必修5数学《2.2三角形中的几何计算》习题精选(北师大版有答案)

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必修5数学《2.2三角形中的几何计算》习题精选(北师大版有答案)

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课件 w ww.5 y kj.Co m §2 三角形中的几何计算
课后篇巩固探究
1.在△ABC中,若A=105°,B=30°,BC= ,则角B的平分线的长是(  )
A.  B.2  C.1 D.
解析:设角B的平分线与AC交于点D,则在△BCD中,∠BDC=120°,∠BCD=45°,BC= ,由正弦定理可知BD=1.
答案:C
2.在△ABC中,若AC= ,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于(  )
A.  B.
C.  D.
解析:如图,在△ABC中,由余弦定理可知,AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos B,
 
即7=AB2+4-2×2×AB× .
整理得AB2-2AB-3=0.
解得AB=3或AB=-1(舍去).
故BC边上的高AD=AB•sin B=3×sin 60°= .
答案:B
3.若△ABC的周长等于20,面积是 10 ,A=60°,则BC边的长是(  )
A.5 B.6 C.7 D.8
解析:在△ABC中,分别用a,b,c表示边BC,CA,AB.依题意及面积公式S= bcsin A,得10 bc×sin 60°,即bc=40.
又周长为20,所以a+b+c=20,b+c=20-a.
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-2bccos 60°=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,
所以a2=(20-a)2-120,解得a=7.
答案:C
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足csin A=acos C.当 sin A-cos 取最大值时,A的大小为(  )
A.  B.
C.  D.
解析:由正弦定理得sin Csin A=sin Acos C.
因为0<A<π,所以sin A>0,
从而sin C=cos C.
又cos C≠0,所以tan C=1,则C= ,
所以B= -A.
于是 sin A-cos sin A-cos(π-A)
= sin A+cos A=2sin .
因为0<A< ,所以 <A+ ,所以当A+ ,
即A= 时,2sin 取最大值2.
答案:A
5. 导学号33194042在△ABC中,若C=60°,c=2 ,周长为2(1+ ),则A为(  )
A.30° B.45°
C.45°或75° D.60°
解析:根据正弦定理,得2R=
=
= ,所以sin A+sin B+sin 60°= ,所以sin A+sin B= ,即sin A+sin(A+C)= ⇒sin(A+60°)+sin A= sin(A+30°)= ⇒sin(A+30°)= ,所以A+30°=75°或A+30°=105°,所以A=45°或A=75°.
答案:C
6.已知三角形的一边长为7,这条边所对的角为60°,另两边之比为3∶2,则这个三角形的面积是     .
解析:设另两边分别为3x,2x,则
cos 60°= ,解得x= ,
故两边长为3 和2 ,
所以S= ×3 ×2 ×sin 60°= .
答案:
7.已知在△ABC中,AC=2,AB=3,∠BAC=60°,AD是△ABC的角平分线,则AD=    .
解析:如图,S△ABC=S△ABD+S△ACD,
 
所以 ×3×2sin 60°= ×3ADsin 30°+ ×2AD×sin 30°,所以AD= .
答案:
8.在△ABC中,若AB=a,AC=b,△BCD为等边三角形,则当四边形ABDC的面积最大时,∠BAC=     .
 
解析:设∠BAC=θ,则BC2=a2+b2-2abcos θ.S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD= absin θ+ BC2= (a2+b2)+ab•sin(θ-60°),即当∠BAC=θ=150°时,S四边形ABDC取得最大值.
答案:150°
9.已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积为     .
解析:设三角形的三边依次为a-4,a,a+4,可得a+4的边所对的角为120°.
由余弦定理得(a+4)2=a2+(a-4)2-2a(a-4)•cos 120°,则a=10,所以三边长为6,10,14,
S△ABC= ×6×10×sin 120°=15 .
答案:15
10.已知△ABC的重心为G,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2a +3c =0,则sin A∶sin B∶sin C=     .
解析:因为G是△ABC的重心,所以 =0,又2a +3c =0,所以2a -3c( )=0,即(2a-3c) +( b-3c) =0,则 所以a∶b∶c=3∶2 ∶2,由正弦定理,得sin A∶sin B∶sin C=3∶2 ∶2.
答案:3∶2 ∶2
11. 导学号33194043(2017全国2高考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2 .
(1)求cos B;
(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.
解(1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin2 ,
故sin B=4(1-cos B).
上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,
解得cos B=1(舍去),cos B= .
(2)由cos B= 得sin B= ,
故S△ABC= acsin B= ac.
又S△ABC=2,则ac= .
由余弦定理及a+c=6得
b2=a2+c2-2accos B
=(a+c)2-2ac(1+cos B)
=36-2×
=4.
所以b=2.
12. 导学号33194044(2017全国3高考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+ cos A=0,a=2 ,b=2.
(1)求c;
(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.
解(1)由已知可得tan A=- ,所以A= .
在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos ,
即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4.
(2)由题设可得∠CAD= ,
所以∠BAD=∠BAC-∠CAD= .故△ABD面积与△ACD面积的比值为 =1.
又△ABC的面积为 ×4×2sin∠BAC=2 ,所以△ABD的面积为 . 文 章
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