必修5数学《等差数列的定义和通项公式》习题精选(北师大带答案)

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必修5数学《等差数列的定义和通项公式》习题精选(北师大带答案)

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w.5 Y k J.cOM 第1课时 等差数列的定义和通项公式
课后篇巩固探究
1.若{an}是等差数列,则下列数列中也成等差数列的是 (  )
A.{ } B.  C.{3an} D.{|an|}
解析:设{an}的公差为d,则3an+1-3an=3(an+1-an)=3d是常数,故{3an}一定成等差数列.
{ }, ,{|an|}都不一定是等差数列,例如当{an}为{3,1,-1,-3}时.
答案:C
2.在等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:∵a1+a5=10=a1+a1+4d=2(a1+2d)=2a3,
∴a3=5.故d=a4-a3=7-5=2.
答案:B
3.已知{an}是首项a1=2,公差为d=3的等差数列,若an=2 018,则序号n等于(  )
A.670 B.671 C.672 D.673
解析:∵a1=2,d=3,∴an=2+3(n-1)=3n-1.
令3n-1=2 018,解得n=673.
答案:D
4.等差数列{an}中,a1=8,a5=2,如果在每相邻两项间各插入一个数,使之成为新的等差数列,那么新的等差数列的公差是(  )
A.  B.-  C.-  D.-1
解析:设新数列a1,b1,a2,b2,a3,b3,a4,b4,a5,…,公差为d,则a5=a1+8d,所以d= =- =- .故选B.
答案:B
5.已知点(n,an)(n∈N+)都在直线3x-y-24=0上,则在数列{an}中有(  )
A.a7+a9>0 B.a7+a9<0
C.a7+a9=0 D.a7•a9=0
解析:∵(n,an)在直线3x-y-24=0,∴an=3n-24.
∴a7=3×7-24=-3,a9=3×9-24=3,
∴a7+a9=0.
答案:C
6.在等差数列{an}中,若a1=7,a7=1,则a5=     .
答案:3
7.在等差数列{an}中,已知a5=10,a12>31,则公差d的取值范围是        .
解析:设此数列的首项为a1,公差为d,
由已知得
②-①,得7d>21,所以d>3.
答案:d>3
8.在数列{an}中,a1=3,且对任意大于1的正整数n,点( )在直线x-y- =0上,则数列{an}的通项公式为an=     .
解析:由题意知 (n≥2),
∴{ }是以 为首项,以 为公差的等差数列,
∴ +(n-1)d= (n-1)= n.
∴an=3n2.
答案:3n2
9.已知数列{an},{bn}满足 是等差数列,且bn=n2,a2=5,a8=8,则a9=       .
解析:由题意得 ,
因为 是等差数列,所以可得该等差数列的公差d=- ,
所以 =- ,所以a9=-513.
答案:-513
10.如果在等差数列{3n-1}的每相邻两项之间插入三项后使它们构成一个新的等差数列,那么新数列的第29项是原数列的第     项.
解析:设an=3n-1,公差为d1,新数列为{bn},公差为d2,a1=2,b1=2,d1=an-an-1=3,d2= ,则bn=2+ (n-1)= n+ ,b29=23,令an=23,即3n-1=23.故n=8.
答案:8
11.若一个数列{an}满足an+an-1=h,其中h为常数,n≥2且n∈N+,则称数列{an}为等和数列,h为公和.已知等和数列{an}中,a1=1,h=-3,则a2 016=     .
解析:易知an= ∴a2 016=-4.
答案:-4
12.已知a,b,c成等差数列,且它们的和为33,又lg(a-1),lg(b-5),lg(c-6)也构成等差数列,求a,b,c的值.
解由已知,得

解得a=4,b=11,c=18或a=13,b=11,c=9.
13. 导学号33194005已知无穷等差数列{an},首项a1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}.
(1)求b1和b2;
(2)求{bn}的通项公式;
(3){bn}中的第110项是{an}的第几项?
解(1)∵a1=3,d=-5,∴an=3+(n-1)(-5)=8-5n.
∵数列{an}中项的序号被4除余3的项依次是第3项,第7项,第11项,…,
∴{bn}的首项b1=a3=-7,b2=a7=-27.
(2)设{an}中的第m项是{bn}的第n项,即bn=am,
则m=3+4(n-1)=4n-1,
∴bn=am=a4n-1=8-5(4n-1)=13-20n(n∈N+).∴{bn}的通项公式为bn=13-20n(n∈N+).
(3)b110=13-20×110=-2 187,设它是{an}中的第m项,则8-5m=-2 187,则m=439.
14. 导学号33194006已知数列{an}满足a1= ,且当n>1,n∈N+时,有 ,设bn= ,n∈N+.
(1)求证:数列{bn}为等差数列.
(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.
(1)证明当n>1,n∈N+时, -2=2+ =4⇔bn-bn-1=4,且b1= =5.
∴{bn}是等差数列,且公差为4,首项为5.
(2)解由(1)知bn=b1+(n-1)d=5+4(n-1)=4n+1.
∴an= ,n∈N+.
∴a1= ,a2= ,∴a1a2= .
令an= ,∴n=11,即a1a2=a11.
∴a1a2是数列{an}中的项,是第11项. 文 章
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