垂直关系的性质课下能力提升题(带答案和解释)

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垂直关系的性质课下能力提升题(带答案和解释)

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课下能力提升(十)垂直关系的性质
一、选择题
1.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,m α和m⊥γ,那么必有(  )
A.α⊥γ且l⊥m     B.α⊥γ且m∥β
C.m∥β且l⊥m          D.α∥β且α⊥γ
2.(浙江高考)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面(  )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n 
B.若m∥α,m∥β,则α∥β
C.若m∥n,m⊥α,则n⊥α 
D.若m∥α,α⊥β,则m⊥β
3.在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,PA⊥平面ABCD,且PA=1,PE⊥DE,则PE的长为(  )
A.292      B.135
C.175       D.1195
4.设平面α⊥平面β,且α∩β=l,直线aα,直线bβ,且a不与l垂直,b不与l垂直,那么a与b(  )
A.可能垂直,不可能平行
B.可能平行,不可能垂直
C.可能垂直,也可能平行
D.不可能垂直,也不可能平行
5.如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体ABCD,则在四面体ABCD中,下列命题正确的是(  )
 
A.平面ABD⊥平面ABC  B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC  D.平面ADC⊥平面ABC
二、填空
6.α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:________.
7.已知平面α⊥平面β,在α,β的交线上取线段AB=4 cm,AC,BD分别在平面α和β内,它们都垂直于AB,并且AC=3 cm,BD=12 cm,则CD的长为________ cm.
8.已知m,n是直线,α,β,γ是平面,给出下列命题:
①若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊥α或n⊥β;
②若α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则m∥n;
③若m不垂直于α,则m不可能垂直于α内的无数条直线;
④若α∩β=m,m∥n,且n α,n β,则n∥α且n∥β.
其中正确的命题的序号是________(注:把你认为正确的命题的序号都填上).
 
三、解答题
9.如图,A,B,C,D是空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=2,等边△ADB所在的平面以AB为轴可转动.
 
(1)当平面ADB⊥平面ABC时,求CD的长;
(2)当△ADB转动过程中,是否总有AB⊥CD?请证明你的结论.
10.如图,已知四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABC,M,N分别是AB,PC的中点.
 
(1)求证:MN⊥AB;
(2)若PA=AD,求证:MN⊥平面PCD.

 

答  案
1. 解析:选A ∵m⊥γ,m α,l γ,∴α⊥γ,m⊥l;B错,有可能m β;C错,有可能m β;D错,有可能α与β相交.
2. 解析:选C 逐一判断可知,选项A中的m,n可以相交,也可以异面;选项B中的α与β可以相交;选项D中的m与β的位置关系可以平行、相交、m在β内,故选C.
3. 解析:选B 如图所示,连接AE.
 
∵PA⊥平面ABCD,
BD 平面ABCD,∴PA⊥BD.
又∵BD⊥PE,PA∩PE=P,
∴BD⊥平面PAE,∴BD⊥AE.∴AE=3×45=125.
所以在Rt△PAE中,由PA=1,AE=125,得PE=135.
4. 解析:选B 当a,b都平行于l时,a与b平行,假设a与b垂直,如图所示,由于b与l不垂直,在b上任取一点A,过点A作b′⊥l,
 
∵平面α⊥平面β,∴b′⊥平面α,从而b′⊥a,又由假设a⊥b易知a⊥平面β,从而a⊥l,这与已知a不与l垂直矛盾,∴假设不正确,a与b不可能垂直.
5. 解析:选D 在图①中,∵∠BAD=90°,AD=AB,
∴∠ADB=∠ABD=45°.
∵AD∥BC,∴∠DBC=45°.又∵∠BCD=45°,
∴∠BDC=90°,即BD⊥CD.
在图②中,此关系仍成立.∵平面ABD⊥平面BCD,
∴CD⊥平面ABD.
∵BA 平面ADB,∴CD⊥AB.
∵BA⊥AD,∴BA⊥平面ACD.
∵BA 平面ABC,∴平面ABC⊥平面ACD.
6. 解析:利用面面垂直的判定,可知①③④⇒②为真;利用面面垂直的性质,可知②③④⇒①为真.
答案:若①③④,则②(或若②③④,则①)
7. 解析:如图,连接AD,CD.
 
在Rt△ABD中,AB=4,BD=12,
∴AD=122+42=410 cm.
又∵α⊥β,CA⊥AB,CA α,
∴CA⊥β.
∴△CAD为直角三角形.
∴CD=CA2+AD2=32+42×10=169=13(cm).
答案:13
8. 解析:如图,命题①显然错误.
设α∩β∩γ=m,过m上任意一点,在γ内作n⊥m,则直线n既不垂直于α,
又不垂直于β.命题②正确.
∵α∥β,∴α与β无公共点,
∴直线m与直线n也无公共点.
又m∈γ,n∈γ,∴m∥n.
命题③错误.虽然直线m不垂直于α,但m有可能垂直于平面α内的一条直线,于是α内所有平行于这条直线的无数平行线都垂直于m.
命题④正确.由直线与平面平行的判定定理可知
∵n∥m,mα,m β,n α,n β,
∴必有n∥α,n∥β.∴应填②④.
答案:②④
9. 解:(1)设AB中点为O,连接OC、OD,
则OC⊥AB,
 
∵平面ADB⊥平面ABC,平面ADB∩平面ABC=AB.
∴OC⊥面ADB.
∵OD 平面ADB,∴OC⊥OD.
即∠COD=90°.
在等边△ADB中,AB=2,
∴OD=3.
在△ABC中,AC=BC=2,AB=2,
∴OC=1.
在Rt△COD中,CD=OC2+OD2=2.
(2)当△ADB在转动过程中,总有OC⊥AB,OD⊥AB,
∴AB⊥平面COD.∴AB⊥CD.
当△ADB转动到与△ABC共面时,仍然有AB⊥CD.
故△ADB转动过程中,总有AB⊥CD.
10. 证明:(1)取CD的中点E,连接EM、EN,
则CD⊥EM,且EN∥PD.
 
∵PA⊥平面ABC,CD 平面ABC,
∴PA⊥CD,又CD⊥AD.
∴CD⊥平面PAD.
∵PD 平面PAD.
∴CD⊥PD.∴CD⊥EN.
又CD⊥ME,∴CD⊥平面MNE,
∴CD⊥MN.又CD∥AB,∴MN⊥AB.
(2)在Rt△PAD中有PA=AD,
取PD的中点K,连接AK,KN,
则KN  12DC AM,且AK⊥PD.
∴四边形AMNK为平行四边形,从而MN∥AK.
因此MN⊥PD.
由(1)知MN⊥DC.
又PD∩DC=D,∴MN⊥平面PCD.

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