第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
１．已知集合
，则
等于 （ ）
A．
B．
C．
D．
2．
的值为( )
A．0 B．1 C．
D．
3．已知两个不同的平面
，
和两条不重合的直线
，
，有下列四个命题：
①若
，则
②若
，且
，则
③若
，则
④若，
，则
其中正确命题的个数是 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．
的展开式中含
项的系数是 （ ）
A．240 B．
C．192 D．
5．已知数列
，那么“对任意的
点
都在直线
上”是“为等差数列”的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在直角三角形
中，
，
为斜边
的中点，则
的值为 ( )
A．1 B．6 C．
D． 10
7．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中，选出一个偶数和三个奇数，组成一个没有重复数字的四位数，这样的四位数共有（ ）
A．1480个 B．1440个 C．1200个 D．1140个
8．如图，在平面直角坐标系
中，
，映射
将平面上的点
对应到另一个平面直角坐标系
上的点
，则当点
沿着折线
运动时，在映射的作用下，动点
的轨迹是（ ）
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
9．已知函数
，它的反函数为
，则
= ．
10．离心率
的椭圆，它的焦点与双曲线
的焦点重合，则此椭圆的方程为 . 若为该椭圆上一点，且到椭圆一个焦点的距离为3，则到椭圆相应准线的距离为 ．
11．如图，棱长为
的正方体
中，为
中点，则直线
与平面
所成角的正切值为 ；若正方体的八个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为 .
12．已知数列
是公差为
的等差数列，且
，数列
是公比为
的等比数列，且
，则
， 
.
13．已知
中，
，则
的最大值为 ．
14．已知符号函数
，则不等式
的解集是 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）已知函数
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
的最大值并指出相应的
的取值集合．
16．（本小题满分13分）已知函数
的图象过点
，且在点处的切线的方程为
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）求函数
的最值.
17．（本小题满分14分）如图，四棱锥
中，底面是边长为2的正方形，
，且
，
为
中点.
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）求二面角
的大小；
（Ⅲ）在线段上是否存在点
，使得点到平面
的距离为
？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.
18.（本小题满分13分）有甲、乙、丙、丁四名网球运动员，通过对过去战绩的统计，在一场比赛中，甲对乙、丙、丁取胜的概率分别为
.
（Ⅰ）若甲和乙之间进行三场比赛，求甲恰好胜两场的概率；
（Ⅱ）若四名运动员每两人之间进行一场比赛，求甲恰好胜两场的概率；
（Ⅲ）若四名运动员每两人之间进行一场比赛，设甲获胜场次为
，求随机变量的分布列及期望
．
19．（本小题满分13分）已知抛物线
，过焦点的动直线
交抛物线于
两点，抛物线在两点处的切线相交于点
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求点的纵坐标；
（Ⅲ）证明：
.
20.(本小题满分14分)已知数列满足：
.数列满足：
, 
，数列的前n项和为
.
(Ⅰ)求证：数列为等差数列；
(Ⅱ)求证：数列
为等比数列；
(Ⅲ)若当且仅当
时，取得最小值，求
的取值范围.
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．B 2．C 3．A 4．D 5．A 6．B 7．D 8．A
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．4 10．
11．
12．2,3 13． 
14．
注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15. （本小题满分13分）
（Ⅰ）解：
， …………6分
∴
.………………8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
，
∴函数的最大值为2. ………………10分
由
可得
. ………………12分
即函数的最大值为2，相应的取值集合为
.………………13分
16. （本小题满分13分）
（Ⅰ）解：∵点在切线上，
∴
.
∴
. ① ………………2分
又函数图象在点处的切线斜率为8，
∴ 
，
又
，
∴
. ② ………………4分
解由①②组成的方程组，可得
．………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，
令
，可得
；
令
，可得
.………………7分
∴函数的单调增区间为
，单调减区间为
.………………9分
（Ⅲ）设
，则问题可以转化为求函数
的最值，
由（Ⅱ）可知在
上是减函数，在
上是增函数.
∴的最小值为
.………………11分
又
∴的最大值为
.
∴函数的最小值为
，最大值为6. ………………13分
17．（本小题满分14分）
解法一：
（Ⅰ）证明：∵底面为正方形，
∴
，又
，
∴
平面
，
∴
. ………………2分
同理
， ………………4分
∴平面．
………………5分
（Ⅱ）解：设为
中点，连结
，
又为中点，
可得
，从而
底面．
过 作
的垂线
，垂足为
,连结
．
由三垂线定理有
，
∴
为二面角的平面角. ………………7分
在
中，可求得
∴
． ………………9分
∴ 二面角的大小为
． ………………10分
（Ⅲ）解：由为中点可知,
要使得点到平面的距离为，
即要点
到平面的距离为
.
过 作
的垂线，垂足为
,
∵平面，
∴平面
平面，
∴
平面，
即为点到平面的距离.
∴
，
∴
． ………………12分
设
，
由
与
相似可得
，
∴
，即
．
∴在线段上存在点，且为中点，使得点到平面的距离为．………………14分
解法二：
（Ⅰ）证明：同解法一．
（Ⅱ）解：建立如图的空间直角坐标系
， ………………6分
则
.
设
为平面
的一个法向量，
则
，
．
又
令
则
得
． ………………8分
又
是平面
的一个法向量，
………………9分
