2017年定州市高一数学下期末考试题(有答案和解释)

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2017年定州市高一数学下期末考试题(有答案和解释)

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文章
来源莲
山课件 w ww.5 Y K j.Co M 河北定州2016—2017学年度第二学期期末考试
高一年级承智班数学试卷
 一、选择题
1. 已知点 和 在直线 的两侧,则实数 的取值范围为(  )
A.      B. 
C.      D. 
【答案】A
【解析】试题分析:由题意可知
考点:直线方程
2. 设 为不重合的平面, 为不重合的直线,则下列命题正确的是(   )
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
【答案】D
【解析】试题分析:A的结论可能是 ,B的结论可能是 ,C的结论可能是 ,因此A、B、C均错误,故选D.
考点:空间点线面的位置关系.
3. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,其中俯视图的右边为一个半圆,则此几何体的体积为(   )
 
A.      B.      C.      D. 
【答案】B
【解析】由已知可得该几何体是由一个四棱锥和半个圆锥组成的,故其体积为
  ,故选B.
【点睛】本题主要考查三视图,属于较易题型.应注意把握三个视图的位置和尺寸:主视图在图纸的左上方,左视图在主视图的右方,俯视图在主视图的下方;主视图与俯视图长应对正(简称长对正) ,主视图与左视图高度保持平齐 (简称高平齐),左视图与俯视图宽度应相等(简称宽相等),若不按上述顺序放置,则应注明三个视图名称.
4. 下图画出的是某几何体的三视图,网格纸上小正方形的边长为 ,则该几何体的体积为(    )
 
A.      B.      C.      D. 
【答案】D
【解析】由已知中的三视图可得,该几何体是一个长方体挖掉两个圆锥所得的组合体,所以几何体的体积为: ,故选D.
点睛:本题考查立体几何三视图的直观图,以及还原几何体后求出相应的体积和表面积.三视图的长度特征:“长对正、宽相等,高平齐”,即正视图和侧视图一样高,正视图和俯视图一样长,侧视图和俯视图一样宽.若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,要注意实、虚线的画法.
5. 直线 在y轴上的截距是 ,且它的倾斜角是直线 的倾斜角的2倍,则(  )
A.      B. 
C.      D. 
【答案】B
【解析】根据题意,设直线 为直线l,
另一直线的方程为 ,
变形可得 ,其斜率k= ,
则其倾斜角为60∘,
而直线l的倾斜角是直线 的倾斜角的2倍,
则直线l的倾斜角为120∘,
且斜率k=tan120∘=− ,
又由l在y轴上的截距是−1,则其方程为y=− x−1;
又由其一般式方程为mx+ y−1=0,
分析可得:m=− ,n=−2;
故选:A.
点睛:直线在y轴上的截距即为令x=0,解得的y的值,也称为纵截距,截距不同于距离,截距可正可负可为0,在直线中还有横截距,即令y=0,解出x即是.
6. 若直线 与直线 的交点位于第一象限,则直线的倾斜角的取值范围是(   )
A.      B. 
C.      D. 
【答案】B
【解析】试题分析:画出图象如下图所示,直线过定点 ,由图可知,斜率最小值为 ,此时直线的倾斜角为 ,故倾斜角的取值范围是 .
 
考点:两条直线的位置关系.
7. 如图,在正三棱锥 中, 、 分别是棱 、 的中点,且 ,若 ,则此正三棱锥外接球的体积是(   )
 
A.      B. 
C.      D. 
【答案】B
【解析】试题分析:三棱锥 为正棱锥, 对棱互相垂直, ,又 ,而 , ,即 , ,将此三棱锥补成正方体,则它们有相同的外接球. 侧棱长为 ,  , 正三棱锥外接球的体积是 .选B.
考点:球的组合体.
 ...............
8. 已知某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位: ),可得这个几何体的体积为( )
 
A.      B.      C.      D. 
【答案】D
【解析】由三视图可知此几何体为四棱锥,底面是边长为2的正方形,面积为4,高为3,所以四棱锥的体积    ,故选D.
9. 某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥外接球的体积为(    )
 
A.      B.      C.      D. 
【答案】D
【解析】该四棱锥的底面是正方形,其中一条侧棱与底面垂直,所以该四棱锥的外接球就是它所在的长方体的外接球,半径 ,所以体积 ,故选D.
点睛:三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,不能看到的部分用虚线表示.
(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合.
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图.
10. 若过点 的直线与圆 相较于两点 ,且 为弦的中点 ,则 为(     )
A.      B. 4    C.      D. 2
【答案】A
【解析】圆心坐标为  ,半径为 ,    。故选A。
11. 关于空间直角坐标系 中的一点 ,有下列说法:
①点 到坐标原点的距离为 ;
② 的中点坐标为 ;
③点 关于轴对称的点的坐标为 ;
④点 关于坐标原点对称的点的坐标为 ;
⑤点 关于坐标平面 对称的点的坐标为 .
其中正确的个数是
A. 2    B. 3    C. 4    D. 5
【答案】A
【解析】由空间直角坐标系O﹣xyz中的一点P(1,2,3),知:
在①中,点P到坐标原点的距离为d= = ,故①错误;
在②中,由中点坐标公式得,OP的中点坐标为( ,1, ),故②正确;
在③中,由对称的性质得与点P关于x轴对称的点的坐标为(1,﹣2,﹣3),故③不正确;
在④中,由对称的性质得与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(﹣1,﹣2,﹣3),故④错误;
在⑤中,由对称的性质得与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1,2,﹣3),故⑤正确.
故选:A.
12. 若三棱锥 中,  平面 ,且直线 与平面 所成角的正切值为 ,则三棱锥 的外接球的表面积为(    )
A.      B.      C.      D. 
【答案】A
【解析】
如图,取BC中点D,连接AD,PD,   ,又因为 , 面 ,过A作 于D,易知 面 , 是直线PA与面PBC所成的角, 相互垂直, 以AB,AC,AP为棱的长方体的外接球就是三棱锥P-ABC的外接球,所以三棱锥P-ABC的外接球的半径为 ,三棱锥 的外接球的表面积为 ,故选A.
二、填空
13. 若正三棱柱的所有棱长均为 ,且其体积为 ,则 ______
【答案】4
【解析】试题分析: , .
考点:棱柱的体积.
【名师点睛】1.解答与几何体的体积有关的问题时,根据相应的体积公式,从落实公式中的有关变量入手去解决问题,例如对于正棱锥,主要研究高、斜高和边心距组成的直角三角形以及高、侧棱和外接圆的半径组成的直角三角形;对于正棱台,主要研究高、斜高和边心距组成的直角梯形.
2.求几何体的体积时,若给定的几何体是规则的柱体、锥体或台体,可直接利用公式求解;若给定的几何体不能直接利用公式得出,常用转换法、分割法、补形法等求解.
14. 在正方体 中,异面直线 与 所成角的大小是________.
【答案】
【解析】如图所示,连结 ,由正方体的性质可得,∠ 即为所求,且 为等边三角形,则直线 与 所成角的大小是
 
点睛:平移线段法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面问题化归为共面问题来解决,具体步骤如下:
①平移:平移异面直线中的一条或两条,作出异面直线所成的角;
②认定:证明作出的角就是所求异面直线所成的角;
③计算:求该角的值,常利用解三角形;
④取舍:由异面直线所成的角的取值范围是 ,当所作的角为钝角时,应取它的补角作为两条异面直线所成的角.
15. 已知一个多面体的三视图如图所示:其中正视图与侧视图都是边长为1的等腰直角三角形,俯视图是边长为1的正方形,若该多面体的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为__________.
 
【答案】
【解析】试题分析:由三视图知几何体为四棱锥,且四棱锥的一条侧棱垂直于底面,高等于1,其底面是边长为1的正方形,∴四棱锥的外接球即是边长为1的正方体的外接球,∴外接球的直径为 ,∴外接球的表面积 .
考点:三视图.
【名师点睛】本题考查三视图,属基础题;解三视图相减问题的关键在于根据三视图还原几何体,要掌握常见几何体的三视图,比如三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、四棱锥、圆锥、球、圆台以及其组合体,并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系;有时候还可以利用外部补形法,将几何体补成长方体或者正方体等常见几何体
16. 如果曲线 与曲线 恰好有两个不同的公共点,则实数 的取值范围是__________.
【答案】
 
三、解答题
17. 曲线   曲线 (是参数)
(1)求曲线 的普通方程,并指出它是什么曲线.
(2)当 变化时指出曲线 是什么曲线以及它恒过的定点并求曲线 截曲线 所得弦长的最小值.
【答案】(1)圆心(1,0)半径为3的圆;(2)
【解析】试题分析:
(1)利用题意确定曲线  的普通方程即可确定其为圆;
(2)消去参数可知曲线E是是一条恒过定点 的直线,据此讨论弦长的最小值即可.
试题解析:
 
(1)∵
圆心(1,0)半径为3的圆
(2)消去参数 是一条恒过定点 的直线(但不包括 ),当直线 与圆心连线垂直时弦长最小,设圆心到直线 的距离为 ,则 ,所以弦
点睛:参数方程化为普通方程:化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法,不要忘了参数的范围.圆的弦长问题,可借助垂径定理构造直角三角形,利用勾股定理解题.
18. 如下图,在多面体 中, ⊥平面 , ,且 是边长为2的等边三角形, , 与平面 所成角的正弦值为 .
 
(1)若 是线段 的中点,证明: ⊥面 ;
(2)求二面角 的平面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】试题分析:(1)取 的中点为 ,连接 ,可证 平面 ,通过证明四边形 为平行四边形可得结论;(2)取 的中点 ,连结 取 的中点为 ,以 为原点, 为 轴, 为 轴, 为 轴建立空间直角坐标系,由 与平面 所成角的正弦值为 求得 ,求出平面 和平面 的一个法向量,根据向量的夹角公式即可求得二面角的余弦值.
试题解析:(1)证明:取 的中点为 ,连接 ,则可证 平面 ,四边形 为平行四边形,所以 ,所以 平面 ;
 
(2)解:取 的中点 ,连结 ,则 平面 , 即是 与平面 所成角, ,设 ,则有 ,得 ,取 的中点为 ,以 为原点, 为 轴, 为 轴, 为 轴,建立如图空间直角坐标系,则 ,由(1)知: 平面 ,又 ,取平面 的一个法向量 ,又 ,设平面 的一个法向量 ,由 ,由此得平面 的一个法向量 ,面积 ,所以二面角 的平面角的余弦值为 .
考点:空间中的垂直关系及空间向量在求解二面角中的应用.
19. 如图所示,抛物线 的焦点为 上的一点 满足 .
 
(1)求抛物线 的标准方程;
(2)过点 作不经过原点的两条直线 分别与抛物线 和圆 相切于点 ,试判断直线 是否过焦点 .
【答案】(1) ;(2) 的方程为 ,经过焦点 .
【解析】试题分析:(1)由抛物线的定义可知: 及 ,联立即可求得 的值,求得抛物线 的标准方程;(2)由题意设直线 ,代入抛物线方程,根据 ,求得斜率 ,求得 点坐标,同理求得 点坐标,求得直线 的方程,即可求得直线 是否过焦点.
试题解析:(1)抛物线的准线方程为
所以 ,又因为 ,所以 ,得 ,
所以抛物线的标准方程为 
(2)设 ,联立 ,消去 得: ,
因为 与圆 相切,所以 ,即
所以 ,得 
设 ,联立 ,消去 得: ,
因为 与圆 相切,所以 ,即 ,
所以 ,得 
所以直线 的斜率 ,
可得直线 的方程为 ,显然经过焦点
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