2017-2018学年必修5数学《等差数列的前n项和》习题精选(北师大有答案)

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2017-2018学年必修5数学《等差数列的前n项和》习题精选(北师大有答案)

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莲山 课件 w w w.5Y k J.C om 第1课时 等差数列的前n项和
课后篇巩固探究
A组
1.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于(  )
                
A.13 B.35 C.49 D.63
解析:S7= =49.
答案:C
2.设Sn是等差数列{an}的前n项和,S5=10,则a3的值为 (  )
A.  B.1 C.2 D.3
解析:∵S5= =5a3,
∴a3= S5= ×10=2.
答案:C
3.已知数列{an}的通项公式为an=2n-37,则Sn取最小值时n的值为(  )
A.17 B.18 C.19 D.20
解析:由 ≤n≤ .
∵n∈N+,∴n=18.∴S18最小,此时n=18.
答案:B
4.等差数列{an}的前n项和为Sn(n=1,2,3,…),若当首项a1和公差d变化时,a5+a8+a11是一个定值,则下列选项中为定值的是(  )
A.S17 B.S18 C.S15 D.S14
解析:由a5+a8+a11=3a8是定值,可知a8是定值,所以S15= =15a8是定值.
答案:C
5.若两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为An与Bn,且满足 (n∈N+),则 的值是(  )
A.  B.  C.  D.
解析:因为 ,
所以 .
答案:C
6.已知{an}是等差数列,Sn为其前n项和,n∈N+.若a3=16,S20=20,则S10的值为     .
解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.
∵a3=a1+2d=16,S20=20a1+ d=20,

解得d=-2,a1=20,
∴S10=10a1+ d=200-90=110.
答案:110
7.在等差数列{an}中,前n项和为Sn,若a9=3a5,则 =     .
解析:S17=17a9,S9=9a5,
于是 ×3= .
答案:
8.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差等于     .
解析:设公差为d,则有5d=S偶-S奇=30-15=15,于是d=3.
答案:3
9.若等差数列{an}的公差d<0,且a2•a4=12,a2+a4=8.
(1)求数列{an}的首项a1和公差d;
(2)求数列{an}的前10项和S10的值.
解(1)由题意知(a1+d)(a1+3d)=12,(a1+d)+(a1+3d)=8,且d<0,解得a1=8,d=-2.
(2)S10=10×a1+ d=-10.
10. 导学号33194010已知数列{an}是首项为23,公差为整数的等差数列,且前6项均为正,从第7项开始变为负.
求:(1)此等差数列的公差d;
(2)设前n项和为Sn,求Sn的最大值;
(3)当Sn是正数时,求n的最大值.
解(1)∵数列{an}首项为23,前6项均为正,从第7项开始变为负,
∴a6=a1+5d=23+5d>0,a7=a1+6d=23+6d<0,解得- <d<- ,又d∈Z,∴d=-4.
(2)∵d<0,∴{an}是递减数列.
又a6>0,a7<0,∴当n=6时,Sn取得最大值,
即S6=6×23+ ×(-4)=78.
(3)Sn=23n+ ×(-4)>0,整理得n(25-2n)>0,∴0<n< ,又n∈N+,∴n的最大值为12.
B组
1.设数列{an}为等差数列,公差d=-2,Sn为其前n项和,若S10=S11,则a1=(  )
A.18 B.20 C.22 D.24
解析:因为S11-S10=a11=0,a11=a1+10d=a1+10×(-2)=0,所以a1=20.
答案:B
2.(2017全国1高考)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为(  )
A.1 B.2 C.4 D.8
解析:设首项为a1,公差为d,则a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+ d=48,联立可得 ①×3-②,得(21-15)d=24,即6d=24,所以d=4.
答案:C
3.等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a2+a4+a15的值为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是(  )
A.S7 B.S8 C.S13 D.S15
解析:∵a2+a4+a15=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7为常数,
∴S13= =13a7为常数.
答案:C
4. 导学号33194011若等差数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,则数列 的前11项和为 (  )
A.-45 B.-50 C.-55 D.-66
解析:∵Sn= ,∴ =-n,
∴ 的前11项和为-(1+2+3+…+11)=-66.故选D.
答案:D
5.已知等差数列{an}前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k=     .
解析:设等差数列{an}的公差为d,则an=1+(n-1)d,
∵S4=S9,∴a5+a6+a7+a8+a9=0.
∴a7=0,∴1+6d=0,d=- .
又a4=1+3× ,ak=1+(k-1)d,
由ak+a4=0,得 +1+(k-1)d=0,将d=- 代入,可得k=10.
答案:10
6.已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且1+ <0.若Sn存在最大值,则满足Sn>0的n的最大值为     .
解析:因为Sn有最大值,所以数列{an}单调递减,又 <-1,所以a10>0,a11<0,且a10+a11<0.
所以S19=19× =19a10>0,S20=20× =10(a10+a11)<0,
故满足Sn>0的n的最大值为19.
答案:19
7. 导学号33194012在等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}的前n项和.
解数列{an}的公差d= =3,
∴an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.
由an<0得3n-63<0,
解得n<21.
∴数列{an}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.
设Sn,Sn'分别表示数列{an}和{|an|}的前n项和,
当n≤20时,Sn'=-Sn=- =- n2+ n;
当n>20时,Sn'=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20=-60n+ ×3-2× n2- n+1 260.
∴数列{|an|}的前n项和
Sn'=
8. 导学号33194013设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5+a13=34,S3=9.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式;
(2)设数列{bn}的通项公式为bn= ,问:是否存在正整数t,使得b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.
解(1)设等差数列{an}的公差为d,
因为a5+a13=34,S3=9,
所以
整理得 解得
所以an=1+(n-1)×2=2n-1,
Sn=n×1+ ×2=n2.
(2)由(1)知bn= ,
所以b1= ,b2= ,bm= .
若b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列,
则2b2=b1+bm,
所以 ,
即6(1+t)(2m-1+t)=(3+t)(2m-1+t)+(2m-1)(1+t)(3+t),
整理得(m-3)t2-(m+1)t=0,
因为t是正整数,所以(m-3)t-(m+1)=0,m=3时显然不成立,所以t= =1+ .
又因为m≥3,m∈N,
所以m=4或5或7,
当m=4时,t=5;
当m=5时,t=3;
当m=7时,t=2.
所以存在正整数t,使得b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列. 文 章来源
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