空间图形基本关系的认识与公理1-3课下能力提升(含答案和解释)

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空间图形基本关系的认识与公理1-3课下能力提升(含答案和解释)

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课下能力提升(五)空间图形基本关系的认识与公理1-3
一、选择题
1.如果空间四点A,B,C,D不共面,那么下列判断中正确的是(  )
A.A,B,C,D四点中必有三点共线
B.A,B,C,D四点中不存在三点共线
C.直线AB与CD相交
D.直线AB与CD平行
2.若点A在直线b上,b在平面β内,则A,b,β之间的关系可以记作(  )
A.A∈b,b∈β       B.A∈b,b β
C.A b,b β            D.A b,b∈β
3.如图,平面α∩平面β=l,点A∈α,点B∈α,且点C∈β,点C∉l.又AB∩l=R,设A,B,C三点确定的平面为γ,则β∩γ是(  )
 
A.直线AC              B.直线BC
C.直线CR              D.直线AR
4.平行六面体ABCD­A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为(  )
A.3     B.4     C.5      D.6
5.在四面体ABCD的棱AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果EF与HG交于点M,则(  )
A.M一定在直线AC上
B.M一定在直线BD上
C.M可能在AC上,也可能在BD上
D.M不在AC上,也不在BD上
二、填空
6.空间四点A,B,C,D,其中任何三点都不在同一直线上,它们一共可以确定平面的个数为________.
7.如图,在这个正方体中,①BM与ED平行;②CN与BM是异面直线;③CN与BE是异面直线;④DN与BM是异面直线.
 
以上四个命题中,正确命题的序号是________.
8.有下面几个说法:
①如果一条线段的中点在一个平面内,那么它的两个端点也在这个平面内;
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
③两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
④四边形有三条边在同一平面内,则第四条边也在这个平面内;
⑤点A在平面α外,点A和平面α内的任意一条直线都不共面.
其中正确的序号是__________(把你认为正确的序号都填上).
三、解答题
9.如图所示,AB∩α=P,CD∩α=P,A,D与B,C分别在平面α的两侧,AC∩α=Q,BD∩α=R.
 
求证:P,Q,R三点共线.
10.已知:a,b,c,d是两两相交且不共点的四条直线.求证:a,b,c,d共面.


答  案
1. 解析:选B 若A,B,C,D四点中有三点共线,则A,B,C,D四点共面,若AB与CD相交(或平行),则AB与CD共面,即得A,B,C,D四点共面.
2. 解析:选B ∵点A在直线b上,∴A∈b,又∵直线b在平面β内,∴b β,∴A∈b,b β.
3. 解析:选C ∵C∈平面ABC,AB 平面ABC,而R∈AB,
∴R∈平面ABC.而C∈β,l β,R∈l,∴R∈β,
∴点C,点R为两平面ABC与β的公共点,∴β∩γ=CR.
4. 解析:选C 如图,与AB共面也与CC1共面的棱有CD,BC,BB1,AA1,C1D1,共5条.
5. 解析:选A 因为E,F,G,H分别是四面体ABCD的棱AB,BC,CD,DA上的点,EF与HG交于点M,所以点M为平面ABC与平面ACD的公共点,而两个平面的交线为AC,所以M一定在直线AC上.
6. 解析:四点共面时,确定1个平面,任何三点不共线,四点不共面时,确定4个平面.
答案:1或4
7. 解析:观察图形可知①③错误,②④正确.
答案:②④
8. 解析:①中线段可与平面α相交;②中的四边形可以是空间四边形;③中平行的对边能确定平面,所以是平行四边形;④中三边在同一平面内,可推知第四条边的两个端点也在这个平面内,所以第四条边在这个平面内;⑤中点A与α内的任意直线都能确定一个平面.
答案:③④
9. 证明:∵AB∩α=P,CD∩α=P,∴AB∩CD=P.
∴AB,CD可确定一个平面,设为β.
∵A∈AB,C∈CD,B∈AB,D∈CD,
∴A∈β,C∈β,B∈β,D∈β.
∴AC β,BD β,平面α,β相交.
∵AB∩α=P,AC∩α=Q,BD∩α=R,
∴P,Q,R三点是平面α与平面β的公共点.
∴P,Q,R都在α与β的交线上,故P,Q,R三点共线.
10. 证明:①无三线共点情况,如图所示,
 

设a∩d=M,b∩d=N,c∩d=P,a∩b=Q,a∩c=R,b∩c=S.
∵a∩d=M,∴a,d可确定一个平面α.
∵N∈d,Q∈a,∴N∈α,Q∈α.
∴NQ α,即b α.同理c α.∴a,b,c,d共面.
②有三线共点的情况,如图所示,
 
设b,c,d三线相交于点K,与a分别交于N,P,M,且K∉a,
∵K∉a,∴K与a确定一个平面,设为β.
∵N∈a,a β,∴N∈β.
∴NK β,即b β.同理,c β,d β.∴a,b,c,d共面.

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