2017-2018高一数学下学期期末试题(有解析江西赣州一中)

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2017-2018高一数学下学期期末试题(有解析江西赣州一中)

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江西赣州第一中学2017-2018学年下学期高一年级期末考试卷
数学
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若实数a,b∈R且a>b,则下列不等式恒成立的是(   )           
A. a2>b2                            B.                              C. 2a>2b                            D. lg(a﹣b)>0
【答案】C                   
【解析】选项A,当a=﹣1且b=﹣2时,显然满足a>b但不满足a2>b2  , 故错误;选项B,当a=﹣1且b=﹣2时,显然满足a>b但  =  ,故错误;选项C,由指数函数的单调性可知当a>b时,2a>2b  , 故正确;选项D,当a=﹣1且b=﹣2时,显然满足a>b但lg(a﹣b)=lg1=0,故错误.故答案为:C.
2.已知 ,则 的值为(    )
A.  B.  C.  D.
【答案】D
【解析】由诱导公式可得 ,
则 .故选D.
3.α,β为两个不同的平面,m,n为两条不同的直线,下列命题中正确的是(   )
①若α∥β,m⊂α,则m∥β;
②若m∥α,n⊂α,则m∥n;
③若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥β;
④若n⊥α,n⊥β,m⊥α,则m⊥β.           
A. ①③                                     B. ①④                                     C. ②③                                     D. ②④
【答案】B                   
【解析】由α,β为两个不同的平面, m,n为两条不同的直线,知:在①中,若α∥β,m⊂α,则由面面平行的性质定理得m∥β,故①正确;在②中,若m∥α,n⊂α,则m与n平行或异面,故②错误;在③中,若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m与β相交、平行或m⊂β,故③错误;在④中,若n⊥α,m⊥α,则m∥n,由n⊥β,得m⊥β,故④正确.故答案为:B.
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn  , 若S7=21,S17=34,则S27=(   )           
A. 27                                        B. ﹣27                                        C. 0                                        D. 37
【答案】A                   
【解析】由等差数列的求和公式性质可设Sn=An2+Bn,
∵S7=21,S17=34,∴  ,解得A=  ,B=  .
∴Sn=﹣  n2+  n.
则S27=  +  =27.
故答案为:A.
5.五四青年节活动中,高三(1)、(2)班都进行了3场知识辩论赛,比赛得分情况的茎叶图如图所示(单位:分),其中高三(2)班得分有一个数字被污损,无法确认,假设这个数字 具有随机性 ,那么高三(2)班的平均得分大于高三(1)班的平均得分的概率为(    )
 
A.  B.  C.  D.
【答案】D
【解析】由径叶图可得高三(1)班的平均分为 ,高三(2)的平均分为 ,由 ,得 ,又 ,所以 可取6,7,8,9,概率为 ,故选D.
6.如图所示的程序框图输出的结果为30,则判断框内的条件是(    )
 
A.  B.  C.  D.
【答案】B
【解析】当 , 时,不满足退出循环的条件,执行循环体后, , ;
当 , 时,不满足退出循环的条件,执行循环体后, , ;
当 , 时,不满足退出循环的条件,执行循环体后, , ;
当 , 时,不满足退出循环的条件,执行循环体后, , ;
当 , 时,满足退出循环的条件,故判断框内的条件是 ,故选B.
7.某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试,先将700个零件进行编号,001,002,……,699,700.从中抽取70个样本,下图提供随机数表的第4行到第6行,若从表中第5行第6列开始向右读取数据,则得到的第6个样本编号是(    )
32211834297864540732524206443812234356773578905642
84421253313457860736253007328623457889072368960804
32567808436789535577348994837522535578324577892345
A.623 B.328 C.253 D.007
【答案】A
【解析】从第5行第6列开始向右读取数据,第一个数为253,第二个数是313,第三个数是457,下一个数是860,不符合要求,下一个数是736,不符合要求,下一个是253,重复,
第四个是007,第五个是328,第六个是623,故选A.
8.将函数 的图像向右平移 个单位长度,得到函数 的图像,若 在 上为增函数,则 的最大值为(    )
A.3 B.2 C.  D.
【答案】B
【解析】由题意可得 ,
当 时, ,由于 ,故函数 在 上不是增函数,
当 时, ,由于 ,故函数 在 上是增函数.
故选B.
9.一个几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的体积为  ,则这个几何体的外接球的表面积为(   )
 
A. 8π                                      B. 24π                                      C. 48π                                      D. 64π
【答案】D                   
【解析】由三视图可得该几何体为底面边长为5、6,一条侧棱垂直底面的四棱锥,设高为h,则  ,解得h=  .将该几何体补成一个长方体,则其外接球半径为R=  ,故这个几何体的外接球的表面积为4πR2=64π.故答案为:D.
10.若 , , , ,则 等于(    )
A.  B.  C.  D.
【答案】C
【解析】由题意得 ,故 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
所以
 
 .故选C.
11.已知在 中,两直角边 , , 是 内一点,且 ,设 ,则 (    )
A.  B.  C.3 D.
【答案】A
【解析】如图以 为原点,以 所在的直线为 轴,以 所在的直线为 轴建立平面直角坐标系,则 点坐标为 , 点坐标为 ,因为 ,设 点坐标为 , , ,
则 ,故选A.
 
12.已知函数 ,其图象与直线 相邻两个交点的距离为 .若 对 恒成立,则 的取值范围是(    )
A.  B.  C.  D.
【答案】D
【解析】函数 ,其图象与直线 相邻两个交点的距离为 ,故函数的周期为 , , ,
若 对 恒成立,即当 时, 恒成立,
故有 , ,求得 , ,
又 , .故选D.
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.从集合 的所有子集中任取一个集合,它含有2个元素的概率为__________.
【答案】
【解析】由题意得,集合 有 个子集,含有2个元素的集合共有 种,
故含有2个元素的概率为 .
14.若直线l1:(a+2)x+(a﹣1)y+8=0与直线l2:(a﹣3)x+(a+2)y﹣7=0垂直,那么a的值为________.   
【答案】±2                   
【解析】a=1时,两条直线分别化为:3x+8=0,﹣2x+3y﹣7=0,此时两条直线不垂直,舍去.a=﹣2时,两条直线分别化为:﹣3x+8=0,﹣5x﹣7=0,此时两条直线垂直,因此a=﹣2满足条件.a≠﹣2,1时,由﹣  ×  =﹣1,化为:a=2.满足条件.综上可得:a=±2.故答案为:±2.
15.已知向量 , 满足 , , ,则向量 , 的夹角为_______.
【答案】
【解析】由题意 , , ,可得 ,所以 ,又因为 ,且 ,所以 ,
所以向量 , 的夹角为 .
16.已知函数 ,若 在区间 内没有极值点,则 的取值范围是________________.
【答案】
【解析】 ,
∴ , ,可得 ,
解得 ,∴  ,
∵ 在区间 内没有零点,∴ ,故答案为 .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知数列{an}的首项a1=1,前n项和为Sn  , 且满足(n+1)an=2Sn(n∈N*).   
(1)求数列{an}的通项公式;   
(2)设bn=ancos(πan),求数列{bn)的前n项和Tn .    
【答案】(1)解:∵(n+1)an=2Sn  , ∴(n+2)an+1=2Sn+1 .
两式相减,得(n+1)an=nan+1  , 即  =  .
∴an=  •…• 
=  •…•  ×1=n
(2)解:∵bn=ancos(πan)=ncosnπ=n(﹣1)n  ,
∴Tn=1×(﹣1)+2×(﹣1)2+3×(﹣1)3+4×(﹣1)4+…+n×(﹣1)n  , ①
﹣Tn=1×(﹣1)2+2×(﹣1)3+3×(﹣1)4+4×(﹣1)5+…+n×(﹣1)n+1 . ②
①﹣②,整理得
2Tn=﹣1+(﹣1)2+(﹣1)3+(﹣1)4+…+(﹣1)n﹣n(﹣1)n+1=  ﹣﹣n(﹣1)n+1
∴Tn=  (﹣1)n﹣  .                   
【解析】解法2:bn=ancos(πan)=ncosnπ=n(﹣1)n=  .
当n为偶数时,Tn=﹣1+2﹣3+4﹣5+6…﹣(n(n﹣1)﹣n=  ﹣n=﹣  .
∴Tn=  (﹣1)n﹣  .
18.(12分)甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5个不同题目,选择题3个,判断题2个,甲、乙两人各抽一题.
(1)求甲抽到判断题,乙抽到选择题的概率是多少;
(2)求甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】5个不同题目,甲、乙两人各抽一题,共有20种情况,把3个选择题记为 、 、 ,2个判断题记为 、 .“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的情况有: , , , , , ,共6种;“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的情况有: , , , , , ,共6种;“甲、乙都抽到选择题”的情况有: , , , , , ,共6种;“甲、乙都抽到判断题”的情况有: , ,共2种.
(1)“甲抽到选择题,乙轴到判断题”的概率为 ,
(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为 ,故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为 .
19.(12分)某商店对新引进的商品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:
定价 (元) 9 9.2 9.4 9.6 9.8 10
销量 (件) 100 94 93 90 85 78
(1)求回归直线方程 ;
(2)假设今后销售依然服从(1)中的关系,且该商品进价为每件5元,为获得最大利润,商店应该如何定价?(利润=销售收入-成本).
参考公式: , .
【答案】(1) ;(2)9.5.
【解析】(1) , ,
 , , , ,
 .
(2)设商店的获利为 元,则
 ,
当且仅当 时, 取得最大值405,即商店应定为9.5元.
20.(12分)设 , ,满足 ,及 .
(1)求 与 的夹角;
(2)求 的值.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】(1) 平方得 , ,
 , .
(2) .
21.(12分)如图所示,三棱锥V﹣ABC中,VA=VB=AC=BC=2,AB=2  ,VC=1,线段AB的中点为D.
 
(1)求证:平面VCD⊥平面ABC;   
(2)求三棱锥V﹣ABC的体积.
【答案】(1)证明:如图所示:
∵VA=VB=2,AB=2  ,D为AB的中点,
∴VD⊥AB,VD=  =1.
同理CD⊥AB,CD=1,CD∩VD=D,∴AB⊥平面VCD.
又∵AB⊂平面ABC,∴平面VCD⊥平面ABC.
(2)解:∵AB⊥平面VCD,
∴三棱锥V﹣ABC的体积等于三棱锥A﹣VCD与B﹣VCD的体积之和.
∵VC=VD=CD=1,
∴△VCD的面积为:
 =  =  ,
∴三棱锥V﹣ABC的体积为:
VV﹣ABC=  =  =  .
22.(12分)已知函数 , .
(1)求函数 的最小正周期;
(2)若 ,求函数 的最大值及其相应的 值.
【答案】(1) ;(2) , .
【解析】(1) ,
所以 .
(2) , ,
 当 即 时,函数 取到最大值为 .


 

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