必修5数学《2.3解三角形的实际应用举例》习题精选(北师大版含答案)

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必修5数学《2.3解三角形的实际应用举例》习题精选(北师大版含答案)

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源莲 山课件 w ww.5 Y
K J.cOm §3 解三角形的实际应用举例
课后篇巩固探究
1.
 
如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,某同学首先选定了与A,B不共线的一点C,然后给出了四种测量方案:(△ABC的角A,B,C所对的边分别记为a,b,c)
①测量A,C,b ②测量a,b,C ③测量A,B,a ④测量a,b,B
则一定能确定A,B间距离的所有方案的序号为(  )
                
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④
解析:已知三角形的两角及一边,可以确定三角形,故①③正确;已知两边及夹角,可以确定三角形,故②正确;已知两边与其中一边的对角,满足条件的三角形可能有一个或两个,故④错误.故选A.
答案:A
2.已知某路边一树干被台风吹断后,树尖与地面成45°角,树干也倾斜为与地面成75°角,树干底部与树尖着地处相距20 m,则折断点与树干底部的距离是(  )m.
                
A.  B.10  
C.  D.20
 
解析:如图,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,则∠ABO=45°,∠AOB=75°,
所以∠OAB=60°.
由正弦定理知, ,
所以AO= (m).
答案:A
3.已知一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过  h,该船实际航程为(  )
A.2  km B.6 km
C.2  km D.8 km
 
解析:如图,因为| |=2 km/h,| |=4 km/h,∠AOB=120°,
所以∠OAC=60°,| |=
 
=2 (km/h).
经过  h,该船的实际航程为2 =6(km).
答案:B
4.甲船在B岛的正南方10 km处,且甲船以4 km/h的速度向正北方向航行,同时乙船自B岛出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向行驶,当甲、乙两船相距最近时它们航行的时间是(  )
A.  min B.  h C.21.5 min D.2.15 h
 
解析:如图,设经过x h后甲船处于点P处,乙船处于点Q处,两船的距离为s,则在△BPQ中,BP=(10-4x) km,BQ=6x km,∠PBQ=120°,由余弦定理可知s2=PQ2=BP2+BQ2-2BP•BQ•cos∠PBQ,即s2=(10-4x)2+(6x)2-2(10-4x)•6x•cos 120°=28x2-20x+100.
当x=- 时,s最小,此时  h=  min.
答案:A
5.已知一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°,与灯塔S相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为(  )
A.20( )海里/时 B.20( )海里/时
C.20( )海里/时 D.20( )海里/时
解析:设货轮航行30分后到达N处,
由题意可知∠NMS=45°,∠MNS=105°,
则∠MSN=180°-105°-45°=30°.
而MS=20海里,在△MNS中,
由正弦定理得 ,
即MN=
=
= =10( )(海里).
故货轮的速度为10( )÷ =20( )(海里/时).
答案:B
6.飞机沿水平方向飞行,在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°,向前飞行10 000 m到达B处,此时测得正前下方目标C的俯角为75°,这时飞机与地面目标的水平距离为(  )
A.2 500( -1) m B.5 000  m
C.4 000 m D.4 000  m
解析:如图,∠BAC=30°,∠DBC=75°,AB=10 000 m,
 
所以∠ACB=45°.
由正弦定理,得 ,
又cos 75°= ,
所以BD= •cos 75°=2 500( -1)(m).
答案:A
7.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A的正东40 km处,B城市处于危险区内的持续时间为(  )
A.0.5 h B.1 h
C.1.5 h D.2 h
解析:设t h后,B市处于危险区内,则由余弦定理得(20t)2+402-2×20t×40cos 45°≤302.
化简得4t2-8 t+7≤0,所以t1+t2=2 ,t1•t2= .
从而|t1-t2|= =1.
答案:B
8.
 
如图,已知海岸线上有相距5 n mile的两座灯塔A,B,灯塔B位于灯塔A的正南方向.海上停泊着两艘轮船,甲位于灯塔A的北偏西75°方向,与A相距3  n mile的D处;乙船位于灯塔B的北偏西60°方向,与B相距5 n mile的C处,则两艘船之间的距离为     n mile.
解析:连接AC,BC=AB=5 n mile,∠ABC=60°,
所以△ABC为等边三角形,所以AC=5 n mile,
且∠DAC=180°-75°-60°=45°.
在△ACD中,由余弦定理得CD2=(3 )2+52-2×3 ×5×cos 45°=13,所以CD=  n mile.
故两艘船之间的距离为  n mile.
答案:
9.
 
如图,山顶上有一座电视塔,在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α=60°,在塔底C处测得点A的俯角β=45°.已知塔高60 m,则山高为     .
解析:在△ABC中,BC=60 m,∠BAC=15°,∠ABC=30°,
由正弦定理,得AC= =30( )(m).
所以CD=AC•sin 45°=30( +1)(m).
答案:30( +1)m
10.
 
如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从点A测得点M的仰角∠MAN=60°,点C的仰角∠CAB=45°及∠MAC=75°,从点C测得∠MCA=60°.已知山高BC=50 m,则山高MN=      m.
解析:在Rt△ABC中,∠CAB=45°,BC=50 m,所以AC=50  m.
在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°,
由正弦定理得, ,因此AM=50  m.
在Rt△MNA中,AM=50  m,∠MAN=60°,由 =sin 60°,得MN=50 =75(m).
答案:75
11.
 
 导学号33194045如图,CM,CN为某公园景观湖畔的两条木栈道,∠MCN=120°.现拟在两条木栈道的A,B两处设置观景台,记BC=a,AC=b,AB=c(单位:百米).
(1)若a,b,c成等差数列,且公差为4,求b的值;
(2)已知AB=12,记∠ABC=θ,试用θ表示观景路线A-C-B的长,并求观景路线A-C-B长的最大值.
解(1)因为a,b,c成等差数列,且公差为4,
所以a=b-4,c=b+4,
因为∠MCN=120°,
所以由余弦定理得,(b+4)2=(b-4)2+b2-2b(b-4)cos 120°,解得b=10.
(2)由题意,得 ,
所以AC=8 sin θ,BC=8 sin(60°-θ),
所以观景路线A-C-B的长AC+BC=8 sin θ+8 sin(60°-θ)=8 sin(60°+θ)(0°<θ<60°).
所以当θ=30°时,观景路线A-C-B长的最大值为8 百米.
12.
 
 导学号33194046如图,一艘船由西向东航行,测得某岛M的方位角为α,前进5 km后测得此岛的方位角为β.已知该岛周围3 km内有暗礁,现该船继续东行.
(1)若α=2β=60°,问该船有无触礁危险?
(2)当α与β满足什么条件时,该船没有触礁的危险?
解(1)设岛M到直线AB的距离MC为d km,则
AC=dtan α km,BC=dtan β km.
由AC-BC=AB,
得dtan α-dtan β=5,d= .
当α=2β=60°时,d= >3,
所以此时没有触礁的危险.
(2)方法一:要使船没有触礁危险,只要使d>3,
即 >3.
因为0<β<α< ,所以tan α-tan β>0,
所以tan α-tan β< ,
所以当α,β满足tan α-tan β< 时,该船没有触礁的危险.
方法二:设CM=x km,由 ,
即 ,解得x= ,
所以当 >3时没有触礁危险.
13.某海军护航舰艇在某海域执行护航任务时,收到某渔船在航行中发出的求救信号,海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10 n mile的C处,并测得渔船正沿方位角为105°的方向,以9 n mile/h的速度航行,海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救,试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间(角度精确到0.1°,时间精确到1 min).
 
解如图,设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为x h,
则AB=21x n mile,
BC=9x n mile,
AC=10 n mile,
∠ACB=∠1+∠2=45°+(180°-105°)=120°,
根据余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC•BC•cos 120°,
即(21x)2=102+(9x)2-2×10×9xcos 120°,
亦即36x2-9x-10=0,
解得x1= ,x2=- (舍去),
所以AB=14 n mile,BC=6 n mile.
由余弦定理可得cos ∠BAC=
= ≈0.928 6,所以∠BAC≈21.8°,
所以方位角为45°+21.8°=66.8°,又因为  h=40 min,所以舰艇应以北偏东66.8°的方向航行,靠近渔船需要40 min. 文章来
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