B
8.已知a,b为两个不相等的实数,集合M={a2-4a,-1},N={b2-4b+1,-2},映射f:x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x,则a+b等于(  )
A.1  B.2
C.3  D.4
解析:由已知得a2-4a=-2,b2-4b+1=-1,⇒a2-4a+2=0,b2-4b+2=0,
∴a,b为方程x2-4x+2=0两个根,
∴a+b=4.
答案:D
9.已知集合A={x|-2≤x≤7},集合B={x|m+1<x<2m-1},若A∪B=A,则实数m的取值范围是(  )
A.-3≤m≤4  B.-3<m<4
C.2<m≤4  D.m≤4
解析:由题设可知B⊆A.
(1)当B=∅,即m+1≥2m-1,m≤2时满足题设
(2)B≠∅时,2m-1>m+1,m+1≥-2,2m-1≤7,解得2<m≤4
综上所述,m的取值范围是m≤4.
答案:D
10.y=1x-2+1在[3,4]的最大值为(  )
A.2   B.32
C.52  D.4
解析:y=1x-2+1在[3,4]上是减函数,
∴y的最大值为13-2+1=2.
答案:A
11.奇函数f(x)在(0,+∞)上的解析式是f(x)=x(1-x),则在(-∞,0)上,函数f(x)的解析式是(  )
A.f(x)=-x(1-x)  B.f(x)=x(1+x)
C.f(x)=-x(1+x)  D.f(x)=x(x-1)
解析:当x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞),由于函数f(x)是奇函数,
故f(x)=-f(-x)=x(1+x).
答案:B
12.若函数f(x)是奇函数,且在(-∞,0)上是增函数,又f(-2)=0,则x•f(x)<0的解集是(  )
A.(-2,0)∪(0,2)  B.(-∞,-2)∪ (0,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)  D.(-2,0)∪(2,+∞)
解析:因为函数f(x)是奇函数,且在(-∞,0)上是增函数,又f(-2)=0,所以可画出符合条件的奇函数f(x)的图象,如图所示.
 
因为x•f(x)<0,所以x>0fx<0或x<0fx>0,结合图象,x的范围是(-2,0)∪(0,2).
答案:A
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中的横线上)
13.已知f(2x+1)=x2,则f(5)=________.
解析:f(5)=f(2×2+1)=22=4.
答案:4
14.已知f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9且g(-2)=3,则f(2)=________.
解析:g(-2)=f(-2)+9=3,∴f(-2)=-6,
又∵f(x)是奇函数,∴f(2)=-f(-2)=6.
答案:6
15.已知U={0,2,3,4},A={x∈U|x2+mx=0},若∁UA={2,3},则实数m=________.
解析:由题设可知A={0,4},故0,4是方程x2+mx=0的两根,∴x1+x2=4=-m,
∴m=-4.
答案:-4
16. 已知f(x)=3-ax-4a,x<1,x-12,x≥1,若f(x)是R上的增函数,则实数a的范围是________.
解析:3-a>03-a×1-4a≤1-12解得35≤a<3.

答案:35,3
三、解答题 (本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)已知集合A={-2},B={x|ax+1=0,a∈R},B⊆A,求a的值.
解析:∵B⊆A,A≠∅,
∴B=∅或B≠∅.
当B=∅时,方程ax+1=0无解,此时a=0.
当B≠∅时,此时a≠0,B={-1a},
∴-1a∈A,即有-1a=-2,得a=12.
综上所述,a=0或a=12.
18.(本小题满分1 2分)已知y=f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,求f(x)在R上的解析式f(x).
解析:设x<0,则-x>0,∵f(x)是定义在R上的偶函数,
f(x)=f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,
∴f(x)=x2-2x,x≥0x2+2x,x<0.
19.(本小题满分12分)某市乘出租车计费规定:2公里以内5元,超过2公里不超过8公里的部分按每公里1.6元计费,超过8公里以后按每公里2.4元计费.若甲、乙两地相距10公里,则乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为多少元?
解析:设乘出租车走x公里,车费为y元,
由题意得y=5,0<x≤25+1.6×x-2,2<x≤8,14.6+2.4×x-8,x>8
即y=5,0<x≤21.8+1.6x,2<x≤8,2.4x-4.6,x>8
因为甲、乙两地相距10公里,即x=10>8,所以车费
y=2.4×10-4.6=19.4(元).
所以乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为19.4元.
20.(本小题满分12分)奇函数f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,
且f(1-a)+f(2a-1)<0,求实数a的取值范围.
解析:由f(1-a)+f(2a-1)<0,得f(1-a)<-f(2a-1),
∵f(x)是奇函数,∴f(1-a)<f(1-2a)
又∵f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,
∴-1<1-a<1-1<1-2a<1,1-a>1-2a
解得0<a<1,
即所求实数a的取值范围是0<a<1.
21.(本小题满分13分)已知f(x)是R上的奇函数,当x>0时,解析式为f(x)=2x+3x+1.
(1)求f(x)在R上的解析式;
(2)用定义证明f(x)在(0,+∞)上为减函数.
解析: (1)设x<0,则-x>0,
所以f(-x)=-2x+3-x+1.
又因为f(x)是R上的奇函数,
所以f(-x)=-f(x)=-2x+3-x+1,所以f(x)=-2x+3x-1.
又奇函数在0点有意义,所以f(0)=0,
函数的解析式为f(x)=-2x+3x-1,x<0,0,x=0,2x+3x+1,x>0.
(2)设∀x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=2x1+3x1+1-2x2+3x2+1
=2x1+3x2+1-2x2+3x1+1x1+1x2+1
=-x1+x2x1+1x2+1.
因为x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,
所以x1+1>0,x2+1>0,x2-x 1>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,
所以f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)在(0,+∞)上为减函数.
22.(本小题满分13分)设函数f(x)的定义域为R,并且图象关于y轴对称,
当x≤-1时,y=f(x)的图象是经过点(-2,0)与(-1,1)的射线,又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0,2),且经过点(1,1)的一段抛物线.
(1)试求出函数f(x)的表达式,作出其图象;
(2)根据图象说出函数的单调区间,以及在每一个单调区间上函数是增函数还是减函数.
解析:(1)当x≤-1时,设f(x)=ax+b(a≠0),由已知得-2a+b=0,-a+b=1,
解得a=1,b=2,所以f(x)=x+2(x≤-1).
由于函数图象关于y轴对称,则由x≥1,得-x≤-1,f(-x)=-x+2,
且f(-x)=f(x),所以f(x)=-x+2(x≥1).
当-1<x<1时,设f(x)=mx2+2,由已知得m=-1,即f(x)=-x2+2(-1<x<1),所以函数f(x)的表达式为f(x)=x+2,x≤-1,-x2+2,-1<x<1,-x+2,x≥1,图象如图所示.
(2)从图象可看出,函数f(x)的单调区间有(-∞,-1],(-1,0],(0,1),[1,+∞).
其中,f(x)在区间(-∞,-1]和(-1,0]上是增函数;在区间(0,1)和[1,+∞)上是减函数.

 

 

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