湖南师大附中2019届高三数学摸底考试试卷(理科附答案)

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湖南师大附中2019届高三数学摸底考试试卷(理科附答案)

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山 课 件 w w w.
5Y k J. c oM

炎德•英才大联考湖南师大附中
2018年春季高二期末考试暨2019届高三摸底考试
数 学(理科)
命题:贺仁亮 朱修龙 周艳军 刘伟才
审题:高二数学备课组
时量:120分钟   满分:150分
得分:______________
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
                        

1.已知复数z满足(2+i)z=2-i(i为虚数单位),则z等于
A.3+4i  B.3-4i
C.35+45i  D.35-45i
2.已知P={x|x2-5x+4<0},Q=x|y=4-2x,则P∩Q等于
A.(1,4)  B.[2,4)
C.(1,2]  D.(-∞,2]
3.已知两组样本数据{x1,x2,…,xn}、{y1,y2,…,ym}的平均数分别为h和k,则把两组数据合并成一组以后,这组样本的平均数为
A.h+k2  B.nh+mkm+n
C.mh+nkm+n  D.h+km+n
4.已知{an}为等比数列,a1>0,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a4+a7+a10等于
A.-7  B.-5  C.5  D.7
 
5.如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F分别为PA,PD的中点,在此几何体中,给出下面4个结论:
①直线BE与直线CF异面;
②直线BE与直线AF异面;
③直线EF∥平面PBC;
④平面BCE⊥平面PAD.
其中正确的有
A.1个  B.2个  C.3个  D.4个
6.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)以及双曲线y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线将第一象限三等分,则双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为
A.2或233  B.6或233
C.2或3  D.3或6
7.函数f(x)=sin(2x+φ)(0≤φ≤π)图像向右平移π6个单位后关于y轴对称,则φ的值是
A.0  B.π6  C.π3  D.5π6
8.在正三角形ABC内任取一点P,则点P到A,B,C的距离都大于该三角形边长一半的概率为
A.1-3π6  B.1-3π12  C.1-3π9  D.1-3π18
9.底面是边长为1的正方形,侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为
A.22π3  B.3π3  C.23π3  D.2π3
10.在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,则圆C面积的最小值为
A.4π5  B.3π4  C.(6-25)π  D.5π4
11.已知函数f(x)=ex,x≤0,x2+ax+1,x>0,F(x)=f(x)-x-1,且函数F(x)有2个零点,则实数a的取值范围为
A.(-∞,0]  B.(-∞,1)
C.[1,+∞)  D.(0,+∞)
12.已知x表示大于x的最小整数,例如3=4,-1.3=-1,下列命题中正确的是
①函数f(x)=x-x的值域是0,1;
②若{an}是等差数列,则an也是等差数列;
③若{an}是等比数列,则an也是等比数列;
④若x∈(1,2 018),则方程x-x=12有2 017个根.
A.②④  B.③④  C.①③  D.①④
选择题答题卡

题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得 分
答 案             
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.
13.从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试,则恰有1名男同学参加体能测试的概率为________.(结果用最简分数表示)
14.《九章算术》是我国古代内容较为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有圆堡壔,周四丈八尺,高一丈一尺,问积几何?答曰:二千一百一十二.术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”.这里所说的圆堡壔就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一.”就是说:圆堡壔(圆柱体)的体积V=112×(底面的圆周长的平方×高),则该问题中圆周率π的取值为________.(注:一丈=10尺)
15.1+1x2(1+x)6展开式中x2的系数为________.(结果用数字表示)
16.如图2,“六芒星”由两个全等的正三角形组成,中心重合于点O且三组对边分别平行.点A,B是“六芒星”(如图1)的两个顶点,动点P在“六芒星”上(内部以及边界),若OP→=xOA→+yOB→,则x+y的最大值是________.
 
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
 
17.(本小题满分11分)
如图,△ABC是等边三角形,D是BC边上的动点(含端点),记∠BAD=α,∠ADC=β.
(1)求2cos α-cos β的最大值;
(2)若BD=1,cos β=17,求△ABD的面积.
 
18.(本小题满分11分)
已知正项等比数列an的公比为q,且a3+a4+a5=716,3a5是a3,a4的等差中项.数列bn满足b1=1,数列bn+1-bn•an的前n项和为2n2+n.
(1)求数列an的通项公式;
(2)求数列{bn}的通项公式.

 

 

 

 

 
19.(本小题满分12分)
已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其中正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.
 
(1)设Μ为ΑΒ中点,若BP→=13PC→.求证:ΜΡ∥平面CΝΒ1;
(2)设二面角Β-CΒ1-Ν大小为θ,求sin θ的值.
 
20.(本小题满分12分)
某卫生监督检查部门对5家餐饮店进行卫生检查,若检查不合格,则必须整改.若整改后经复查仍不合格,则强制关闭.设每家餐饮店检查是否合格是相互独立的,且每家餐饮店整改前合格的概率是0.5,整改后复查合格的概率是0.8.计算:
(1)恰好有两家餐饮店必须整改的概率;
(2)平均有多少家餐饮店必须整改;
(3)至少关闭一家餐饮店的概率.(精确到0.01)
 
21.(本小题满分12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),其焦点为F1,F2,离心率为22,若点P22,32满足|PF1|+|PF2|=2a.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l:y=kx+m(k,m∈R)与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点,△AOB的重心G满足:F1G→•F2G→=-59,求实数m的取值范围.
 
22.(本小题满分12分)
设函数f(x)=ln(x+a)+x2.
(1)若f(x)为定义域上的单调函数,求实数a的取值范围;
(2)若g(x)=ex+x2-f(x),当a≤2时,证明:g(x)>0.
 
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数学(理科)参考答案
一、选择题
1.D 【解析】由(2+i)z=2-i,得z=2-i2+i=(2-i)(2-i)(2+i)(2-i)=35-45i,故选D.
2.C 【解析】解x2-5x+4<0,即(x-1)(x-4)<0,得1<x<4,故P=(1,4).Q表示函数y=4-2x的定义域,所以4-2x≥0,所以x∈(-∞,2],即Q=(-∞,2].故P∩Q=(1,2].故选C.
3.B 【解析】因为样本数据{x1,x2,…,xn}的平均数为h,{y1,y2,…,ym}的平均数为k,所以第一组数据和为nh,第二组数据和为mk,因此把两组数据合并成一组以后,这组样本的平均数为nh+mkm+n,故选B.
4.B 【解析】由等比数列的性质可得a5a6=a4a7=-8,又a4+a7=2,解得a4=-2,a7=4或a7=-2,a4=4,因为a7=a1q6>0,所以a4=-2,a7=4,a7=a4q3=-2q3=4,所以q3=-2,所以a1=a4q3=1,a10=a7q3=-8,所以a1+a4+a7+a10=-5,故选B.
 
5.B 【解析】将展开图还原为几何体(如图),因为E,F分别为PA,PD的中点,所以EF∥AD∥BC,即直线BE与CF共面,①错;因为B∉平面PAD,E∈平面PAD,E∉AF,所以BE与AF是异面直线,②正确;因为EF∥AD∥BC,EF平面PBC,BC平面PBC,所以EF∥平面PBC,③正确;平面PAD与平面BCE不一定垂直,④错.故选B.
6.A 【解析】由题意可知,双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线的倾斜角为30°或60°,则k=ba,∴k=3或33,则e=ca,∴e=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=2或233.
7.D 【解析】f(x)=sin(2x+φ)(0≤φ≤π)图像向右平移π6个单位后得到的函数是g(x)=sin2x-π3+φ,又g(0)=sin-π3+φ=±1,得φ-π3=kπ+π2(k∈Z),∴φ=kπ+5π6(k∈Z),故选D.
 
8.A 【解析】满足条件的正三角形ABC如图所示:设边长为2,其中正三角形ABC的面积S△ABC=34×4=3.满足到正三角形ABC的顶点A,B,C的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示,其加起来是一个半径为1的半圆,则S阴影=12π,则使取到的点到三个顶点A,B,C的距离大于1的概率P=1-3π6,故选A.
9.D 【解析】设四棱锥为P-ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,PA=PB=PC=PD=1的外接球的半径为R,过P作PO1⊥底面ABCD,垂足O1为正方形ABCD的对角线AC,BD的交点,设球心为O,连接AO,由于AO=PO=R,AO1=PO1=22,OO1=22-R,在Rt△AOO1中,22-R2+222=R2,解得R=22,V球=43πR3=43π223=2π3.
10.A 【解析】设直线l:2x+y-4=0.因为|OC|=12|AB|=d1,其中d1为点C到直线l的距离,所以圆心C的轨迹为以O为焦点,l为准线的抛物线.圆C半径最小值为12d2=12×45=25,其中d2为点O到直线l的距离,圆C面积的最小值为π252=4π5.故选A.
11.B 【解析】因为F(x)=f(x)-x-1,且函数F(x)有2个零点,即f(x)-x-1=0有2个实数根,所以当x≤0时,令ex-x-1=0,解得x=0,此时只有一个实数根,当x>0时,令f(x)-x-1=0,即x2+(a-1)x=0,即x[x-(1-a)]=0,此时解得x=1-a,要使得函数F(x)有2个零点,则1-a>0,所以a<1,故选B.
12.D 【解析】当x∈Z时,x=x+1,f(x)=x-x=x+1-x=1;当xZ时,令x=n+a,n∈Z,a∈(0,1),则x=n+1,f(x)=x-x=1-a∈(0,1),因此f(x)=x-x的值域是0,1;0.9,1,1.1是等差数列,但0.9=1,1=2,1.1=2不成等差数列;0.5,1,2是等比数列,但0.5=1,1=2,2=3不成等比数列;由前分析可得当x∈Z时,f(x)=1;当xZ,x=n+a,n∈Z,a∈(0,1)时,f(x)=1-a=1-(x-n)=n+1-x,所以f(x+1)=f(x),即f(x)=x-x是周期为1的函数,由于x∈(1,2)时f(x)=2-x=12,x=32,即一个周期内有一个根,所以若x∈(1,2 018),则方程x-x=12有2 017个根.①④正确,故选D.
二、填空
13.35 【解析】从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试,则恰有1名男同学参加体能测试的概率为C13C12C25=35.
14.3 【解析】圆柱体体积公式V=πr2h,而由题意有V=112×(2πr)2×h,所以π=3.
15.30 【解析】因为1+1x2(1+x)6=1•(1+x)6+1x2•(1+x)6,则(1+x)6展开式中含x2的项为1•C26x2=15x2,1x2•(1+x)6展开式中含x2的项为1x2•C46x4=15x2,故x2的系数为15+15=30.
 
16.5 【解析】令正三角形边长为3,则OB→=(1,0),OA→=-32,32,设直线AB与OC的交点为点D,若OD→=xOA→+yOB→,则x+y=1.又由线性规划知识知当P在C点时,x+y有最大值,此时OP→=5OD→,故x+y的最大值是5.
三、解答题
17.【解析】(1)由△ABC是等边三角形,得β=α+π3,
0≤α≤π3,故2cos α-cos β=2cos α-cosα+π3=3sinα+π3,
故当α=π6,即D为BC中点时,原式取最大值3.5分
(2)由cos β=17,得sin β=437,
故sin α=sinβ-π3=sin βcos π3-cos βsin π3=3314,7分
由正弦定理ABsin∠ADB=BDsin∠BAD,
故AB=sin βsin αBD=4373314×1=83,9分
故S△ABD=12AB•BD•sin B=12×83×1×32=233.11分
18.【解析】(1)依题意,a3+a4+a5=716,6a5=a3+a4,则a5=116,a3+a4=38,得a5q2+a5q=38,
即6q2-q-1=0,解得q=12或q=-13(舍),所以q=12,a1=1,
∴数列an的通项公式为an=12n-1.5分
(2)设cn=(bn+1-bn)•an,数列cn的前n项和为Sn,则Sn=2n2+n,所以cn=S1 (n=1)Sn-Sn-1 (n≥2),
解得cn=4n-1.7分
所以bn+1-bn=(4n-1)•2n-1,故bn-bn-1=(4n-5)•2n-2,n≥2,
bn-b1=bn-bn-1+bn-1-bn-2+…+b3-b2+b2-b1
=(4n-5)•2n-2+(4n-9)•2n-3+…+7•21+3,9分
设Tn=3+7•21+…+(4n-9)•2n-3+(4n-5)•2n-2,
2Tn=3•2+7•22+…+(4n-9)•2n-2+(4n-5)•2n-1,
所以,-Tn=3+4•21+…+4•2n-3+4•2n-2-(4n-5)•2n-1,
因此Tn=(4n-9)•2n-1+5,n≥2,又b1=1,
所以bn=(4n-9)•2n-1+6.11分
19.【解析】(1)证明:∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,
俯视图为直角梯形,∴BA,BC,BB1两两垂直.且BC=4,BA=4,BB1=8,AN=4,
以BA,BB1,BC分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图
 
则N(4,4,0),B1(0,8,0),C1(0,8,4),C(0,0,4),∴M(2,0,0).
∵BPPC=13,∴P(0,0,1),则MP→=(-2,0,1),设n2=(x,y,z)为平面NCB1的一个法向量,
则n2•CN→=0n2•NB1→=0(x,y,z)•(4,4,-4)=0(x,y,z)•(-4,4,0)=0x+y-z=0,-x+y=0,
取n2=(1,1,2),∴MP→•n2=(-2,0,1)•(1,1,2)=0,又PM平面CNB1,∴MP∥平面CNB16分
(2)由(1)可知平面ΒCΒ1的一个法向量为BA→=(4,0,0),平面CΒ1Ν的法向量为n2=(1,1,2),
则cos θ=BA→•n2|BA→||n2|=(4,0,0)•(1,1,2)4×6=66,∴sin θ=306.12分
【注】本题只给出向量法,其他方法请参照标准酌情给分.

20.【解析】(1)每家餐饮店必须整改的概率是1-0.5=0.5,且每家餐饮店是否整改是相互独立的.
所以恰好有两家餐饮店必须整改的概率是P1=C25×(1-0.5)2×0.53=516.4分
(2)由题知,必须整改的餐饮店数ξ服从二项分布B(5,0.5).从而ξ的数学期望是
Eξ=5×0.5=2.5,即平均有2.5家餐饮店必须整改.8分
(3)某餐饮店被关闭,即该餐饮店第一次检查不合格,整改后经复查仍不合格,所以该餐饮店被关闭的概率是P2=(1-0.5)×(1-0.8)=0.1,从而该餐饮店不被关闭的概率是0.9.由题意,每家餐饮店是否被关闭是相互独立的,所以至少关闭一家餐饮店的概率是P3=1-0.95≈0.41.12分
21.【解析】(1)由e=22,可设椭圆C的方程为x2a2+2y2a2=1,
点P22,32满足|PF1|+|PF2|=2a,等价于点P在椭圆上,∴12a2+32a2=1,∴a2=2,
所以椭圆C的方程为x22+y2=1.5分
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得方程组y=kx+m,x2+2y2-2=0,
消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,
则Δ>01+2k2>m2x1+x2=-4km1+2k2x1x2=2m2-21+2k2①.7分
设△AOB的重心为G(x,y),由F1G→•F2G→=-59,可得x2+y2=49.②
由重心公式可得Gx1+x23,y1+y23,代入②式,
整理可得(x1+x2)2+(y1+y2)2=4(x1+x2)2+[k(x1+x2)+2m]2=4,③
将①式代入③式并整理,得m2=(1+2k2)21+4k2,10分
则m2=(1+2k2)21+4k2=1+4k41+4k2=1+44k2+1k4.又由Δ>0可知k≠0,令t=1k2>0,∴t2+4t>0,
∴m2>1,∴m∈(-∞,-1)∪(1,+∞).12分
22.【解析】(1)解法1:f(x)的定义域为(-a,+∞),f′(x)=2x2+2ax+1x+a
方程2x2+2ax+1=0的判别式Δ=4a2-8.
(ⅰ)若Δ<0,即-2<a<2,在f(x)的定义域内f′(x)>0,故f(x)单调递增.
(ⅱ)若Δ=0,则a=2或a=-2.
若a=2,x∈(-2,+∞),f′(x)=(2x+1)2x+2.
当x=-22时,f′(x)=0,当x∈-2,-22∪-22,+∞时,f′(x)>0,所以f(x)单调递增.
若a=-2,x∈(2,+∞),f′(x)=(2x-1)2x-2>0,f(x)单调递增.
(ⅲ)若Δ>0,即a>2或a<-2,
则2x2+2ax+1=0有两个不同的实根x1=-a-a2-22,x2=-a+a2-22.
当a<-2时,x1<-a,x2<-a,从而f′(x)在f(x)的定义域内没有零点,故f(x)单调递增.
当a>2时,x1>-a,x2>-a,f′(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点,
即f(x)在定义域上不单调.综上:实数a的取值范围为a≤2.6分
解法2:很显然f′(x)不可能有连续零点,若f(x)为定义域上的单调函数,
则f′(x)≤0或f′(x)≥0恒成立,又f′(x)=1x+a+2x,因为x+a>0,
所以f′(x)<0不可能恒成立,所以f(x)为定义域上的单调函数时,只可能f′(x)≥0恒成立,
即1x+a+2x≥0恒成立,即1x+a+2(x+a)-2a≥0,即2a≤1x+a+2(x+a),而1x+a+2(x+a)≥22,
所以2a≤22,a≤2,即实数a的取值范围为a≤2.
解法3:由解法2可知x∈(-a,+∞),1x+a+2x≥0恒成立,得2x2+2ax+1x+a≥0恒成立,
即2x2+2ax+1≥0恒成立,(ⅰ)当a≤0时,-a--a2=-a2≥0,
所以2x2+2ax+1>2a2-2a2+1=1,所以当a≤0时2x2+2ax+1≥0恒成立;
(ⅱ)当a>0时,-a--a2=-a2<0,所以(2x2+2ax+1)min=-a22+1,
所以-a22+1≥0时2x2+2ax+1≥0恒成立,解得0<a≤2,综上:实数a的取值范围为a≤2.
(2)因为g(x)=ex+x2-f(x)=ex-ln(x+a),
当a≤2,x∈(-a,+∞)时,ln(x+a)≤ln(x+2),故只需证明当a=2时,g(x)>0.
当a=2时,函数g′(x)=ex-1x+2在(-2,+∞)上单调递增,
又g′(-1)<0,g′(0)>0,故g′(x)=0在(-2,+∞)上有唯一实根x0,且x0∈(-1,0),
当x∈(-2,x0)时,g′(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,g′(x)>0,从而当x=x0时,g(x)取得最小值g(x0).
由g′(x0)=0得ex0=1x0+2,ln(x0+2)=-x0,
故g(x0)=ex0-ln(x0+2)=1x0+2+x0=x20+2x0+1x0+2=(x0+1)2x0+2>0,所以g(x)≥g(x0)>0.
综上,当a≤2时,g(x)>0.12分


 

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