湖北湖南十二校2019届高三数学第一次联考试卷(文科含答案)

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湖北湖南十二校2019届高三数学第一次联考试卷(文科含答案)

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文 章来
源莲山 课
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绝密★2018年10月4日17:00前
湖南湖北八市十二校2019届高三第一次调研联考
 文科数学试题 
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
4.本卷答题时间120分钟,满分150分。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 , ,则 (    )
A.    B.   C.   D.
2.已知命题 : , , ,则 是(   )
A. , ,
B. , ,
C. , ,
D. , ,
3.已知直线 是曲线 的切线,则实数 (    )
A.   B.    C.    D.
4.已知向量 ,且 ,则 等于(   )
A.1             B.3                 C.4                 D.5
5.为了得到 函数的图象,只需把 上所有的点(    )
A.先把横坐标缩短到原来的 倍,然后向左平移 个单位
B.先把横坐标缩短到原来的2倍,然后向左平移 个单位
C. 先把横坐标缩短到原来的2倍,然后向左右移 个单位
D.先把横坐标缩短到原来的 倍,然后向右平移 个单位
6.有3个不同的社团,甲、乙两名同学各自参加其中1个社团,每位同学参加各个社团的可能性相同,则这两位同学参加同一个社团的概率为(    )
A.     B.      C.     D. 
7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(   )
 
A. B.           C.           D.
8.设双曲线 ( )的半焦距为 ,  为直线 上两点,已知原点到直线 的距离为 ,则双曲线的离心率为(     )
A.     B.  或2      C. 2或   D. 2
9.已知点 ,抛物线 的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若 ,则 的值等于( )
A.      B.      C. 2        D. 4
10.已知实数 满足: , ,则 的取值范围是(     )
A.              B.                C.               D.
11.设点 是棱长为2的正方体 的棱 的中点,点 在面 所在的平面内,若平面 分别与平面 和平面 所成的锐二面角相等,则点 到点 的最短距离是(   )
A.  B.  C. 1    D. 
12.若存在 ,使得关于 的不等式 成立,则实数 的取值范围为(   )
A.        B. 
C.        D. 
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13. , 互为共轭复数,且 则 =____________.
14.已知数列 为等比数列, 为其前n项和, ,且 , ,则 .
15.一个算法的程序框图如下图所示,若该程序输出的结果为 ,则判断框中应填入的条件是____.
 
16.△ 的三个内角为 , , ,若 ,则 的最大值为.

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:60分。
17.已知数列 的前 项和为 , .
(1)求 的通项公式;
(2)设 ,数列 的前 项和为 ,证明: .

18.下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 (单位:亿元)的折线图.
 
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了 与时间变量 的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量 的值依次为 )建立模型①: ;根据2010年至2016年的数据(时间变量 的值依次为 )建立模型②: .
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.

19.如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.
 
(1)证明:AB1⊥平面A1B1C1;
(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.

20.已知中心在原点的椭圆 的两焦点分别为双曲线 的顶点,直线 与椭圆 交于 、 两点,且 ,点 是椭圆 上异于 、 的任意一点,直线 外的点 满足 ,  . 
(1)求点 的轨迹方程;
(2)试确定点 的坐标,使得 的面积最大,并求出最大面积.

21.设函数 ,其中 .
(1)讨论 极值点的个数;
(2)设 ,函数 ,若 , ( )满足 且 ,证明: .


(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4—4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 中, 的参数方程为( 为参数),过点 且倾斜角为 的直线 与 交于 两点.
(1)求 的取值范围;
(2)求 中点 的轨迹的参数方程。

23. [选修4–5:不等式选讲]
已知 ,函数 的最小值为1.
(Ⅰ)证明:。
(Ⅱ)若 恒成立,求实数 的最大值。
湖南湖北八市十二校2019届高三第一次调研联考
 文科数学试题参考答案及解析
1.B.【解析】由题意得, , ,∴ ,故选B.
考点:集合的运算.
2.C【解析】本题考查全称命题的否定.已知全称命题 则否定为 故选C.
考点:全称命题的否定.
3.C【解析】设切点为 ,∴切线方程是 ,
∴ ,故选C.
考点:导数的运用.
4.D【解析】由向量 ,且 ,则 ,解得 ,所以 ,所以 ,所以 ,故选D.
考点:向量的运算.
5.A【解析】把 上所有的点横坐标缩短到原来的 倍可得到函数 的图象,再把 的图象向左平移 个单位得到函数 ,故选A.
考点:函数图象的平移变换与伸缩变换.
6、A【解析】试题分析:记3个社团分别为A、B、C,依题意得,甲、乙两位同学参加社团的所有可能的情况有9种,分别为(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C),而两位同学参加同一个社团的种数为3,故所求概率为 ,故选A.
考点:概率.
7.B【解析】几何体为锥与柱的组合体,其中锥的高为1,底面为四分之一个圆,圆半径为1;柱的高为1,底面为直角三角形,两个直角边长分别为1和2,所以体积为 ,选B.
考点:三视图
8、【答案】A【解析】试题分析:∵直线 过 两点,∴直线 的方程为:  ,即 ,∵原点到直线 的距离为 ,  .又 ,  ,∴ ,或 .∵ ,∴ ,  ,故离心率为
故选:A.
考点:双曲线的简单性质.
9、【答案】C【解析】试题分析:设 , 是点 到准线的距离, , ,即 ,那么 ,即直线 的斜率是-2,所以 ,解得 ,故选C.
考点:抛物线的简单性质
10、B
【解析】由约束条件作出可行域如图:
 
 ,  .
令 ,变形可得 ,平移目标函数线 使之经过可行域,当目标函数线过点 时,纵截距最小,此时 取得最大值,即 .当目标函数线过点 时,纵截距最大,此时 取得最小值,即 .
因为点 不在可行域内,所以 , .故B正确.
考点:线性规划.
11.A【解析】设 在平面 上的射影为 在平面 上的射影为 ,平面 与平面 和平面 成的锐二面角分别为 ,则 ,  ,设 到 距离为 ,则 ,即点 在与直线 平行且与直线距离为 的直线上,  到 的最短距离为 ,故选A.
考点:正方体的性质、二面角的求法、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用
12、B【解析】令 则题目中问题等价于“当 ,时,有  成立”即可,
(i)当  时,    在 上单调递减,   由  解得
(ii)当  时,   在区间 上单调递增,其值域为  ①当  时,即  时,   在区间 上恒成立,   在 上单调递增,   由
解得  ,与  矛盾,② 时,即 时,由 的单调性以及值域可知,存在唯一的  ,使  且满足当  为减函数,当  ,   为增函数,   ,其中  ,这与 矛盾,
综上  的取值范围为 .
故选:B.
13. 【解析】设 ,代入得 ,所以 ,解得 ,所以 .
考点:复数运算.
14、45【解析】数列 为等比数列, 为其前n项和,则可以证明: 也成等比数列,所以该等比数列依次为:3,6,12,24,…,故 3+6+12+24=45.
考点:等比数列的性质.
15、 【解析】开始, 满足条件;第一次循环 ;满足条件;第二次循环 ;满足条件;第三次循环 ;满足条件;第四次循环 ;满足条件;第五次循环 ;不满足条件;∴判断框中应填入的条件是 故答案为: .
考点:1.循环结构;2.计算.
16.
【解析】
 ,  ,展开化简得 ,所以 ,则 ,当 ,所求的 有最大值 .
考点:1.三角恒等变换;2.二次函数的最值.
17.(1)当 时, ,解得 ;
当 时, ,解得 .
当 时, , ,
以上两式相减,得 ,
∴ ,
∴ ,

(2)
当 时, ,

考点:已知 与 的关系求数列通项,放缩法证明不等式.
18.(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
 =–30.4+13.5×19=226.1(亿元).
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
 =99+17.5×9=256.5(亿元).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下:
(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型 =99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.
以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
考点:若已知回归直线方程,则可以直接将数值代入求得特定要求下的预测值;若回归直线方程有待定参数,则根据回归直线方程恒过点 求参数.
19.(Ⅰ)由得 ,
所以 .
故 .
由 ,得 ,
由 得 ,
由 ,得 ,所以 ,故 .
因此 平面 .
(Ⅱ)如图,过点 作 ,交直线 于点 ,连结 .
 
由 平面 得平面 平面 ,
由 得 平面 ,
所以是 与平面 所成的角.
由 得 ,
所以 ,故 .
因此,直线 与平面 所成的角的正弦值是 .
方法二:
(Ⅰ)如图,以AC的中点O为原点,分别以射线OB,OC为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz.
 
由题意知各点坐标如下:
 
因此
由得 .
由得.
所以 平面 .
(Ⅱ)设直线 与平面 所成的角为 .
由(Ⅰ)可知
设平面 的法向量 .
由即可取 .
所以 .
因此,直线 与平面 所成的角的正弦值是 .
20.(1)由 的焦点为 的顶点,得 的焦点  ,  .
令 的方程为 ,因为 在 上,所以 .
于是由 解得 ,  ,所以 的方程为 .
由直线 与椭圆 交于 、 两点,知 、 关于原点对称,所以 .
令点 ,  ,则 ,  ,
 ,  .
于是由 ,  ,得

两式相乘得 .
又因为点 在 上,所以 ,即 ,
代入 中,得  .
当 时,得 ;
当 时,则点 或 ,此时 或 ,也满足方程 .
若点 与点 重合,即 时,由 解得 或 .
若点 与点 重合时,同理可得 或 .
综上,点 的轨迹是椭圆 除去四个点 ,  ,  ,  ,其方程为 ( ,  ).
(2)因为点 到直线  的距离 ,  ,
所以 的面积  
      .
当且仅当 ,即 或  ,
此时点 的坐标为 或 .
21.(1)函数 的定义域为 , .
令 .
①当 时, , ,所以,函数 在 上单调递增,无极值;
②当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减,
且 ,所以, 在 上有唯一零点,从而函数 在 上有唯一极值点;
③当 时,若 ,即 时,则 在 上恒成立,
从而 在 上恒成立,函数 在 上单调递增,无极值;
若 ,即 ,由于 ,
则 在 上有两个零点,从而函数 在 上有两个极值点.
综上所述:
当 时,函数 在 上有唯一极值点;
当 时,函数 在 上无极值点;
当 时,函数 在 上有两个极值点.
(2) , .
假设结论不成立,则有
由①,得 ,∴ ,
由③,得 ,∴ ,即 ,即 .④
令 ,不妨设 , ( ),则 ,
∴ 在 上增函数, ,
∴④式不成立,与假设矛盾.
∴ .
考点:1、利用导数研究函数的单调性;2、函数的极值;3、反证法.
22.(1) 的直角坐标方程为 .
当 时, 与 交于两点.
当 时,记 ,则 的方程为 . 与 交于两点当且仅当 ,解得 或 ,即 或 .
综上, 的取值范围是 .
(2) 的参数方程为为参数, .
设 , , 对应的参数分别为 , , ,则 ,且 , 满足 .
于是 , .又点 的坐标 满足
所以点 的轨迹的参数方程是 为参数, .
考点:本题主要考查直线与圆的位置关系,圆的参数方程,考查求点的轨迹方程。23.(Ⅰ)证明:
 ,显然 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 的最小值为 ,即.
(Ⅱ)因为 恒成立,所以 恒成立,
 
当且仅当 时, 取得最小值 ,
所以 ,即实数 的最大值为 .
考点:本题主要考查含两个绝对值的函数的最值和不等式的应用,第二问恒成立问题分离参数,利用基本不等式求解很关键,属于中档题。

 

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