必修5数学《an与Sn的关系及裂项求和法》习题精选(北师大版附答案)

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必修5数学《an与Sn的关系及裂项求和法》习题精选(北师大版附答案)

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w.5Y k J.cO m 第2课时 an与Sn的关系及裂项求和法
课后篇巩固探究
A组
1.已知数列{an}的前n项和Sn= ,则a5的值等于(  )
A.  B.-  C.  D.-
解析:a5=S5-S4= =- .
答案:B
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列 的前100项和为(  )
A.  B.  C.  D.
解析:∵S5= =15,∴a1=1,
∴d= =1,
∴an=1+(n-1)×1=n,
∴ .
设 的前n项和为Tn,
则T100= +…+
=1- +…+ =1- .
答案:A
3.设{an}(n∈N+)是等差数列,Sn是其前n项和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是(  )
A.d<0
B.a7=0
C.S9>S5 
D.S6和S7均为Sn的最大值
解析:由S5<S6得a1+a2+…+a5<a1+a2+…+a5+a6,∴a6>0.
又S6=S7,∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7,∴a7=0,故B正确;
同理由S7>S8,得a8<0,
又d=a7-a6<0,故A正确;
由C选项中S9>S5,即a6+a7+a8+a9>0,
可得2(a7+a8)>0.
而由a7=0,a8<0,知2(a7+a8)>0不可能成立,故C错误;
∵S5<S6,S6=S7>S8,∴S6与S7均为Sn的最大值,故D正确.故选C.
答案:C
4.数列 的前n项和Sn为(  )
A.
B.
C.
D.
解析: ,
于是Sn=
 .
答案:C
5.设函数f(x)满足f(n+1)= (n∈N+),且f(1)=2,则f(20)为(  )
A.95 B.97 C.105 D.192
解析:∵f(n+1)=f(n)+ ,
∴f(n+1)-f(n)= .
∴f(2)-f(1)= ,
f(3)-f(2)= ,
……
f(20)-f(19)= ,
∴f(20)-f(1)= =95.
又f(1)=2,∴f(20)=97.
答案:B
6.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5<ak<8,则k=     .
解析:an=Sn-Sn-1=(n2-9n)-[(n-1)2-9(n-1)]=2n-10(n≥2),又a1=S1=-8符合上式,所以an=2n-10.
令5<2k-10<8,解得 <k<9.
又k∈N+,所以k=8.
答案:8
7.设数列{an}的前n项和为Sn,Sn= ,且a4=54,则a1=     .
解析:因为a4=S4-S3= =27a1,
所以27a1=54,解得a1=2.
答案:2
8.数列1, ,…, ,…的前n项和Sn=       .
解析:因为
= =2 ,
所以Sn=1+ +…+ =
2
=2 .
答案:
9.正项数列{an}满足 -(2n-1)an-2n=0.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)令bn= ,求数列{bn}的前n项和Tn.
解(1)由 -(2n-1)an-2n=0,
得(an-2n)(an+1)=0,即an=2n或an=-1,
由于{an}是正项数列,故an=2n.
(2)由(1)知an=2n,所以bn= ,
故Tn= .
10. 导学号33194014已知等差数列{an}的前n项和为Sn,n∈N+,且a3+a6=4,S5=-5.
(1)求an;
(2)若Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|,求T5的值和Tn的表达式.
解(1)设{an}的首项为a1,公差为d,易由a3+a6=4,S5=-5得出a1=-5,d=2.
∴an=2n-7.
(2)当n≥4时,an=2n-7>0;当n≤3时,an=2n-7<0,
∴T5=-(a1+a2+a3)+a4+a5=13.
当1≤n≤3时,Tn=-(a1+a2+…+an)=-n2+6n;
当n≥4时,Tn=-(a1+a2+a3)+a4+a5+…+an=n2-6n+18.
综上所述,Tn=
B组
1.若等差数列{an}的通项公式为an=2n+1,则由bn= 所确定的数列{bn}的前n项之和是(  )
A.n(n+2) B. n(n+4)
C. n(n+5) D. n(n+6)
解析:由题意知a1+a2+…+an= =n(n+2),∴bn= =n+2.于是数列{bn}的前n项和Sn= n(n+5).
答案:C
2.已知一个等差数列共n项,且其前四项之和为21,末四项之和为67,前n项和为286,则项数n为(  )
A.24 B.26 C.25 D.28
解析:设该等差数列为{an},
由题意,得a1+a2+a3+a4=21,
an+an-1+an-2+an-3=67,
又a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3,
∴4(a1+an)=21+67=88,∴a1+an=22.
∴Sn= =11n=286,∴n=26.
答案:B
3.已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+2n(n≥2),则a7= (  )
A.53 B.54 C.55 D.109
解析:∵an=an-1+2n,∴an-an-1=2n.
∴a2-a1=4,a3-a2=6,a4-a3=8,…,an-an-1=2n(n≥2).
∴an=1+4+6+…+2n=1+ =n2+n-1.
∴a7=72+7-1=55.
答案:C
4.已知数列{an}为 ,…, +…+ ,…,如果bn= ,那么数列{bn}的前n项和Sn为(  )
A.  B.  C.  D.
解析:∵an= ,
∴bn= =4 ,
∴Sn=4
 =4 .
答案:B
5.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+1,则an=          .
解析:当n=1时,a1=S1=3;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n+1-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n.
此时,当n=1时,2n=2≠3.
所以an=
答案:
6. 导学号33194015设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知S6=36,Sn=324,若Sn-6=144(n>6),则数列的项数n为     .
解析:由题意可知
由①+②,得(a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=216,∴6(a1+an)=216,∴a1+an=36.
∴Sn= =18n=324,∴n=18.
答案:18
7.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an= +2(n-1)(n∈N+).
(1)求证:数列{an}为等差数列,并求an与Sn;
(2)是否存在自然数n,使得S1+ +…+ -(n-1)2=2 019?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由.
(1)证明由an= +2(n-1),
得Sn=nan-2n(n-1)(n∈N+).
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4(n-1),即an-an-1=4,
故数列{an}是以1为首项,4为公差的等差数列.
于是,an=4n-3,Sn= =2n2-n.
(2)解存在自然数n使得S1+ +…+ -(n-1)2=2 019成立.理由如下:
由(1),得 =2n-1(n∈N+),
所以S1+ +…+ -(n-1)2=1+3+5+7+…+(2n-1)-(n-1)2=n2-(n-1)2=2n-1.
令2n-1=2 019,得n=1 010,
所以存在满足条件的自然数n为1 010.
8. 导学号33194016数列{an}的前n项和Sn=100n-n2(n∈N+).
(1)求证{an}是等差数列;
(2)设bn=|an|,求数列{bn}的前n项和.
(1)证明an=Sn-Sn-1
=(100n-n2)-[100(n-1)-(n-1)2]
=101-2n(n≥2).
∵a1=S1=100×1-12=99=101-2×1,
∴数列{an}的通项公式为an=101-2n(n∈N+).
又an+1-an=-2为常数,∴数列{an}是首项a1=99,公差d=-2的等差数列.
(2)解令an=101-2n≥0,得n≤50.5.
∵n∈N+,∴n≤50(n∈N+).
①当1≤n≤50时an>0,此时bn=|an|=an,
∴{bn}的前n项和Sn'=100n-n2;
②当n≥51时an<0,此时bn=|an|=-an,
由b51+b52+…+bn=-(a51+a52+…+an)
=-(Sn-S50)=S50-Sn,
得数列{bn}的前n项和为
Sn'=S50+(S50-Sn)=2S50-Sn
=2×2 500-(100n-n2)=5 000-100n+n2.
由①②得数列{bn}的前n项和为
Sn'=  文 章来 源莲山 课件 w w
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