2018北师大版高中数学必修五第1章章末综合检测一含解析

作者:佚名 资料来源:网络 点击数:    有奖投稿

2018北师大版高中数学必修五第1章章末综合检测一含解析

本资料为WORD文档,请点击下载地址下载
文章来源
莲山 课件 w ww.5 Y
K J.CO
M 章末综合检测(一)
(时间:120分钟,满分:150分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知实数-1,x,y,z,-2成等比数列,则xyz等于(  )
A.-4   B.±4   
C.-22   D.±22
解析:选C.因为xz=(-1)×(-2)=2,y2=2,
所以y=-2(y=2不合题意,舍去),
所以xyz=-22.
2.有穷数列1,23,26,29,…,23n+6的项数是(  )
A.3n+7           B.3n+6 
C.n+3  D.n+2
解析:选C.此数列的次数依次为0,3,6,9,…,3n+6,为等差数列,且首项a1=0,公差d=3,设3n+6是第x项,3n+6=0+(x-1)×3,所以x=n+3.故选C.
3.某种细胞开始有2个,1小时后分裂成4个并死去1个,2小时后分裂成6个并死去1个,3小时后分裂成10个并死去1个,…, 按此规律进行下去,6小时后细胞存活的个数是(  )
A.33个  B.65个 
C.66个  D.129个
解析:选B.设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{an}.
则a1=2,an+1=2an-1,即an+1-1an-1=2.
所以an-1=1·2n-1,an=2n-1+1,a7=65.
4.等差数列{an}的公差不为零,首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项,则数列的前10项之和是(  )
A.90  B.100 
C.145  D.190
解析:选B.设公差为d,所以(1+d)2=1×(1+4d),
因为d≠0,所以d=2,从而S10=100.
5.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,下列选项中不可能是{Sn}的图像的是(  )
 
解析:选D.因为Sn是等差数列{an}的前n项和,所以设Sn=an2+bn(a,b为常数,n∈N+),则其对应函数y=ax2+bx的图象是过原点的一条曲线.当a=0时,该曲线是过原点的直线,如选项C;当a≠0时,该曲线是过原点的抛物线,如选项A,B;选项D中的曲线不过原点,不符合题意.选D.
6.设y=f(x)是一次函数,若f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列,则f(2)+f(4)+…+f(2n)等于(  )
A.n(2n+3)  B.n(n+4)
C.2n(2n+3)  D.2n(n+4)
解析:选A.设y=kx+b(k≠0),因为f(0)=1,所以b=1.又因为f(1),f(4),f(13)成等比数列,所以(4k+1)2=(k+1)·(13k+1),所以k=2,所以y=2x+1.所以f(2)+f(4)+…+f(2n)=(2×2+1)+(2×4+1)+…+(2×2n+1)=2(2+4+…+2n)+n=2n2+2n+n=n(2n+3).故选A.
7.已知Sn是数列{an}的前n项和,log2Sn=n(n=1,2,3,…),则数列{an}(  )
A.是公比为2的等比数列
B.是公差为2的等差数列
C.是公比为12的等比数列
D.既非等差数列,也非等比数列
解析:选D.因为log2Sn=n,所以Sn=2n,则a1=2.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1.
因为a1=2不适合上式,
所以{an}既非等差数列,也非等比数列.
8.数列{an}满足递推公式an=3an-1+3n-1(n≥2),又a1=5,则使得an+λ3n为等差数列的实数λ等于(  )
A.2  B.5 
C.-12  D.12
解析:选C.a1=5,a2=23,a3=95,令bn=an+λ3n,
则b1=5+λ3,b2=23+λ9,b3=95+λ27,
因为b1+b3=2b2,所以λ=-12.
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a10+a11=10,则ln S20ln 110=(  )
A.1  B.2 
C.-1  D.-2
解析:选D.在等差数列{an}中,S20=(a1+a20)×202=10(a1+a20)=10(a10+a11)=100,所以ln S20ln 110=ln 100ln 10-1=-ln 100ln 10=-lg 100=-2.故选D.
10.设数列{an}是以2为首项,1为公差的等差数列,{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,则ab1+ab2+…+ab10等于(  )
A.1 033  B.1 034 
C.2 057  D.2 058
解析:选A.由已知可得an=n+1,bn=2n-1,
于是abn=bn+1,
因此ab1+ab2+…+ab10=(b1+1)+(b2+1)+…+(b10+1)=b1+b2+…+b10+10=20+21+…+29+10=1-2101-2+10=1 033.
11.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=(  )
A.n  B.-n 
C.-1n  D.1n
解析:选C.因为an+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1,
所以Sn+1-Sn=SnSn+1.
因为 Sn≠0,所以1Sn-1Sn+1=1,即1Sn+1-1Sn=-1.
又1S1=-1,所以{1Sn}是首项为-1,公差为-1的等差数列.
所以1Sn=-1+(n-1)×(-1)=-n,所以Sn=-1n.
12.对于正项数列{an},定义Gn=a1+2a2+3a3+…+nann为数列{an}的“匀称”值.已知数列{an}的“匀称”值为Gn=n+2,则该数列中的a10等于(  )
A.23  B.45 
C.1  D.2110
解析:选D.因为Gn=a1+2a2+3a3+…+nann,
数列{an}的“匀称”值为Gn=n+2,
所以a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+2),①
所以n≥2时,
a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n-1)(n+1),②
①-②得nan=2n+1,所以an=2n+1n,n≥2,当n=1时,a1=G1=3满足上式.
所以an=2n+1n,a10=2110.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分.
13.若数列{an}满足:a1=1,an+1=2an(n∈N+),则a5=________;前8项的和S8=________(用数字作答).
解析:由a1=1,an+1=2an(n∈N+)知{an}是以1为首项,以2为公比的等比数列,由通项公式及前n项和公式知a5=a1q4=16,S8=a1(1-q8)1-q=1·(1-28)1-2=255.
答案:16 255
14.数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6=________.
解析:由an+1=3Sn,得Sn+1-Sn=3Sn,即Sn+1=4Sn,
所以数列{Sn}是首项为1,公比为4的等比数列,
所以Sn=4n-1,
所以a6=S6-S5=45-44=3×44=768.
答案:768
15.数列{an}满足an+1=11-an,a8=2,则a1=________.
解析:因为an+1=11-an,
所以an+1=11-an=11-11-an-1=1-an-11-an-1-1
=1-an-1-an-1=1-1an-1
=1-111-an-2=1-(1-an-2)=an-2,
所以周期T=(n+1)-(n-2)=3.
所以a8=a3×2+2=a2=2.
而a2=11-a1,所以a1=12.
答案:12
16.已知a,b,a+b成等差数列,a,b,ab成等比数列,则通项为an=82an2+bn的数列{an}的前n项和为________.
解析:因为a,b,a+b成等差数列,
所以2b=a+a+b,故b=2a.
因为a,b,ab成等比数列,
所以b2=a2b,又b≠0,故b=a2,
所以a2=2a,又a≠0,所以a=2,b=4,
所以an=82an2+bn=84n2+4n=2n(n+1)
=21n-1n+1,所以{an}的前n项和Sn=2(1-12+12-13+…+1n-1n+1)=21-1n+1=2nn+1.
答案:2nn+1
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)已知等差数列{an}(n∈N+)满足a1=2,a3=6.
(1)求该数列的公差d和通项公式an;
(2)设Sn为数列{an}的前n项和,若Sn≥2n+12,求正整数n的取值范围.
解:(1)由题意得d=a3-a12=2,
所以an=a1+(n-1)d=2n,n∈N+.
(2)Sn=a1+an2×n=n2+n,由Sn≥2n+12,
解得n≥4或n≤-3.
所以n≥4且n∈N+.
18.(本小题满分12分)已知{an}为等差数列,且a3=-6,a6=0.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若等比数列{bn}满足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前n项和.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a3=-6,
a6=0,所以a1+2d=-6,a1+5d=0,解得a1=-10,d=2.
所以an=-10+(n-1)×2=2n-12.
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,
所以-8q=-24,即q=3.
所以数列{bn}的前n项和为b1(1-qn)1-q=4(1-3n).
19.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),且an+Sn=n.设cn=an-1,
(1)求证:{cn}是等比数列;
(2)求数列{bn}的通项公式.
解:(1)证明:因为an+Sn=n,①
所以an+1+Sn+1=n+1.②
②-①得an+1-an+an+1=1,所以2an+1=an+1,
所以2(an+1-1)=an-1,
所以an+1-1an-1=12,所以{an-1}是等比数列.
又a1+a1=1,所以a1=12,
因为c1=a1-1,所以c1=-12.
又cn=an-1,
所以{cn}是以-12为首项,12为公比的等比数列.
(2)由第一问可知cn=-12·12n-1=-12n,
所以an=cn+1=1-12n.
所以当n≥2时,bn=an-an-1=1-12n-1-12n-1=12n-1-12n=12n.
又b1=a1=12代入上式也符合,所以bn=12n.
20.(本小题满分12分)某地现有居民住房的面积为a m2,其中需要拆除的旧住房面积占了一半,当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下,仍以10%的住房增长率建新住房.
(1)如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番,那么每年应拆除的旧住房总面积x是多少(可取1.110≈2.6)?
(2)在(1)的条件下过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少(保留到小数点后第1位)?
解:(1)根据题意,可知1年后住房总面积为1.1a-x;
2年后住房总面积为1.1(1.1a-x)-x=1.12a-1.1x-x;3年后住房总面积为1.1(1.12a-1.1x-x)-x=1.13a-1.12x-1.1x-x;…
10年后住房总面积为
1.110a-1.19x-1.18x-…-1.1x-x
=1.110a-1.110-11.1-1x≈2.6a-16x.
由题意,得2.6a-16x=2a.
解得x=380a(m2).
(2)所求百分比为a2-380a×102a=116≈6.3%.
即过10年未拆除的旧房总面积占当时住房总面积的百分比是6.3%.
21.(本小题满分12分)设数列1an是等比数列,Sn是{an}的前n项和,若a1=1,a2a3a4=64.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)当数列{Sn+λ}也是等比数列时,求实数λ的值.
解:(1)因为数列1an是等比数列,
所以数列{an}也是等比数列.
设等比数列{an}的公比为q,则a33=a2a3a4=64,
解得a3=4.所以q2=a3a1=4,解得q=2或q=-2.
当q=2时,数列{an}的通项公式为an=2n-1;
当q=-2时,数列{an}的通项公式为an=(-2)n-1.
(2)当q=2时,Sn+λ=1-2n1-2+λ=2·2n-1+λ-1,
当且仅当λ-1=0,即λ=1时,数列{Sn+λ}是首项为2,公比为2的等比数列.
同理当q=-2时,Sn+λ=1-(-2)n1-(-2)+λ=23·(-2)n-1+λ+13,当且仅当λ+13=0,即λ=-13时,数列{Sn+λ}是首项为23,公比为-2的等比数列.
所以λ的值为1或-13.
22.(本小题满分12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=12nan+an-c(c是常数,n∈N+),a2=6.
(1)求c的值及数列{an}的通项公式;
(2)设bn=an-22n+1,数列{bn}的前n项和为Tn,若2Tn>m-2对任意n∈N+恒成立,求正整数m的最大值.
解:(1)因为Sn=12nan+an-c,
所以当n=1时,S1=12a1+a1-c,解得a1=2c.
当n=2时,S2=a2+a2-c,即a1+a2=a2+a2-c.
解得a2=3c,所以3c=6,解得c=2.则a1=4,
数列{an}的公差d=a2-a1=2.
所以an=a1+(n-1)d=2n+2.
(2)因为bn=an-22n+1=2n+2-22n+1=n2n,
所以Tn=12+222+323+…+n2n,①
12Tn=122+223+324+…+n2n+1,②
由①-②可得12Tn=12+122+123+124+…+12n-n2n+1
=1-12n-n2n+1,所以Tn=2-2+n2n.
因为Tn+1-Tn=2-2+n+12n+1-2-2+n2n=n+12n+1>0,
所以数列{Tn}单调递增,T1最小,最小值为12.
所以2×12>m-2.所以m<3,
故正整数m的最大值为2. 文章来源
莲山 课件 w ww.5 Y
K J.CO
M
相关试题:
没有相关试题

  • 上一个试题:
  • 下一个试题: 没有了
  • 最新试题

    点击排行

    推荐试题

    | 触屏站| 加入收藏 | 版权申明 | 联系我们 |