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一. 填空题（本大题满分048分）
1. 计算：  . 2. 方程  的解  . 3. 函数  的反函数  . 4. 不等式  的解集是 . 5. 已知圆  和直线  . 若圆  与直线  没有公共点，则  的取值范围是 . 6. 已知函数  是定义在  上的偶函数. 当  时，  ，则当  时， = . 7. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）.
8. 正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 .
11. 已知直线 过点  ，且与x轴、y轴的正半轴分别交于  两点，  为坐标原点，则三角形  面积的最小值为 . 12. 同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列  满足  ，则 （结论用数学式子表示）. 二．选择题（本大题满分016分）
13. 抛物线  的焦点坐标为 ( ) 14. 若  ，则下列不等式成立的是 ( ) （A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.
（C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件.
16. 若集合  ，则A∩B等于 ( ) 三．解答题（本大题满分086分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17. (本题满分12分)在长方体  中，已知  ，求异面直线  与  所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
18. (本题满分12分) 已知复数  满足  为虚数单位），  ，求一个以  为根的实系数一元二次方程.
19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.
已知函数  . 20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为  ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、  为顶点的抛物线的实线部分，降落点为  . 观测点  同时跟踪航天器. （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
设函数  . （1）在区间  上画出函数 的图像； （2）设集合  . 试判断集合  和  之间的关系，并给出证明； （3）当  时，求证：在区间  上，  的图像位于函数 图像的上方. 22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分. 第3小题满分6分.
已知数列  ，其中  是首项为1，公差为1的等差数列；  是公差为  的等差数列；  是公差为  的等差数列（  ）. （1）若  ，求 ； （3）续写已知数列，使得  是公差为  的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ 2006年上海市普通高等学校春季招生考试
数 学 试 卷
参考答案及评分标准
一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.
1.  . 2. 2. 3.  . 4.  . 5.  . 6.  . 7. 48. 8.  . 9.  . 10. 2. 11. 4. 12.  和  二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.
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题 号 |
13 |
14 |
15 |
16 |
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代 号 |
B |
C |
A |
B |
三．（第17至22题） 17. [解法一] 连接  ，  为异面直线  与  所成的角. ……4分 连接  ，在△  中，  ， ……6分 则   . ……10分  异面直线 与 所成角的大小为  . ……12分
[解法二] 以  为坐标原点，分别以  、  、  所在直线为  轴、  轴、  轴，建立空间直角坐标系. ……2分 则  ， 得  . ……6分 设  与  的夹角为  ， 则  ， ……10分 与 的夹角大小为 ， 即异面直线 与 所成角的大小为 . ……12分 18. [解法一]  ， ……4分  . ……8分 若实系数一元二次方程有虚根  ，则必有共轭虚根  .  ， 所求的一个一元二次方程可以是  . ……12分 [解法二] 设    ， 得    ， ……4分 以下解法同[解法一]. 19. [解]（1）  ， ……2分  ……4分   . ……8分 （2）  ， ……10分  ，  ，  ， 函数  的值域为〔1，2〕 . ……14分 20. [解]（1）设曲线方程为  ， 由题意可知，  .  . ……4分 曲线方程为  . ……6分 （2）设变轨点为  ，根据题意可知  得  ，  或  （不合题意，舍去）.  . ……9分 得  或  （不合题意，舍去）. C点的坐标为  ， ……11分  . 答：当观测点A、B测得AC、BC距离分别为  时，应向航天器发出变轨指令. ……14分
21. [解]（1）
……4分 （2）方程  的解分别是  和  ，由于 在  和  上单调递减，在  和  上单调递增，因此  . ……8分 由于  . ……10分 （3）[解法一] 当  时，  .    ， ……12分   . 又  ， ① 当  ，即  时，取  ，   .  ， 则  . ……14分 ② 当  ，即  时，取  ， ＝  . 由 ①、②可知，当  时，  ， . 因此，在区间  上，  的图像位于函数 图像的上方. ……16分 [解法二] 当 时， . 由  得  ， 令  ，解得  或  ， ……12分 在区间 上，当 时，  的图像与函数 的图像只交于一点  ； 当 时，  的图像与函数 的图像没有交点. ……14分 如图可知，由于直线 过点  ，当 时，直线 是由直线 绕点 逆时针方向旋转得到. 因此，在区间 上， 的图像位于函数 图像的上方. ……16分 22. [解]（1）  . …… 4分 （2）  ， …… 8分  ， 当  时，  . …… 12分 （3）所给数列可推广为无穷数列  ，其中  是首项为1，公差为1的等差数列，当  时，数列  是公差为  的等差数列. …… 14分 研究的问题可以是：试写出  关于  的关系式，并求 的取值范围.…… 16分 研究的结论可以是：由  ， 依次类推可得  当  时， 的取值范围为  等. …… 18分 | 
中，已知
，三角形面积为12，则
.
的夹角为
，
，则
.
. （B）
. （C）
. （D）
.
. （B）
. （C）
. （D）
.
，则“
”是“方程
表示双曲线”的 ( )
. （B）
. （C）
. （D）
.
，求函数
关于
