2017年张家界市高一数学下期末试题A(带答案和解释)

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2017年张家界市高一数学下期末试题A(带答案和解释)

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张家界市2017年普通高中一年级第二学期期末联考
数学试题卷(A)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的,请将所选答案填涂在答题卷中对应位置.
1. 设集合 则
A.      B.      C.      D. 
【答案】A
【解析】∵集合A={x|x2﹣4x+3<0}=(1,3),
B={x|2x﹣3>0}=( ,+∞),
∴A∩B=( ,3).故选A.
点睛:
1.用描述法表示集合,首先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合类型,是数集、点集还是其他的集合.
2.求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解.
3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用Venn图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍.
2. 直线 的倾斜角为
A.      B. 
C.      D. 
【答案】C
【解析】一般式化为斜截式: ,故k= ,故倾斜角为 .故选C.
3. 数列 …的一个通项公式是
A.      B. 
C.      D. 
【答案】C
【解析】由已知a1=1,可排除A、B、D,故选C.
4. 直线 与直线 平行,则它们的距离为
A.      B.      C.      D. 
【答案】B
【解析】直线3x+4y﹣3=0 即 6x+8y﹣6=0,它直线6x+my+14=0平行,∴m=8,则它们之间的距离是
d= = =2,
故答案为:2.学¥科¥网...
5. 已知 ,则下列结论正确的是
A.      B. 
C.      D. 
【答案】B
【解析】∵ ,∴ .
故选:B
6. 在空间直角坐标系 ,给出以下结论:①点 关于原点的对称点的坐标为 ;②点 关于 平面对称的点的坐标是 ;③已知点 与点 ,则 的中点坐标是 ;④两点   间的距离为 . 其中正确的是
A. ①②    B. ①③     C. ②③    D. ②④
【答案】C
【解析】对于①点 关于原点的对称点的坐标为 ,故①错误;
对于②点 关于 平面对称的点的坐标是 ,故②正确;
 
对于④两点   间的距离为 . 故④错误.故选C.
7. 如图为一个几何体的三视图,正视图和侧视图均为矩形,俯
视图为正三角形,尺寸如图,则该几何体的全面积为
A.      B. 
C.      D. 
【答案】C
【解析】由三视图可以知道:该几何体是一个正三棱柱,高为2,底面正三角形的一边上的高为 .
 底面正三角形的边长为2.
该几何体的全面积
所以C选项是正确的.
点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系,遵循“长对正,高平齐,宽相等”的基本原则,其内涵为正视图的高是几何体的高,长是几何体的长;俯视图的长是几何体的长,宽是几何体的宽;侧视图的高是几何体的高,宽是几何体的宽.
8. 已知等比数列 满足 ,则 等于
A. 5    B. 10    C. 20    D. 25
【答案】D
【解析】 ,故选D.
9. 若等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为
A.      B.      C.      D. 
【答案】D
【解析】设顶角为C,∵l=5c,
∴a=b=2c,
由余弦定理得: .
故答案为:D.
10. 已知数列 中, ,则能使 的 可以等于
A.      B.      C. 2017    D. 
【答案】C
【解析】 , ,
 ,同理可得: , , ,
 ,
 ,
能使 的n可以等于16.
所以C选项是正确的.
11. 在正四面体 中, 为 的中点,则CE与 所成角的余弦值为
A.      B.      C.      D. 
【答案】A
【解析】如图,
取AD中点F,连接EF,CF,
∵E为AB的中点,∴EF∥DB,
则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角,
∵ABCD为正四面体,E,F分别为AB,AD的中点,∴CE=CF.
设正四面体的棱长为2a,
则EF=a,CE=CF= .
在△CEF中,由余弦定理得:
 = .故选:A.
 
12.  ,动直线 过定点A,动直线 过定点 ,若 与 交于点 (异于点 ),则 的最大值为
A.      B.      C.      D. 
【答案】B
【解析】由题意可得:A(1,0),B(2,3),且两直线斜率之积等于﹣1,
∴直线x+my﹣1=0和直线mx﹣y﹣2m+3=0垂直,
则|PA|2+|PB|2=|AB|2=10≥ .即 .故选B.
点睛:含参的动直线一般都隐含着过定点的条件,动直线 ,动直线l2分别过A(1,0),B(2,3),同时两条动直线保持垂直,从而易得|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,然后借助重要不等式,得到结果.

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷中对应题号后的横线上.
13. 在三角形 中,内角 所对的边分别为 ,若 ,且 ,则角 _________.
【答案】
【解析】  , ,所以角 为钝角,又 ,所以 学¥科¥网...
14. 圆 的半径为 ,其圆心与点 关于直线 对称,则圆 的方程为________.
【答案】
【解析】试题分析:∵圆心与点 关于直线 对称,∴圆心为 ,又∵圆 的半径为 ,∴圆 的标准方程为 .
考点:圆的标准方程.
15. 已知球 ,过其球面上 三点作截面,若点 到该截面的距离是球半径的一半,且 ,则球 的表面积为_________.
【答案】
【解析】如图,设球的半径为r,O′是△ABC的外心,外接圆半径为R,
则OO′⊥面ABC.AB=BC=2,∠B=120°,
在Rt△OO'B中,则sin∠OBO'= .
在△ABC中,由正弦定理得 =2R,R=2,即O′B=2.
在Rt△OBO′中,由题意得r2﹣ r2=4,得r2= .
球的表面积S=4πr2=4π× = .
 
16. 某企业生产甲,乙两种产品均需用 两种原料,已知生产1吨每种产品需用 原料及每天原料的可用限额如下表所示,如果生产1吨甲,乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业可获得最大利润为__________万元.
【答案】18
【解析】设每天生产甲乙两种产品分别为x,y吨,利润为z元,
则  ,目标函数为 z=3x+4y.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)即可行域.
由z=3x+4y得y=﹣ x+ ,
平移直线y=﹣ x+ ,由图象可知当直线经过点B时,截距最大,
此时z最大,
解方程组  ,解得  ,即B的坐标为x=2,y=3,
∴zmax=3x+4y=6+12=18.
即每天生产甲乙两种产品分别为2,3吨,能够产生最大的利润,最大的利润是18万元,
故答案为:18.
 
点睛:(1)利用线性规划求最值的步骤
①在平面直角坐标系内作出可行域;
②考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形;
③在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定最优解;学¥科¥网...
④将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
求线性目标函数最值应注意的问题:
 
①若 ,则截距 取最大值时, 也取最大值;截距 取最小值时, 也取最小值.
    ②若 ,则截距 取最大值时, 取最小值;截距 取最小值时, 取最大值.
 甲 乙 原料限额
A(吨) 3 2 12
B(吨) 1 2 8


三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. 已知直线 和点 ,设过点 且与 垂直的直线为 .
(1)求直线 的方程;   
(2)求直线 与坐标轴围成的三角形的面积.
【答案】(1)  ;(2)  .
【解析】试题分析:(1)利用垂直关系推得 斜率为 ,故直线方程为 ;(2)由(1)知 与坐标轴的交点分别为 与 ,由此易得面积.
试题解析:
(1)由题可知: 斜率为 ,且过 ,所以 的方程为
        即                                   
(2)由(1)知 与坐标轴的交点分别为 与
        所以                                   学¥科¥网...
18.  中,三内角 所对的边分别为 ,若 .
(1)求角 的值;
(2)若 ,三角形 的面积 ,求 的值.
【答案】(1)  ;(2)  .
【解析】试题分析:(1)由 及内角和定理,易得 ,故 ;(2)由余弦定理及三角形面积公式,易得b、c的方程组,解之即可.
试题解析:
(1)由题意得: 
        ,即                     
        ;                         
(2)由已知得:   ①                  
                 ②                   
         解之得    .                         
19. 等差数列 的前 项和记为 ,已知 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)求 的最大值.
【答案】(1)  ;(2)  .
【解析】试题分析:(1)由题意布列首项与公差的方程组,从而易得数列通项公式;(2)根据 ,易得 .
试题解析:
(1)由题意,                           
                                       
         故 ;                               
  (2)                                 
                                          
20. (1)若不等式 的解集为 . 求 的值;
(2)若不等式 对任意实数 都成立,求实数 的取值范围.
【答案】(1)  ;(2)  .
【解析】试题分析:(1)利用三个二次关系建立a的方程,解之即可;(2)讨论二次项系数,抓住抛物线的开口及判别式,问题迎刃而解.
试题解析:
(1)由题可知  ,所以 ;                     
(2)当 时显然成立。                                学¥科¥网...
当 时,则有 .            
综上有, 。                                   
21. 如图,在四棱锥 中,底面 为矩形, , 为 的 中点.
(1)证明: ;
(2)设 若二面角 的大小为60°,求三棱锥 的体积.
【答案】(1)详见解析;(2)  .
【解析】试题分析:(1)要证线面平行,即证线线平行,利用好中点;(2)由二面角 的大小为60°,得到 ,进而得到三棱锥的体积.
试题解析:
(1)连 ,记 与 交于点 . 则 为 的中点. 
易知                 
           又         
                             
(2)过 作 于 ,连 ,
  
    故 为二面角 的平面角, 
                      
         
                             
   三棱锥 的体积      
点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.
 
22. 已知圆 与直线 相切.
(1)求圆 的方程;
(2)过点 的直线截圆 所得弦长为 ,求直线的方程;
(3)设圆 与 轴的负半抽的交点为 ,过点 作两条斜率分别为 的直线交圆 于 两点,且 ,证明:直线 过定点,并求出该定点坐标.
【答案】(1)  ;(2)  ;(3) .
【解析】试题分析:(1)由圆心到切线距离等于半径确定圆O的方程;(2)讨论直线l的斜率,利用弦长为 明确直线l的斜率;(3)联立,分别表示B、C的坐标,然后表示直线BC的方程,明确定点坐标.学¥科¥网...
试题解析:
(1)由题意知,      
所以圆 的方程为                        
(2)①若直线的斜率不存在,直线为 ,
      此时截圆所得弦长为  ,不合题意。             
②若直线的斜率存在,设直线为  即
 由题意,圆心到的距离   ,   
 则直线的方程为                         
(3)由题意知,  设直线              
         由   得      
         可得                                
          ,用 代替       得         
          
    ,所以直线 过定点          
点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现.
 


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