湖南衡阳八中2019届高三数学上学期第二次月考试题(理科附答案)

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湖南衡阳八中2019届高三数学上学期第二次月考试题(理科附答案)

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衡阳市八中2019届高三第二次月考试题
理科数学
命题人:罗欢                 审题人:彭韬
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A=[-1,2],B={y|y=x2,x∈A},则A∩B=(  )
A.[1,4]       B.[1,2]      C.[-1,0]     D.[0,2]
2.设i是虚数单位,复数a+i1+i为纯虚数,则实数a的值为(  )
A.-1   B.1   C.-2   D.2
3.函数 的导函数 的图象如图所示,则函数 的图象可能是(  )
 
 
4.已知等差数列 中, 是函数 的两个零点,则 的前项和等于(   )
A.          B.          C.          D. 
5.下列命题错误的是(    )
A.命题“  ”的否定是“  ”;
B.若p∧q是假命题,则p,q都是假命题
C. 双曲线 的焦距为
D.设a,b是互不垂直的两条异面直线,则存在平面α,使得a⊂α,且b∥α
6.已知 ,则 (     )
A.      B.     C.         D.
7.已知函数 则 (   )
A.          B.           C.           D. 
8.若 , , , ,则(   )
A.          B.        C.           D.
9.将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ,再向右平移 个单位长度,得到函数 的图象,则 图象的一条对称轴是直线(   )
A.            B.            C.            D. 
10.已知 ,点 为斜边 的中点, ,  ,   ,则 等于  (    )
  A.              B.                 C.                 D.
11.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中六边形 是边长为1的正六边形,点 为 的中点,则该几何体的外接球的表面积是(   )
 
A.             B.              C.              D. 
12.若函数 ,  ,对于给定的非零实数 ,总存在非零常数 ,使得定义域 内的任意实数 ,都有 恒成立,此时 为 的类周期,函数 是 上的 级类周期函数.若函数 是定义在区间 内的2级类周期函数,且 ,当 时,  函数 .若 ,  ,使 成立,则实数 的取值范围是(   )
A.        B.        C.        D. 
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知向量 与 的夹角为 ,且 , ,则           .
14.设实数 满足约束条件 ,则 的最大值是_______.
15.有一个游戏:盒子里有 个球,甲,乙两人依次轮流拿球(不放回),每人每次至少拿一个,至多拿三个,谁拿到最后一个球就算谁赢。若甲先拿,则下列说法正确的有:
__________.
① 若 =4,则甲有必赢的策略;     ②若 =6,则乙有必赢的策略;
③ 若 =7,则乙有必赢的策略;      ④若 =9,则甲有必赢的策略。
16.  中,三内角 的对边分别 且满足 , , 是以 为直径的圆上一点,则 的最大值为__________.
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本题12分)如图,已知 是 中 的角平分线,交 边于点 .
(1)证明: ;
(2)若 ,求 的长.

18.(本题12分)如图, 由 围成的曲边三角形,在曲线弧 上有一点 ,
(1)求以 为切点 的切线 方程;
(2)若 与 两直线分别交于 两点,试确定 的位置,使 面积最大。

 

19.(本题12分)如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点.
 (1)求证:AF∥平面BCE;
(2)求二面角C-BE-D的余弦值的大小.
 
20.(本题12分)若数列{an}是公差为2的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=2,且anbn+bn=nbn+1.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设数列{cn}满足cn=an+1bn+1,数列{cn}的前n项和为Tn,若不等式(-1)nλ<Tn+n2n-1对一切n∈N*恒成立,求实数λ的取值范围.
21.(本题12分)已知 , ,
(Ⅰ)若 ,求 的极值;
(Ⅱ)若函数 的两个零点为 ,记 ,证明: .
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:坐标系与参数方程(本题12分)
在平面直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数, ).以坐标原点 为极点,以 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线 的极坐标方程为: .
(Ⅰ)求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程;
(Ⅱ)设直线 与曲线 交于不同的两点 ,若 ,求 的值.
23.选修4-5:不等式选讲(本题12分)
已知定义在R上的函数f(x)=|x-m|+|x|,m∈N*,若存在实数x使得f(x)<2成立.
(1)求实数m的值;
(2)若 求证:  。


衡阳市八中2019届高三第二次月考试题
理科数学答案
命题人:罗欢                 审题人:彭韬

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A D C B D D A C C C B
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A=[-1,2],B={y|y=x2,x∈A},则A∩B=( D )
A.[1,4]       B.[1,2]      C.[-1,0]     D.[0,2]
2.设i是虚数单位,复数a+i1+i为纯虚数,则实数a的值为( A )
A.-1   B.1   C.-2   D.2
3.函数 的导函数 的图象如图所示,则函数 的图象可能是( D )
 
 
4.已知等差数列 中, 是函数 的两个零点,则 的前 项和等于( C  )
A.           B.           C.           D. 
5.下列命题错误的是(  B  )
A.命题“  ”的否定是“  ”;
B.若p∧q是假命题,则p,q都是假命题
C. 双曲线 的焦距为
D.设a,b是互不垂直的两条异面直线,则存在平面α,使得a⊂α,且b∥α
6.已知 ,则 ( D    )
A.      B.     C.         D.
7.已知函数 则 ( D  )
A.          B.           C.           D. 
8.若 , , , ,则( A  )
A.          B.        C.           D.
9.将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ,再向右平移 个单位长度,得到函数 的图象,则 图象的一条对称轴是直线( C  )
A.            B.            C.            D. 
10.已知 ,点 为斜边 的中点, ,  ,   ,则 等于  (  C  )
  A.              B.                 C.                 D.
11.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中六边形 是边长为1的正六边形,点 为 的中点,则该几何体的外接球的表面积是( C  )
 
A.             B.              C.              D. 
12.若函数 ,  ,对于给定的非零实数 ,总存在非零常数 ,使得定义域 内的任意实数 ,都有 恒成立,此时 为 的类周期,函数 是 上的 级类周期函数.若函数 是定义在区间 内的2级类周期函数,且 ,当 时,  函数 .若 ,  ,使 成立,则实数 的取值范围是( B  )
A.      B.      C.      D. 
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知向量 与 的夹角为 ,且 , ,则           .
14.设实数 满足约束条件 ,则 的最大值是_______.
15.有一个游戏:盒子里有 个球,甲,乙两人依次轮流拿球(不放回),每人每次至少拿一个,至多拿三个,谁拿到最后一个球就算谁赢。若甲先拿,则下列说法正确的有:
____④______.
① 若 =4,则甲有必赢的策略;     ②若 =6,则乙有必赢的策略;
③ 若 =7,则乙有必赢的策略;      ④若 =9,则甲有必赢的策略。
16.  中,三内角 的对边分别 且满足 , , 是以 为直径的圆上一点,则 的最大值为__________.
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(本题12分)
如图,已知 是 中 的角平分线,交 边于点 .
(1)证明: ;
(2)若 ,求 的长.
17.解:(1)在 中, (1)    ………………2分
在 中, (2)    ………………4分
又   ………………6分
(2)在 中,
又         ………………8分
法一:在 中,
    ………………10分
在 中,
             ………………12分
法二:
故      ………………10分
在△ABD中,由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB•BDcos∠ABD
  
所以 .                                     ………………12分


18.  如图,由 围成的曲边三角形,在曲线弧 上求一点 ,使得过 所作的  的切线 与 围成的三角形 面积最大。
 
设  得切线方程 ,
 通过求导知:当 时,面积最大,此时
19.如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点.
 (1)求证:AF∥平面BCE;
(2)求二面角C-BE-D的余弦值的大小.

 

解 设AD=DE=2AB=2a,以AC,AB所在的直线分别作为x轴、z轴,以过点A在平面ACD内和AC垂直的直线作为y轴,建立如图所示的坐标系,
A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a),D(a,3a,0),E(a,3a,2a).
∵F为CD的中点,∴F32a,3a2,0.
(1)证明 AF→=32a,32a,0,BE→=(a,3a,a),BC→=(2a,0,-a),
∴AF→=12(BE→+BC→),AF⊄平面BCE,
∴AF∥平面BCE.
(2)设平面BCE的一个法向量m=(x,y,z),
则m•BE→=0,m•BC→=0,即x+3y+z=0,2x-z=0,不妨令x=1可得m=(1,-3,2).
设平面BDE的一个法向量n=(x,y,z),则n•BE→=0,n•BD→=0,
即x+3y+z=0,x+3y-z=0.令x=3可得n=(3,-1,0).
于是,cos〈m,n〉=m•n|m|×|n|=64.
故二面角C-BE-D的余弦值为64.
20.若数列{an}是公差为2的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=2,且anbn+bn=nbn+1.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设数列{cn}满足cn=an+1bn+1,数列{cn}的前n项和为Tn,若不等式(-1)nλ<Tn+n2n-1对一切n∈N*恒成立,求实数λ的取值范围.
解 (1)∵数列{bn}满足b1=1,b2=2,且anbn+bn=nbn+1.
∴n=1时,a1+1=2,解得a1=1.
又数列{an}是公差为2的等差数列,
∴an=1+2(n-1)=2n-1.
∴2nbn=nbn+1,化为2bn=bn+1,
∴数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.
∴bn=2n-1.
(2)由数列{cn}满足cn=an+1bn+1=2n2n=n2n-1,
数列{cn}的前n项和为
Tn=1+22+322+…+n2n-1,
∴12Tn=12+222+…+n-12n-1+n2n,
两式作差,得
∴12Tn=1+12+122+…+12n-1-n2n=1-12n1-12-n2n=2-n+22n,∴Tn=4-n+22n-1.
不等式(-1)nλ<Tn+n2n-1,化为(-1)nλ<4-22n-1,
n=2k(k∈N*)时,λ<4-22n-1,取n=2,∴λ<3.
n=2k-1(k∈N*)时,-λ<4-22n-1,取n=1,∴λ>-2.
综上可得:实数λ的取值范围是(-2,3).
21. 已知 , ,
(Ⅰ)若 ,求 的极值;
(Ⅱ)若函数 的两个零点为 ,记 ,证明: .
21.解:(Ⅰ)
 
令 得:
当 时, ,即 在 上单调递增,
当 时, ,即 在 上单调递减,
 , 不存在.
(Ⅱ) 函数 的两个零点为 ,不妨设 ,
 ,
 
              

又 , ,
 ,
 
 
 
 .
令 ,则
 
 在 上单调递减,故 ,
 ,即 ,
又 , .
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数, ).以坐标原点 为极点,以 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线 的极坐标方程为: .
(Ⅰ)求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程;
(Ⅱ)设直线 与曲线 交于不同的两点 ,若 ,求 的值.
22.解:(Ⅰ)直线 普通方程为 ,曲线 的极坐标方程为 , ,则 , 即为曲线 的普通方程.
(Ⅱ)将 ( 为参数, )代入曲线 .
 ,
 
 或 .
23.选修4-5:不等式选讲
已知定义在R上的函数f(x)=|x-m|+|x|,m∈N*,若存在实数x使得f(x)<2成立.
(1)求实数m的值;
(2)若α,β>1,f(α)+f(β)=6,求证:4α+1β≥94.
(1)解 因为|x-m|+|x|≥|x-m-x|=|m|,
要使|x-m|+|x|<2有解,则|m|<2,解得-2<m<2.
∵m∈N*,∴m=1.
(2)证明 α,β>1,f(α)+f(β)=2α-1+2β-1=6,
∴α+β=4,
∴4α+1β≥144α+1β(α+β)
=145+4βα+αβ≥145+24βα•αβ=94,
当且仅当4βα=αβ,
即α=83,β=43时“=”成立,
故4α+1β≥94.

 

 

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