2017年必修5数学《1.1.2数列的函数特性》习题精选(北师大附答案)

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2017年必修5数学《1.1.2数列的函数特性》习题精选(北师大附答案)

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莲山 课件 w w w.5Y k J.C om 1.2 数列的函数特性
课后篇巩固探究
A组
1.数列{n2-4n+3}的图像是(  )
A.一条直线
B.一条直线上的孤立的点
C.一条抛物线
D.一条抛物线上的孤立的点
解析:an=n2-4n+3是关于n的二次函数,故其图像是抛物线y=x2-4x+3上一群孤立的点.
答案:D
2.已知数列{an}的通项公式是an= ,则这个数列是 (  )
                
A.递增数列 B.递减数列
C.摆动数列 D.常数列
解析:∵an+1-an=
= >0,
∴an+1>an,
∴数列{an}是递增数列.
答案:A
3.若数列{an}的通项公式an= ,则在数列{an}的前20项中,最大项和最小项分别是(  )
A.a1,a20 B.a20,a1 C.a5,a4 D.a4,a5
解析:由于an= =1+ ,因此当1≤n≤4时,{an}是递减的,且a1>0>a2>a3>a4;当5≤n≤20时,an>0,且{an}也是递减的,即a5>a6>…>a20>0,因此最大的是a5,最小的是a4.
答案:C
4.已知{an}的通项公式an=n2+3kn,且{an}是递增数列,则实数k的取值范围是(  )
A.k≥-1 B.k>-  C.k≥-  D.k>-1
解析:因为{an}是递增数列,所以an+1>an对n∈N+恒成立.即(n+1)2+3k(n+1)>n2+3kn,整理得k>- ,当n=1时,- 取最大值-1,故k>-1.
答案:D
5.给定函数y=f(x)的图像,对任意an∈(0,1),由关系式an+1=f(an)得到的数列{an}满足an+1>an(n∈N+),则该函数的图像是(  )
 
解析:由an+1>an可知数列{an}为递增数列,又由an+1=f(an)>an可知,当x∈(0,1)时,y=f(x)的图像在直线y=x的上方.
答案:A
6.已知数列{an}的通项公式是an= ,其中a,b均为正常数,则an+1与an的大小关系是 .
解析:∵an+1-an=
= >0,
∴an+1-an>0,故an+1>an.
答案:an+1>an
7.已知数列{an}的通项公式为an=2n2-5n+2,则数列{an}的最小值是     .
解析:∵an=2n2-5n+2=2 ,
∴当n=1时,an最小,最小为a1=-1.
答案:-1
8. 导学号33194002已知数列{an}满足an+1= 若a1= ,则a 2 017= .
解析:a1= ,a2=2a1-1= ,a3=2a2-1= ,a4=2a3= ,…,所以{an}是周期为3的周期数列,于是a2 017=a672×3+1=a1= .
答案:
9.已知数列{an}的通项公式为an=n2-21n+20.
(1)-60是否是该数列中的项,若是,求出项数;该数列中有小于0的项吗?有多少项?
(2)n为何值时,an有最小值?并求出最小值.
解(1)令n2-21n+20=-60,得n=5或n=16.
所以数列的第5项,第16项都为-60.
由n2-21n+20<0,得1<n<20,所以共有18项小于0.
(2)由an=n2-21n+20= ,可知对称轴方程为n= =10.5.又n∈N+,故n=10或n=11时,an有最小值,其最小值为112-21×11+20=-90.
10.已知函数f(x)= (x≥1),构造数列an=f(n)(n∈N+).
(1)求证:an>-2;
(2)数列{an}是递增数列还是递减数列?为什么?
(1)证明由题意可知an= -2.
∵n∈N+,∴ >0,∴an= -2>-2.
(2)解递减数列.
理由如下:由(1)知,an= -2.
∵an+1-an=
= <0,
即an+1<an,∴数列{an}是递减数列.
B组
1.若函数f(x)满足f(1)=1,f(n+1)=f(n)+3(n∈N+),则f(n)是(  )
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.不能确定
解析:∵f(n+1)-f(n)=3(n∈N+),
∴f(n+1)>f(n),
∴f(n)是递增数列.
答案:A
2.设函数f(x)= 数列{an}满足an=f(n),n∈N+,且数列{an}是递增数列,则实数a的取值范围是(  )
A.(1,3) B.(2,3) C.  D.(1,2)
答案:B
3. 导学号33194003若数列{an}的通项公式为an=7• -3• ,则数列{an}的(  )
A.最大项为a5,最小项为a6
B.最大项为a6,最小项为a7
C.最大项为a1,最小项为a6
D.最大项为a7,最小项为a6
解析:令t= ,n∈N+,则t∈(0,1],且 =t2.从而an=7t2-3t=7 .
又函数f(t)=7t2-3t在 上是减少的,在 上是增加的,所以a1是最大项,a6是最小项.故选C.
答案:C
4.若数列{an}的通项公式为an=-2n2+13n,关于该数列,有以下四种说法:
①该数列有无限多个正数项;②该数列有无限多个负数项;③该数列的最大值就是函数f(x)=-2x2+13x的最大值;④-70是该数列中的一项.
其中正确的说法有      .(填序号)
解析:令-2n2+13n>0,得0<n< ,故数列{an}中有6项是正数项,有无限个负数项,所以①错,②正确;当n=3时,数列{an}取到最大值,而当x=3.25时,函数f(x)取到最大值,所以③错;令-2n2+13n=-70,得n=10或n=- (舍去),即-70是该数列的第10项,所以④正确.
答案:②④
5.若数列 中的最大项是第k项,则k=     .
解析:已知数列最大项为第k项,则有
 
即 由k∈N+可得k=4.
答案:4
6.已知数列{an}满足an= +…+ .
(1)数列{an}是递增数列还是递减数列?为什么?
(2)证明:an≥ 对一切正整数恒成立.
(1)解因为an= +…+ ,
所以an+1= +…+
= +…+ .
所以an+1-an= ,
又n∈N+,所以 .
所以an+1-an>0.
所以数列{an}是递增数列.
(2)证明由(1)知数列{an}是递增数列,所以数列的最小项为a1= ,所以an≥a1= ,即an≥ 对一切正整数恒成立.
7. 导学号33194004已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-30.
(1)求数列的前三项,60是此数列的第几项?
(2)n为何值时,an=0,an>0,an<0?
(3)该数列前n项和Sn是否存在最值?说明理由.
解(1)由an=n2-n-30,得a1=1-1-30=-30,a2=22-2-30=-28,a3=32-3-30=-24.
设an=60,则n2-n-30=60.
解得n=10或n=-9(舍去),即60是此数列的第10项.
(2)令n2-n-30=0,解得n=6或n=-5(舍去).
∴当n=6时,an=0.
令n2-n-30>0,解得n>6或n<-5(舍去).
∴当n>6(n∈N+)时,an>0.
令n2-n-30<0,解得-5<n<6.
又n∈N+,∴0<n<6,
∴当0<n<6(n∈N+)时,an<0.
(3)由an=n2-n-30= -30 (n∈N+),知{an}是递增数列,
且a1<a2<…<a5<a6=0<a7<a8<a9<…,
故Sn存在最小值S5=S6,Sn不存在最大值. 文 章来源
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