2018北师大版高中数学必修五数列在日常经济生活中的应用达标练习含解析

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2018北师大版高中数学必修五数列在日常经济生活中的应用达标练习含解析

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文章
来源 莲山课
件 w w w.5 Y K
j.Co M     [A 基础达标]
1.某工厂总产值月平均增长率为p,则年平均增长率为(  )
A.p          B.12p
C.(1+p)12  D.(1+p)12-1
解析:选D.设原有总产值为a,年平均增长率为r,则a(1+p)12=a(1+r),解得r=(1+p)12-1,故选D.
2.某种产品计划每年降低成本q%,若三年后的成本是a元,则现在的成本是(  )
A.a3q%  B.a·(q%)3
C.a(1-q%)3  D.a(1-q%)3
解析:选D.设现在的成本为x元,则x(1-q%)3=a,所以x=a(1-q%)3,故选D.
3.某工厂2012年年底制订生产计划,要使工厂的总产值到2020年年底在原有基础上翻两番,则总产值年平均增长率为(  )
A.214-1  B.215-1
C.314-1  D.315-1
解析:选A.设2012年年底总产值为a,年平均增长率为x,则a(1+x)8=4a,得x=214-1,故选A.
4.某企业2015年12月份产值是这年1月份产值的p倍,则该企业2015年度的产值月平均增长率为(  )
A.12p  B.12p-1
C.11p-1  D.11p
解析:选C.设2015年1月份产值为a,则12月份的产值为pa,假设月平均增长率为r,则a(1+r)11=pa,所以r=11p-1.故选C.
5.某人为了观看2014世界杯,从2007年起,每年5月10日到银行存入a元定期储蓄,若年利率为p且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期,到2014年将所有的存款及利息全部取回,则可取回的钱的总数(元)为(  )
A.a(1+p)7
B.a(1+p)8
C.ap[(1+p)7-(1+p)]
D.ap[(1+p)8-(1+p)]
解析:选D.2007年存入的a元到2014年所得的本息和为a(1+p)7,2008年存入的a元到2014年所得的本息和为a(1+p)6,依次类推,则2013年存入的a元到2014年的本息和为a(1+p),每年所得的本息和构成一个以a(1+p)为首项,1+p为公比的等比数列,则到2014年取回的总额为a(1+p)+a(1+p)2+…+a(1+p)7=a(1+p)[1-(1+p)7]1-(1+p)=ap[(1+p)8-(1+p)].
6.小王每月除去所有日常开支,大约结余a元.小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来,每月初存入银行a元,存期1年(存12次),到期取出本金和利息.假设一年期零存整取的月利率为r,每期存款按单利计息.那么,小王存款到期利息为________元.
解析:由题意知,小王存款到期利息为12ar+11ar+10ar+…+2ar+ar=12(12+1)2ar=78ar.
答案:78ar
7.某人买了一辆价值10万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度折旧,n年后这辆车的价值为an元,则an=________,若他打算用满4年时卖掉这辆车,他大约能得到________元.
解析:n年后这辆车的价值构成等比数列{an},其中,a1=100 000×(1-10%),q=1-10%,所以an=100 000×(1-10%)n,所以a4=100 000×(1-10%)4=65 610(元).
答案:100 000×(1-10%)n 65 610
8.有这样一首诗:“有个学生资性好,一部《孟子》三日了,每日添增一倍多,问君每日读多少?”(注:《孟子》全书约34 685字,“一倍多”指一倍),由此诗知该君第二日读了________字.
解析:设第一日读的字数为a,由“每日添增一倍多”得此数列是以a为首项,公比为2的等比数列,可求得三日共读的字数为a(1-23)1-2=7a=34 685,解得a=4 955,则2a=9 910,即该君第二日读的字数为9 910.
答案:9 910
9.某银行设立了教育助学贷款,其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息(利息按月以复利计算).如果贷款10 000元,两年还清,月利率为0.457 5%,那么每月应还多少钱呢?
解:贷款10 000元两年到期时本金与利息之和为:10 000×(1+0.457 5%)24
=10 000×1.004 57524(元).
设每月还x元,则到期时总共还
x+1.004 575x+…+1.004 57523x
=x·1-1.004 575241-1.004 575.
于是x·1-1.004 575241-1.004 575
=10 000×1.004 57524.
所以x≈440.91(元).
即每月应还440.91元.
10.甲、乙两超市同时开业,第一年的全年销售额为a万元,由于经营方式不同,甲超市前n年的总销售额为a2(n2-n+2)万元,乙超市第n年的销售额比前一年销售额多a23n-1万元.
(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式;
(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%,则该超市将被另一超市收购,判断哪一超市有可能被收购?如果有这种情况,将会出现在第几年?
解:(1)设甲、乙两超市第n年的销售额分别为an,bn.则有a1=a,当n≥2时,
an=a2(n2-n+2)-a2[(n-1)2-(n-1)+2]
=(n-1)a,
所以an=a,n=1,(n-1)a,n≥2.
bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)
=3-223n-1a(n∈N+).
(2)易知bn<3a,所以乙超市将被甲超市收购,
由bn<12an,
得3-223n-1a<12(n-1)a.
所以n+423n-1>7,所以n≥7,
即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半,乙超市将被甲超市收购.
[B 能力提升]
11.某商场今年销售计算机5 000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约多少年可以使总销售量达到30 000台?(结果保留到个位)(参考数据:lg 1.1≈0.041,lg 1.6≈0.204)(  )
A.3年  B.4年
C.5年  D.6年
解析:选C.设大约n年可使总销售量达到30 000台,由题意知:每年销售量构成一个等比数列,首项为a1=5 000台,公比q=1.1,Sn=30 000,所以由30 000=5 000(1-1.1n)1-1.1⇒1.1n=1.6⇒n=lg 1.6lg 1.1≈5,故选C.
12.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价a,最高销售价b(b>a)以及实数x(0<x<1)确定实际销售价格c=a+x(b-a).这里,x被称为乐观系数.经验表明,最佳乐观系数x恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项.据此可得,最佳乐观系数x的值等于________.
解析:由已知(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项,即(c-a)2=(b-c)(b-a),把c=a+x(b-a)代入上式,得x2(b-a)2=[b-a-x(b-a)](b-a),即x2(b-a)2=(1-x)(b-a)2,因为b>a,b-a≠0,所以x2=1-x,即x2+x-1=0,解得x=-1±52,因为0<x<1,所以最佳乐观系数x的值等于 -1+52.
答案: -1+52
13.祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来,在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园,台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务,某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费12万美元,以后每年增加4万美元,每年销售蔬菜收入50万美元,设f(n)表示前n年的纯收入.求从第几年开始获取纯利润?(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额)
解:由题意,知每年的经费是以12为首项,4为公差的等差数列.设纯利润与年数的关系为f(n),则f(n)=50n-12n+n(n-1)2×4-72=-2n2+40n-72.
获取纯利润就是要求f(n)>0,故有-2n2+40n-72>0,解得2<n<18.
又n∈N+,知从第三年开始获利.
14.(选做题)某林场为了保护生态环境,制定了植树造林的两个五年计划,第一年植树16a亩,以后每年植树面积都比上一年增加50%,但从第六年开始,每年植树面积都比上一年减少a亩.
(1)求该林场第六年植树的面积;
(2)设前n(1≤n≤10且n∈N+)年林场植树的总面积为Sn亩,求Sn的表达式.
解:(1)该林场前五年的植树面积分别为16a,24a,36a,54a,81a.所以该林场第六年植树面积为80a亩.
(2)设第n年林场植树的面积为an亩,
则an=32n-1×16a,1≤n≤5,n∈N+,(86-n)a,6≤n≤10,n∈N+.
所以当1≤n≤5时,
Sn=16a+24a+…+32n-1×16a
=16a1-32n1-32=32a32n-1.
当6≤n≤10时,
Sn=16a+24a+36a+54a+81a+80a+…+(86-n)a
=211a+80a+…+(86-n)a
=211a+[80a+(86-n)a](n-5)2
=211a+(166a-na)(n-5)2.
所以所求Sn的表达式为Sn=
32n-1×32a,1≤n≤5,n∈N+,211a+(166a-na)(n-5)2,6≤n≤10,n∈N+. 文章
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